18.2 勾股定理的逆定理 第2课时 勾股定理逆定理的应用 课件 2025-2026学年沪科版数学八年级下册

该初中数学课件围绕勾股定理逆定理的应用展开，通过回顾勾股定理及逆定理搭建学习支架，衔接旧知与新知，引导学生从三边数量关系判定直角三角形，为实际应用奠定基础。 其亮点在于结合航海问题、生活检测等实例，运用数学眼光观察现实情境，通过推理证明和计算培养数学思维，融入数学文化增强学习兴趣。学生能提升应用意识，教师可借助多样化例题优化教学效果。

18.2 勾股定理的逆定理 第18章 勾股定理 沪科版 八年级下册 第2课时 勾股定理逆定理的应用 回顾旧知 勾股定理 (毕达哥拉斯定理)： 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 如果直角三角形的两直角边用 a，b 表示，斜边用 c 表示，那么勾股定理可表示为 a2+b2=c2 . A B C b a c 已知其中任意两边 勾股定理的主要作用是 ： ① 直角三角形中， 可以求出第三边. 如果知道一边的长度， 和另外两边的关系时， ② 在直角三角形中， 可以运用勾股定理列方程来求另外两边. 2 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 勾股定理的逆定理 回顾旧知 3 教材例题 知识点 勾股定理的逆定理的应用 例1　已知：在△ABC中，三边长分别为a=n²-1,b=2n，c=n²+1(n > 1). 求证：△ABC为直角三角形. 证明：∵a²+b²=(n²-1)²+(2n)² =n4-2n²+1+4n² =n4+2n²+1 =(n²+1)² =2， ∴△ABC为直角三角形. 根据三角形的三边关系判断一个三角形是否为直角三角形. 4 教材例题 例2　如图，营地A与哨所B相距10 km、东侧有条南北走向的河流PQ、哨兵先从营地A骑马沿南偏东34°的方向走6 km到达河边C处让马饮水，再走8 km到达哨所B处执勤，最后返回营地A、你知道哨兵在C处是沿哪个方向到达哨所B吗? 解 由题意，得AB=10 km，AC=6 km，BC=8 km， ∵6²+8² =10²，∴AC² +BC²=AB².∴∠ACB =90°. 又∵AD // PO，∴∠ACP = ∠DAC =34°. ∴∠BCQ =180°- 90°- 34°= 56°. 答：哨兵在C处是沿南偏西56°的方向到达哨所B处. 勾股定理的逆定理在实际生活中的应用. 5 例 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 1 2 N E P Q R 例题解读 6 分析： 1.求“海天”号的航向就是求 的角度. ∠2 2.已知∠1的角度，则求出∠RPQ的 角度即可. 3.根据已知条件可求出三边，利用勾 股定理的逆定理判断∠RPQ是否为直角. 1 2 N E P Q R 例题解读 解：根据题意得 PQ=16×1.5=24, PR=12×1.5=18, QR=30. ∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°.因此∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行. N E P Q R 1 2 例题解读 课堂小结 勾股定理 的逆定理 内容 作用 从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 应用 航海问题 与勾股定理结合，解决不规则图形等问题 1. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边的长分别为a， b，c，且（a－c）（a＋c）＝b2，则（　A　） A. ∠A＝90° B. ∠B＝90° C. ∠C＝90° D. 不是直角三角 A 随堂练习 2. 一个直角三角形的三边长分别为a，b，c，那么以ak， bk，ck（k＞0）为三边长的三角形是（　A　） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 A 3. 已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a＋b＝7，ab＝ 1，c2＝47，试判断△ABC的形状，并说明理由. 解：△ABC是直角三角形.理由如下： ∵a＋b＝7，ab＝1， ∴a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝49－2＝47. ∵c2＝47，∴a2＋b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形. 4. （2025·合肥长丰期中）明明在玩摆木棒游戏，下列长度的 木棒中，可以构成直角三角形的是（　D　） A. 2，3，4 B. 3，4，6 C. 6，7，11 D. 5，12，13 D 5. 如图，小亮家的木门左下角有一点受潮，他想检测门是否变 形，准备采用如下方法：先测量门的边AB和BC的长，再测量 点A和点C间的距离，由此可推断∠B是不是直角，这样做的 依据是（　C　） A. 勾股定理 B. 三角形内角和定理 C. 勾股定理的逆定理 D. 直角三角形的两锐角互余 C 6. 【新情境·数学文化】南宋时期著名数学家秦九韶的著作 《数书九章》里记载了这样一道题目：“今有沙田一块，有三 斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田 几何？”其大意是有一块三角形沙田，三条边长分别为7丈、 24丈、25丈，这块沙田的面积是 平方丈.（丈：古代长 度单位） 84　 7. （教材P60例3变式）如图，一艘轮船以16海里/时的速度离 开港口点O，向北偏东40°方向航行，行驶轨迹为OA，另一 艘轮船同时以12海里/时的速度从港口点O向北偏西的某个方向 航行，行驶轨迹为OB. 已知它们离港口1.5小时后相距30海里 （即AB＝30海里），则另一艘轮船航行的方向 是 ⁠ ⁠. 北偏西40° 8. 如图，某小区的两个喷泉A，B的距离AB＝250 m.现要为 喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，到AB 的距离MN＝120 m，到喷泉B的距离BM＝150 m. （1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长； 解：（1）在Rt△MNB中，BN＝ ＝ ＝90（m）， ∴AN＝AB－BN＝250－90＝160（m）. 在Rt△AMN中，AM＝ ＝ ＝200（m）， ∴供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为 200＋150＝350（m）. 8. 如图，某小区的两个喷泉A，B的距离AB＝250 m.现要为 喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，到AB 的距离MN＝120 m，到喷泉B的距离BM＝150 m. （2）求出喷泉B到小路AC的最短距离. 解：（2）∵AB＝250 m，AM＝200 m，BM＝ 150 m，∴1502＋2002＝2502，∴AB2＝BM2＋ AM2，∴△ABM是直角三角形，∴BM⊥AC， ∴喷泉B到小路AC的最短距离是150 m. 9. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街 的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）.如图，已知AB＝9 m，BC＝12 m，CD＝17 m，AD＝8 m，技术人员通过测量确 定了∠ABC＝90°，则这片绿化地的面积是 m2. 114　 10. （2025·宣城期中）如图，在△ABC中，BC＝2 ，中线 AD＝1， AC＝3，则AB的长为 ⁠. 　 11. （2025·合肥四十二中期中）如图，某湿地公园有一块四边 形草坪ABCD，公园管理处计划修一条点A到点C的小路，经 测量，∠ADC＝90°，AD＝7 m，DC＝24 m，AB＝20 m， CB＝15 m. （1）求小路AC的长； 解：（1）∵∠ADC＝90°，AD＝7 m，DC ＝24 m，∴在Rt△ADC中，AC＝ ＝25 m， ∴小路AC的长为25 m. 11. （2025·合肥四十二中期中）如图，某湿地公园有一块四边 形草坪ABCD，公园管理处计划修一条点A到点C的小路，经 测量，∠ADC＝90°，AD＝7 m，DC＝24 m，AB＝20 m， CB＝15 m. （2）淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点B处，小狗从 点B开始以1.5 m/s的速度在小路上沿B→C→ A的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，小狗需 要跑多少秒，在小路CA上与淇淇的距离最近？ 解：（2）如图，过点B作BH⊥AC于点H. 当小狗在小路CA上奔跑，且跑到点H的位置 时，小狗与淇淇的距离最近. ∵AB＝20 m，CB＝15 m，AC＝25 m， ∴AC2＝625，AB2＋BC2＝625，即AC2＝AB2＋BC2， ∴∠ABC＝90°，∴S△ABC＝ AB·BC＝ AC·BH， 即BH＝ ＝ ＝12（m）， ∴HC＝ ＝9 m. ∵HC＋BC＝9＋15＝24（m），∴24÷1.5＝ 16（s）， ∴小狗需要跑16秒，在小路CA上与淇淇的距 离最近. 12. （教材P68复习题B组T6变式）（1）如图1，O是等边三角 形ABC内一点，连接OA，OB，OC，且OA＝3，OB＝4， OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接 OD. ①线段OD的长为 ⁠； ②求∠AOB的度数. 4　 解：（1）①∵△ABC为等边三角形， ∴BA＝BC，∠ABC＝60°. ∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，OB＝4， ∴∠OBD＝∠ABC＝60°，BO＝BD＝4， ∴△BOD为等边三角形，∴OD＝4.故答案为4. ②根据题意可知，CD＝OA＝3，∠AOB＝∠CDB. ∵在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5， ∴32＋42＝52，即CD2＋OD2＝OC2， ∴△OCD为直角三角形，且∠ODC＝90°. ∵△BOD为等边三角形，∴∠ODB＝60°， ∴∠BDC＝∠BDO＋∠ODC＝60°＋90°＝150°， ∴∠AOB＝150°. 12. （教材P68复习题B组T6变式）（1）如图1，O是等边三角 形ABC内一点，连接OA，OB，OC，且OA＝3，OB＝4， OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接 OD. （2）如图2，O是等腰直角三角形ABC（∠ABC＝90°）内一 点，连接OA，OB，OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到 △BCD，连接OD. 当OA，OB，OC满足什么条件 时，∠ODC＝90°？请给出证明. 解：（2）当OA2＋2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°.证明如下： 根据题意可知，∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝ AO. 在Rt△OBD中，由勾股定理，得OD2＝OB2＋BD2＝2OB2. ∵∠ODC＝90°，∴△OCD是直角三角形. 在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD2＋OD2＝OC2， ∴OA2＋2OB2＝OC2，∴当OA，OB，OC满足OA2＋ 2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°. $