18.2 勾股定理的逆定理 第1课时 勾股定理的逆定理课件2025-2026学年沪科版数学八年级下册

18.2 勾股定理的逆定理 第18章 勾股定理 沪科版 八年级下册 第1课时 勾股定理的逆定理 回顾旧知 勾股定理 (毕达哥拉斯定理)： 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 如果直角三角形的两直角边用 a，b 表示，斜边用 c 表示，那么勾股定理可表示为 a2+b2=c2 . A B C b a c 已知其中任意两边 勾股定理的主要作用是 ： ① 直角三角形中， 可以求出第三边. 如果知道一边的长度， 和另外两边的关系时， ② 在直角三角形中， 可以运用勾股定理列方程来求另外两边. 2 情境引入 思考1 古埃及人曾用下面的方法得到直角： 据说，几千年前的古埃及人就已经知道，在一根绳子上连续打上等距离的13个结，然后，用钉子将第1个与第13个结钉在一起，拉紧绳子，再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子，如图．这样围成的三角形中，最长边所对的角就是直角.你知道为什么吗? 3段 4段 5段 因为，满足勾股定理， 所以猜想5段所对的角是直角. 3 情境引入 思考2 尺规作图 用圆规、直尺作△ABC，使AB=5，AC=4，BC=3，量一量∠C，它是90°吗? ∠C=90°. 因为，满足勾股定理， 所以猜想AB所对的角是直角. 4 思考3 归纳总结 △ABC的三边长满足AC²+BC²=AB²，则∠C为多少度? 根据前面思考1、2，猜想∠C=90°. 情境引入 5 知识讲解 知识点 勾股定理的逆定理 下面有三组数，分别是一个三角形的三边长 a， b， c： ① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17. 问题1 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 是 6 下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a， b， c： ① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17. 问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？ ① 5，12，13 满足 52 + 122 = 132，② 7，24，25 满足 72 + 242 = 252， ③ 8，15，17 满足 82 + 152 = 172. 问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？ 32 + 42 = 52，满足. a2 + b2 = c2 知识讲解 7 接下来我们一起来证明这个定理. 问题4 据此能得到什么结论呢? 勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 知识讲解 已知： 求证： C B A A' B' C' b a c b a 在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，且 a2+b2=c2. △ABC是直角三角形. 证明 证明： 作△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，C'A'=b. 则有A'B'2 =a2+b2. ∵ a2+b2=c2，∴ A'B'2 =c2. ∵边长取正值，∴ A'B'=c. 在△ABC和△A'B'C'中， ∵ ∴ △ABC △A'B'C'（SSS）. ∴ ∠C=∠C'=90°(全等三角形对应角相等）， ∴ △ABC是直角三角形. c 例1　根据下列三角形的三边长a,b,c的值，判断△ABC是不是直角三角形.如果是，指出哪条边所对的角是直角. （1）a=7，b=24，c=25； （2）a=7，b=8，c=11. 分析：只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方． 教材例题 解 （1）∵72+242 =25²，∴a2+b2 =c2. ∴△ABC是直角三角形，最大边c所对的角是直角． （2）∵最大边是c=11，c²=121， a2+b2 =72+82 =113，∴a2+b2 ≠c2. ∴△ABC不是直角三角形． 能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，比如：3，4，5；5，12，13. 10 例1　根据下列三角形的三边长a,b,c的值，判断△ABC是不是直角三角形.如果是，指出哪条边所对的角是直角. （1）a=15，b=8，c=17； （2）a=13，b=14，c=15. 分析：只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方． 例题解读 解 (1)∵152+82 =225+64=289=172 ， ∴152+82 =172. ∴△ABC是直角三角形，最大边c所对的角是直角． （2）∵最大边是c=15，c²=225， a2+b2 =132+142 =365，∴a2+b2 ≠c2. ∴△ABC不是直角三角形． 11 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？ (1) a=25 b=20 c=15 ____ _____ ; (3) a:b: c=3:4:5 _____ _____ . 是 是 不是 ∠A=90° ∠C=90° (2) a=1 b=1 c= ____ _____ ; 试一试 12 课堂小结 勾股定理 的逆定理 内容 作用 从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 1. （2025·滁州期末）下列线段a，b，c组成的三角形中，能 构成直角三角形的是（　D　） A. a＝1，b＝2，c＝2 B. a＝2，b＝3，c＝4 C. a＝3，b＝4，c＝6 D. a＝1，b＝1，c＝ D 随堂练习 2. 在△ABC中，若AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ，则　 （　A　） A. ∠A＝90° B. ∠B＝90° C. ∠C＝90° D. ∠A＝∠B A 3. 已知△ABC的三边长分别是5，12，13，则△ABC的面积为 （　A　） A. 30 B. 60 C. 78 D. 不能确定 [变式] 如图，以△ABC的三边向外作正方形， 其面积依次为4，9，13，则△ABC的面积为 ⁠. A 3　 4. （2025·合肥五十中期末）已知a， b， c是△ABC的三边 长，它们满足 （a－5）2＋ ＋｜c－5 ｜＝0，则对该 三角形的形状描述最确切的是（　D　） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 D 5. （2025·阜阳颍州区月考）五根小木棒的长度分别为7，15， 20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的 是（　C　） C 6. （2025·合肥肥东期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝ 15，BC＝DE＝9，DE⊥AC于点E，S△DAC＝54，则∠ACB 的度数为 ⁠. 90°　 7. （2025·安庆太湖期末）如图，∠A＝90°，AC＝AB＝4， CD＝2，BD＝6，则∠ACD＝ ⁠°. 45　 8. （2025·安庆潜山期中）如图，在△ABC中，CB＝3，CE＝ 2.4，BE＝1.8. （1）试判断CE与AB是否垂直，并通过计算说明理由； 解：（1）CE⊥AB. 理由如下： ∵CE2＋BE2＝2.42＋1.82＝9，BC2＝9， ∴CE2＋BE2＝BC2， ∴△BCE是直角三角形，且∠BEC＝90°， ∴CE⊥AB. 8. （2025·安庆潜山期中）如图，在△ABC中，CB＝3，CE＝ 2.4，BE＝1.8. （2）若△ABC的面积为3，求AC的长. 解：（2）∵S△ABC＝ AB·CE＝ AB·2.4＝3， ∴AB＝2.5， ∴AE＝AB－BE＝2.5－1.8＝0.7， ∴AC＝ ＝2.5. 9. 下列各组数中，是勾股数的是（　C　） A. 1， ，2 B. 0.3，0.4，0.5 C. 8，15，17 D. 5，6，7 [变式] 若数组5， 13，a是勾股数，则数a的值是 ⁠. C 12　 10. （易错）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C 的对边，下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是 （　C　） A. b2－c2＝a2 B. a∶b∶c＝3∶4∶5 C. ∠A∶∠B∶∠C＝9∶12∶15 D. ∠C＝∠A－∠B C 11. （易错）如图，小正方形的边长均为1，A，B，C是小正 方形的顶点，则∠ACB的度数是（　B　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° [变式] 由相同的小正方形组成的网格如图所示，点A，B，P 在格点（网格线的交点）上，则∠PAB＋∠PBA＝ ⁠°. B 45　 12. 【新情境·数学文化】（2025·安庆望江三模）勾股定理最 早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅 五.”我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”， 另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”.观察下列勾股 数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；….这类勾股数的特点 是勾为奇数，弦与股相差1.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相 差为2的一类勾股数，如6，8，10；8，15，17；….若此类勾 股数的勾为10，则其弦是（　B　） A. 25 B. 26 C. 27 D. 28 B 13. （2025·黄山期中改编）如图，在Rt△ABC中，∠B＝ 90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，E是AD的中 点，求△CDE的面积. 解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴AC＝ ＝ ＝5. ∵CD＝12，AD＝13， ∴AC2＋CD2＝52＋122＝169，AD2＝169， ∴AC2＋CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°， ∴S△ACD＝ AC·CD＝ ×5×12＝30. ∵E是AD的中点，∴S△CDE＝ S△ACD＝15. 14. （2025·合肥蜀山区期中）如图，正方形网格中每个小正方 形的边长都是1，小正方形的顶点称为格点. （1）在图1中，A，B，C均为格点，试判断△ABC的形状， 并证明； 解：（1）△ABC是等腰直角三角形.证明如下： ∵每个小正方形的边长都是1， ∴AC＝BC＝ ＝ ，AB＝ ＝ ， ∴AC2＋BC2＝5＋5＝10＝AB2， ∴△ABC是等腰直角三角形. 14. （2025·合肥蜀山区期中）如图，正方形网格中每个小正方 形的边长都是1，小正方形的顶点称为格点. （2）在图2中，画出长为 的线段DE. 解：（2）如图2，线段DE即为所求.（答案不唯一） $