精品解析：河北省邢台市琢名小渔2026届高三上学期元月检测数学试题

邢台市2025-2026学年上学期琢名小渔高三年级元月检测 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，集合，则集合的子集有（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 10个 3. 曲线在点处的切线斜率是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 4. 袋装食盐标准质量为，规定误差的绝对值不超过就认为合格.某食盐包装生产线的误差服从正态分布，误差的样本均值为0，样本方差为4，则随机抽取10000袋食盐，估计合格的约（ ）袋. [附：若随机变量X服从正态分布，则，，.] A. 6827 B. 8161 C. 9545 D. 9759 5. 已知平面内单位向量与垂直，则（ ） A. B. C. 6 D. 13 6. 一个正四面体内切球体积为，则该正四面体的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，若已知该家庭三个孩子中有男孩，则三个小孩中有女孩的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的定义域为，函数是函数的导函数，若函数和均为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 二、不定项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数在区间上图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，则函数在区间内零点可能有（ ）个. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 若直线与函数在上的图象有三个交点，则的值可能为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 11. 双曲线的左右焦点分别为，，为双曲线上的一点，则下列不正确的是（ ） A. 若，则或 B. 过的直线与交于两点，则的最小值为 C. 能使为直角三角形的点有个 D. 若为钝角三角形，点到坐标原点的距离的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是_______________． 13. 将整数1，2，3，…，2026从小到大排成一排，去掉排在奇数位置数字后，从小到大重新排列，然后再去掉奇数位置上的数字，从小到大重新排列，依此类推，最后剩下的一个数字为______. 14. 如图为无盖正四棱台容器，其中.现有一只蚂蚁位于正四棱台容器外壁顶点A处，蚂蚁要沿最短路线先从外壁翻越上口沿再从内壁爬到棱的中点P处，则它在正四棱台内壁爬行路程为______.（容器壁厚度不计） 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和，数列是等差数列，满足，. （1）求数列，的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求证. 16. 中国防沙治沙成绩斐然，不断书写“绿色奇迹”，截至2025年年底，中国53%的可治理沙化土地已得到有效治理，沙化土地面积净减少6500万亩，现调查统计了某荒漠地区2019~2025年绿化面积变化情况，得到如下折线图． （附：年份代码1~7分别对应的年份是2019~2025，经计算得， ，，，） （1）用线性回归模型拟合y与t的关系，求出相关系数r（精确到0.01）； （2）求出y关于t的回归方程； （3）若该荒漠地区原面积共10万亩，预测该地区2026年绿化面积达到多少亩？ 附：（i）相关系数：； （ii）线性回归方程：，其中，． 17. 如图，在直三棱柱中，是中点，是的中点，是的中点，，，. （1）求证：； （2）点在线段上，且平面，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知函数，. （1）求函数的单调区间； （2）求函数的值域； （3）证明：当时，不等式在上恒成立. 19. 已知直线：与椭圆：交于，两点，，的中点为. （1）求证：直线（O为坐标原点）斜率与直线斜率之积为定值； （2）（i）若直线过右焦点，直线与直线交于点，判断以线段为直径的圆是否过定点，如果圆过定点求出该定点坐标，如果不过定点，请说明理由； （ii）若，求点的轨迹方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邢台市2025-2026学年上学期琢名小渔高三年级元月检测 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简复数即可. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 2. 已知集合，集合，则集合的子集有（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 10个 【答案】C 【解析】 【分析】求出，根据其元素个数求解. 【详解】由题，，又， 所以，该集合含有个元素， 所以其子集个数为， 故选：C. 3. 曲线在点处的切线斜率是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】由导数的几何意义求解. 【详解】因为，所以，所以曲线在点处的切线斜率为， 故选：A. 4. 袋装食盐标准质量为，规定误差的绝对值不超过就认为合格.某食盐包装生产线的误差服从正态分布，误差的样本均值为0，样本方差为4，则随机抽取10000袋食盐，估计合格的约（ ）袋. [附：若随机变量X服从正态分布，则，，.] A. 6827 B. 8161 C. 9545 D. 9759 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到误差的随机变量满足的条件，结合附加数值计算. 【详解】因为误差的样本均值为，样本方差为，所以， 又规定误差的绝对值不超过为合格，即合格时误差随机变量满足， 即，根据附加信息， 估计误差满足的概率约为， 所以估计合格的袋数约为. 故选：C. 5. 已知平面内单位向量与垂直，则（ ） A B. C. 6 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】将向量的模转化为数量积求解. 【详解】得，与垂直，得， . 故选：A. 6. 一个正四面体的内切球体积为，则该正四面体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设正四面体的棱长为，求出正四面体的表面积和体积，利用求得，再根据题目信息求出，即可求出答案. 【详解】设正四面体的棱长为，正四面体表面积等于其四个面的面积之和，且每一个面都是正三角形， 所以正四面体的表面积， 如图，为中点，设在底面的投影为，为的中心，    则，，， 四面体的体积为， 设正四面体的内切球半径为， 则有，即，解可得， 因为正四面体的内切球体积为， 所以，即， 则， 则正四面体的体积. 故选：C. 7. 假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，若已知该家庭三个孩子中有男孩，则三个小孩中有女孩的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式计算即可. 【详解】用表示男孩，表示女孩，则样本空间. 设该家庭三个孩子中有男孩为事件，该家庭三个小孩中有女孩为事件，则，， 所以. 故选：D. 8. 函数的定义域为，函数是函数的导函数，若函数和均为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意为奇函数，利用导数的计算公式可得，从而分析可得，由为奇函数可得，进而可得，从而根据对称性与周期性可得的值即可得结论. 【详解】因为函数为奇函数，则， 可得，， 取则，得，即，进一步得①， 因为函数为奇函数，则， 所以②， 由①②得，即，进而， 所以， 故函数是以12为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 又是以12为周期的周期函数，故，其它三个选项未知. 故选：D. 二、不定项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，则函数在区间内零点可能有（ ）个. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用零点存在性定理，由端点函数值异号可确定至少存在一个零点，从而排除个零点的情形；通过构造函数在适当区间上的例子，验证了个、个和个零点均可能成立. 【详解】由零点存在性定理：若函数在闭区间上连续，且，则函数在开区间内至少有1个零点，因此选项A不可能成立； 选项B：例如一次函数在区间上，，零点仅有一个，可能成立； 选项C：例如在区间上，，， ，零点为共两个，可能成立； 选项D：例如在区间上，，， ，零点为共个，可能成立. 故选：BCD 10. 若直线与函数在上的图象有三个交点，则的值可能为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】AB 【解析】 【分析】在平面直角坐标系中绘制出函数的图象，结合图象即可得解. 【详解】当时，；当时，， 故，有，如下图所示： 由直线与函数有三个交点， 可知或. 故选：AB. 11. 双曲线的左右焦点分别为，，为双曲线上的一点，则下列不正确的是（ ） A. 若，则或 B. 过的直线与交于两点，则的最小值为 C. 能使为直角三角形的点有个 D. 若为钝角三角形，点到坐标原点的距离的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用双曲线的定义，即可判断选项A，利用特殊位置关系即可判断选项B，利用双曲线图像的对称性即可判断选项C，根据两点之间距离公式以及图像即可判断选项D. 【详解】由题意知双曲线的两个焦点分别为，， 对于A，由双曲线定义知，所以或， 但双曲线右支上的点到右焦点最短距离为， 所以不合题意，故A错误. 对于B，过的直线为轴时，与交于两点分别为，， 此时，故B错误. 对于C，若直角三角形， 则，，均可以为直角， 根据对称性可得这样的直角三角形有个，故C正确. 对于D，设， 则点到坐标原点的距离， 又，整理得， 很明显，时，， 根据图形，明显为钝角三角形， 所以点到坐标原点的距离的取值范围不限为，故D错误. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是_______________． 【答案】或. 【解析】 【分析】设点，根据抛物线的定义，得到，求得，代入抛物线方程，求得，即可求解. 【详解】设抛物线上与焦点的距离等于6的点为，即， 由抛物线，可得焦点，准线方程为， 根据抛物线的定义，可得，即，解得， 将代入抛物线方程，可得，解得， 所以点的坐标为或. 故答案为：或. 13. 将整数1，2，3，…，2026从小到大排成一排，去掉排在奇数位置的数字后，从小到大重新排列，然后再去掉奇数位置上的数字，从小到大重新排列，依此类推，最后剩下的一个数字为______. 【答案】1024 【解析】 【分析】利用2的幂及数学归纳法计算即可. 【详解】将数字1到2026从小到大排成一排，去掉排在奇数位置的数字后，从小到大重新排列为2，4，6，8，…，2026，共1013个数，形成以2为首项，2为公差的等差数列； 然后再去掉奇数位置上的数字，得到4，8，12，16， …，2024，共506个数，形成以4为首项，4为公差的等差数列； 依此类推得到以8为首项，8为公差的数列，共253项； 以16为首项，16为公差的数列，共126项. 以32为首项，32为公差的数列，共63项. 以64为首项，64为公差的数列，共31项. 以128为首项，128为公差的数列，共15项. 以256为首项，256为公差的数列，共7项. 以512为首项，512为公差的数列，共3项，分别为512，1024，1536， 故再去掉奇数位置的项最后剩一个数字为1024. 故答案为：1024. 14. 如图为无盖正四棱台容器，其中.现有一只蚂蚁位于正四棱台容器外壁顶点A处，蚂蚁要沿最短路线先从外壁翻越上口沿再从内壁爬到棱的中点P处，则它在正四棱台内壁爬行路程为______.（容器壁厚度不计） 【答案】 【解析】 【分析】将四棱台侧面展开（如图），问题转化为求线段的长度，此时最短，根据余弦定理求解. 【详解】依题意可得正四棱台侧面等腰梯形的内角， 将正四棱台内侧面展开到梯形的上方，其中，， B，，正好在同一直线上，问题转化为求线段的长度，此时最短， 设棱的中点为Q，由于与平行，则在中，，， ， 则得. 又， 所以蚂蚁在正四棱台内壁爬行路程为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和，数列是等差数列，满足，. （1）求数列，的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求证. 【答案】（1），. （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据与的关系，求的通项公式，再求等差数列的基本量得解； （2）利用错位相减法求和，进而证明 【小问1详解】 因为数列的前n项和， 所以当，时，. 又时，，符合，所以. 因为数列是等差数列，且，， 则公差， 所以. 故，. 【小问2详解】 由（1）得：， 数列的前n项和为① 所以② 由得：， 则. 又因为，所以. 16. 中国防沙治沙成绩斐然，不断书写“绿色奇迹”，截至2025年年底，中国53%的可治理沙化土地已得到有效治理，沙化土地面积净减少6500万亩，现调查统计了某荒漠地区2019~2025年绿化面积变化情况，得到如下折线图． （附：年份代码1~7分别对应的年份是2019~2025，经计算得， ，，，） （1）用线性回归模型拟合y与t的关系，求出相关系数r（精确到0.01）； （2）求出y关于t的回归方程； （3）若该荒漠地区原面积共10万亩，预测该地区2026年绿化面积达到多少亩？ 附：（i）相关系数：； （ii）线性回归方程：，其中，． 【答案】（1）0.88 （2） （3）55000亩 【解析】 【分析】（1）根据相关系数的计算公式求解即可； （2）根据回归方程的系数计算公式，以及回归方程经过即可求解； （3）根据拟合的回归直线方程代入求解即可． 【小问1详解】 因为， ， ， 所以， 即相关系数约为0.88． 【小问2详解】 因为， ， 所以． 【小问3详解】 当时，， 该地区2026年绿化面积为亩． 17. 如图，在直三棱柱中，是的中点，是的中点，是的中点，，，. （1）求证：； （2）点在线段上，且平面，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）先证明平面，即可证明； （2）分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，由题意求出，再求出平面的法向量，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 因为是的中点，，所以， 又，所以，所以， 直三棱柱中，，，平面， 所以平面，即平面， 又平面，所以. 【小问2详解】 分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， 由题意设， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，取得 因为平面，所以，即. 所以，得， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，取得， 因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知函数，. （1）求函数的单调区间； （2）求函数的值域； （3）证明：当时，不等式在上恒成立. 【答案】（1）单调递增区间为；单调递减区间为； （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数与单调性的关系计算即可. （2）对函数化简变形，结合辅助角公式求值域即可. （3）对待证结论进行变形，通过构造函数求导，得到单调性，利用单调性进一步证明即可. 【小问1详解】 由于， 所以， 当，即时，； 当，即时，. 所以的单调递增区间为； 单调递减区间为； 【小问2详解】 由，. ， 设，得， 整理得，① 当时，存在成立. 当时，①式可得，， 因为， 所以，两边平方得，解得， 又，此时， 综上得的值域为. 【小问3详解】 欲证在时恒成立， 即，等价于， 即当时，对任意的恒成立， 设，则， 由（2）知， 所以当时，恒成立，在是增函数，又. 所以，即，即， 所以时不等式对任意的恒成立 19. 已知直线：与椭圆：交于，两点，，的中点为. （1）求证：直线（O为坐标原点）的斜率与直线斜率之积为定值； （2）（i）若直线过右焦点，直线与直线交于点，判断以线段为直径的圆是否过定点，如果圆过定点求出该定点坐标，如果不过定点，请说明理由； （ii）若，求点的轨迹方程. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）过定点，定点坐标为； （ii）. 【解析】 【分析】（1）设出点，坐标，利用点差法计算即可. （2）（i）利用斜率之积等于-1得到，进而得到以线段为直径的圆过定点. （ii）设出中点坐标并表示出，，联立直线与椭圆方程，结合弦长公式化简计算即可. 【小问1详解】 由题意设，，因为，两点在椭圆上， 所以，，将两式相减得， 即，整理得， 又，， 所以直线的斜率与直线斜率之积为定值. 【小问2详解】 （i）当直线过点时，可知直线方程为， 且由（1）可得直线的斜率，所以直线为. 可求得直线与直线交于点. 则，又，所以， 所以以线段为直径的圆过定点. 故以线段为直径的圆过定点，该定点坐标为. （ii）当直线斜率存在时，设点，则，. 由题意可得，且，故. ，消y并整理得， 令可得， 设，，则，， 所以 ， 又，得， 两边平方得. 又因为①，将①代入，得， 将①代入， 整理得 因为，所以， 即， 展开整理得， 当直线斜率不存在时，易得点或满足上式， 故若，点的轨迹方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $