精品解析：河北省张家口市第二中学2025-2026学年高三上学期1月期末数学试题

张家口第二中学高三上学期期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则“”是“”的（　　　） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 若实数x，y满足，则xy最小值是（ ） A. 8 B. C. 16 D. 6. 在中，，则（ ） A B. C. D. 7. 已知向量，，若，则 A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 8. 若等比数列的第3项和第5项分别为48和12，则的首项（ ） A. －192 B. 192 C. D. －193 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知复数，则下列复数为纯虚数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知平面向量．与夹角为，则（ ） A. B. C. D. 在上投影向量为 11. 已知，，其中α，β为锐角，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，则中的元素个数为__________. 13. 已知是虚数单位，若复数满足，则__________. 14. 在等差数列中，，则的值为____． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明． 15. 已知向量； （1）求； （2）若，求的值； （3）求与的夹角的余弦值． 16. 已知等差数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 已知角终边上一点坐标为． （1）求的值； （2）求的值． 18. 已知正项等比数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项的和. 19. 已知函数. （1）求的最小正周期和单调递增区间. （2）当时，求的最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 张家口第二中学高三上学期期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用集合间的关系，集合的交并补运算对每个选项分析判断. 【详解】由题，故A错； ∵，，∴，B正确； ，C错； ，D错； 故选:B 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的四则运算，得，再由复数的定义，即可求解. 【详解】因为， 所以复数的虚部为， 故选：C． 3. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题否定规则直接写出即可. 【详解】命题为全称命题，则， 故选：C 4. 已知，则“”是“”的（　　　） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据命题的充分必要性直接判断. 【详解】由不等式性质，， 但不能推出，例如， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：B. 5. 若实数x，y满足，则xy的最小值是（ ） A 8 B. C. 16 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用均值不等式，即得解. 【详解】因为， 当且仅当时等号成立， ， 所以.故xy的最大值是. 故选：B 【点睛】本题考查了均值不等式在最值问题中的应用，考查了学生转化化归，数学运算能力，属于基础题. 6. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的线性运算直接表示即可得到结果. 【详解】 . 故选：A. 7. 已知向量，，若，则 A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标运算，分别求出m，n，得出结果. 【详解】因为，所以，得，所以. 故选C 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题. 8. 若等比数列的第3项和第5项分别为48和12，则的首项（ ） A. －192 B. 192 C. D. －193 【答案】B 【解析】 【分析】由题意求得公比的平方即可得解. 【详解】由，，得，得，所以． 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知复数，则下列复数为纯虚数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的运算结合共轭复数的定义运算求解. 【详解】因为， 则，． 为纯虚数的是，，. 故选：BCD． 10. 已知平面向量．与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 在上投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算逐项求解判断. 【详解】对于A，因为，即不存在实数使，所以与不共线，故A不正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，因为，，所以故C正确； 对于D，在上的投影向量为.故D不正确. 故选：BC. 11. 已知，，其中α，β为锐角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】可以先通过已知角的三角函数值缩小角的范围，再将未知角转化为已知角来求值即可. 【详解】因为α，β为锐角，即，， ，， 因，所以， 所以 因，所以， 则， ，A选项正确； ，所以B选项正确； ①， ②， ①＋②并化简得，所以C选项错误； ①－②并化简得， 所以，所以D选项错误， 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，则中的元素个数为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】求解一元二次不等式解得集合，再求，即可求得其元素个数. 【详解】由，得，所以， ，故中的元素共有3个. 故答案为：. 13. 已知是虚数单位，若复数满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据复数的除法算出，然后用模长公式进行求解. 【详解】由题意，，于. 故答案为： 14. 在等差数列中，，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据等差中项的性质求得，进而根据＝2，求得答案． 【详解】＝5 ∴＝24，即+7d＝24 ∴＝2+14d＝2＝48 故答案为48． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质．特别是利用了等差中项的性质和等差数列的通项公式，准确计算是关键，是基础题 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明． 15. 已知向量； （1）求； （2）若，求的值； （3）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用向量的坐标运算和模长的计算公式，即可求解； （2）根据向量平行列方程，由此求得，即可求解； （3）利用向量数量积的坐标运算及模长公式，先求出，，，再根据向量夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 因为，则， 则． 【小问2详解】 ， 则， 因为，所以， 即，解得． 【小问3详解】 由题知， 则，又， 所以， 又，， 所以． 16. 已知等差数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，根据所给条件得到方程组，解得即可； （2）由（1）可得，再利用裂项相消法求前项和； 【详解】（1）设数列的公差为， 解得 . （2）由（1）知， ， ， 即. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和裂项相消法求和，解题关键是掌握裂项求和的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 17. 已知角终边上一点的坐标为． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知求得|OP|，再由任意角的三角函数的定义求解： （2）利用三角函数的诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值. 【小问1详解】 ， 则； 【小问2详解】 18. 已知正项等比数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项的和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意列方程可得数列的公比，则数列的通项公式. （2）结合(1)的结论可得，错位相减法可得其前n项和. 【小问1详解】 设数列的公比为， 由和得：， 即，解得或. 又，则， ， . 【小问2详解】 ， ，① ，② ①-②得： . 19. 已知函数. （1）求的最小正周期和单调递增区间. （2）当时，求的最值. 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为，；（2）最小值1，最大值为2. 【解析】 【分析】（1）结合三角恒等变换化简函数解析式，进而判断图象性质； （2）利用整体代入法求函数的最值. 【详解】（1）函数 ； ∴的最小正周期为； 令，； 解得，； ∴单调递增区间为，； （2）当时，， ∴； ∴时，取得最小值为1， 时，取得最大值为2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $