18.1 勾股定理 第2课时 勾股定理的应用课件2025-2026学年沪科版数学八年级下册

18.1 勾股定理 第18章 勾股定理 沪科版 八年级下册 第2课时 勾股定理的应用 这节课我们就来学习用勾股定理解决实际问题. 情境引入 2 知识讲解 知识点1 利用勾股定理解决实际问题 例　一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？ 已知条件有哪些？ 3 观察 1.木板能横着或竖着从门框通过吗？ 2.这个门框能通过的最大长度是多少？ 不能 3.怎样判定这块木板能否通过木框？ 求出斜边的长，与木板的宽比较. 知识讲解 4 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理， AC2=AB2+BC2=12+22=5． 　　AC= ≈2.24． 因为AC大于木板的宽2.2 m，所 以木板能从门框内通过． 知识讲解 5 教材例题 例1 现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人， 如图(1).已知该消防车高3 m，将云梯伸长到10 m，在成功救出位于 9 m高处的受困人后，还要救援位于12 m高处的受困人，如果云梯 的长保持不变，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近多少米？ （精确到0.1 m） 6 教材例题 解：如图(2)，设是云梯的下端点，是伸长到10 m后的云梯，是第一次救人的地点，是第二次救人的地点，过点的水平线与楼房的交点为. 则(m)，(m). 根据勾股定理，得 则m.设 m，则 m. 根据勾股定理，得，即. 解方程，得≈12.4，≈3.6. ∵， ∴不合题意.∴≈3.6. 答：这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近约3.6m. 7 例2 如图，一架2.6 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4 m. 如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m,那么梯子底端B也外移0.5 m吗? 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理得 OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1， ∴OB=1. 在Rt△COD中，根据勾股定理得 OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15, ∴梯子的顶端沿墙下滑0.5 m时，梯子底端并不是也外移0.5 m，而是外移约0.77 m. 例题解读 8 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）读懂题意，分析已知、未知间的关系； （2）构造直角三角形； （3）利用勾股定理等列方程； （4）解决实际问题. 数学问题 直角三角形 勾股定理 实际问题 转化 建 构 利用 决 解 归纳 9 练习 如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC=60 m，AC=20m.求A，B两点间的距离（结果取整数）. 解: 10 知识点2 两点之间的距离公式（教材P62 数学拓展） 那么 如果数轴上的点A1，A2 分别表示实数 x1，x2， 两点 A1，A2间的距离 记作│A1A2│， │A1A2│= │x2-x1│ 对于平面上的两点A1，A2间的距离是否有类似的结论呢？ 运用勾股定理， 就可以推出平面上两点之间的距离公式. 知识讲解 问题 1 如图，平面上两点A(3,0)，B(0,4)，如何计算A,B两点之间的距离│AB│？ 解： ∵ A(3,0)，B(0,4) ∴ OA=3， ∴ │AB│= =5 OB=4 知识讲解 问题 2 如图，平面上两点A(1,2)，B(5,5)，如何计算这两点之间的距离│AB│？ 解： ∵ A(1,2)，B(5,5) ∴ AC= ∴ │AB│= =5 5-1 =4 BC= 5-2 =3 知识讲解 两点之间的距离公式. 问题 3 一般地，设平面内任意两点A(x1,y1)和B(x2,y2)， 如图，如何计算A，B两点之间的距离│AB│？ O x y B(x2,y2) A(x1,y1) A'' A' B' B'' C ∵│CB│= │A'B'│= │x2-x1│ ∵│CA│= │B''A''│= │y2-y1│ ∴│AB│2= │CB│2+│CA│2 =(x2-x1)2+(y2-y1)2 ∴ │AB│= 解： 这就是平面直角坐标系中的 知识讲解 例3 如图，在平面直角坐标系中有两点 A(-3，5)，B(1，2)，求 A，B 两点间的距离. A 2 1 -3 -2 -1 -1 2 3 1 4 5 y O x 3 B C 解：如图，过点 A 作 x 轴的垂线，过点 B 作 x，y 轴的垂线，相交于点 C，连接 AB. 则 AC = 5 - 2 = 3，BC = 3 + 1 = 4. 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 ∴ A，B 两点间的距离为 5. 例题解读 知识点3 利用勾股定理求最短距离 C B A 问题 在 A 点的小狗，为了尽快吃到 B 点的香肠，它选择 A B 路线，而不选择 A C B 路线，难道小狗也懂数学？ AC+CB ＞AB（两点之间，线段最短） 思考 在立体图形中，怎么寻找最短路线呢？ 知识讲解 A B 蚂蚁从 A→B 的路线 问题：在一个圆柱形石凳上，小明在吃东西时留下了一点食物在 B 处，恰好在 A 处的一只蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想沿侧面从 A 处爬向 B 处，问怎么走最近？最短路程怎么求？ B A 将侧面展开后，根据“两点之间线段最短”可得最近路线. 知识讲解 若已知圆柱体高为 12 cm，底面半径为 3 cm，π 取 3. B A 3 O 12 侧面展开图 12 3π A B A' A' 解：在 Rt△ABA′ 中，由勾股定理得 立体图形中求表面上两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，根据“两点之间线段最短”确定最短路线，再根据勾股定理求最短路程. 归纳 知识讲解 例4 有一个圆柱形油罐，要以 A 点环绕油罐建梯子，正好建在 A 点的正上方点 B 处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是 2 m，高 AB 是 5 m，π 取 3)? A B A B A' B' 解：油罐的展开图如图，则 AB' 为梯子的最短距离. AA' = 2×3×2 = 12， A'B' = 5，根据勾股定理得 即梯子最短需 13 米. 例题解读 数学思想： 立体图形 平面图形 转化 展开 课堂小结 用勾股定理解决实际问题 要点：构造直角三角形 化非直角三角形为直角三角形 勾股定理的应用 用勾股定理解决两点之间的距离及最短路径问题 1. （2025·安庆期中）如图，一竖直的木杆在离地面4米处折 断，木杆顶端落在地面离木杆底端3米处，则木杆折断之前的 高度为（　C　） A. 7米 B. 8米 C. 9米 D. 12米 C 随堂练习 [变式] 若一根长为7 m的木杆在一次强台风中折断倒下，木杆 顶端落在地面离木杆底端4 m处，设折断处离地面的高度为x m，则可列方程为 ⁠. x2＋42＝（7－x）2　 2. 如图，在校园内有两棵树相距12 m，一棵树高14 m，另一棵 树高9 m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端至少 要飞 m. 13　 3. （教材P55练习T1变式）如图，在一段高BC为3 m、倾斜角 ∠BAC为30°的楼梯上铺地毯，那么地毯的长度至少需 要 m. （3＋3 ）　 4. （2025·合肥长丰期中）如图，一根长为25 m的梯子AB斜靠 在垂直于地面的墙上，这时梯子的底端点B离墙根点E的距离 为7 m.如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动8 m到点D 处，求梯子的顶端沿墙向下移动的距离AC为多少. 解：由题意可知，∠AEB＝90°，BE＝7 m，AB＝CD＝25 m，BD＝8 m， ∴DE＝BE＋BD＝7＋8＝15（m）. 在Rt△AEB中，由勾股定理，得AE＝ ＝ ＝24（m）， 在Rt△CED中，由勾股定理，得CE＝ ＝ ＝20（m）， ∴AC＝AE－CE＝24－20＝4（m）. 答：梯子的顶端沿墙向下移动的距离AC为4 m. 5. （2025·淮南期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝3，AD ＝1，AB在数轴上.若以点A为圆心、AC的长为半径画弧，交 数轴于点M，则点M表示的数为（　D　） A. B. －1 C. D. －1 D [变式] （2025·合肥五十中期末）将有一边重合的两张直角三角 形纸片按如图所示的方式放置在数轴上，纸片上的点A表示的 数是1，AC＝BC＝BD＝1.若以点A为圆心、AD的长为半径 画弧，与数轴的正半轴交于点E，则点E表示的数为 ⁠ ⁠. ＋1 6. （2025·黄山期中）已知点A（2，2），B（0，－2），则 AB两点间的距离为 ⁠. 2 　 7. 【一题多解】如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AB ＝6 cm，BC＝8 cm，现将三角形纸片沿直线AD折叠，使点B 落在斜边AC上，与点E重合，则DE＝ cm. 3　 【解析】解法1（勾股定理）：在Rt△ABC中，由勾股定理， 得AC＝ ＝10 cm.根据折叠可知，AE＝AB＝6 cm， ∴CE＝AC－AE＝4 cm. 设BD＝DE＝x cm，则DC＝（8－x）cm. 在Rt△DEC中，由勾股定理，得x2＋42＝（8－x）2， 解得x＝3，即DE＝3 cm. 解法2（等面积法）：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝ ＝10 cm. 设BD＝DE＝x cm. S△ABC＝ AB·BC＝ AB·BD＋ AC·DE， 即 ×6×8＝ ·6x＋ ·10x，解得x＝3，即DE＝3 cm. 故答案为3. 8. （2025·合肥四十二中期中）一个中间带有吸管的圆柱形水 杯如图所示，其底面直径为12 cm，高度为8 cm，现有一根20 cm的吸管，放入水杯中（底端与杯底接触）.若露在水杯外面 的吸管长度为a cm，则a的取值范围是（　B　） A. 10≤a≤20 B. 20－4 ≤a≤12 C. 8≤a≤10 D. 12≤a≤20 B 9. 如图，秋千AB在静止状态时，下端B距离地面0.9 m，当秋 千摆动到AB'的位置时，下端B'与静止状态的水平距离EB'为2.1 m，距离地面1.6 m，则秋千AB的长为 m. 3.5　 10. 某校八（1）班的小明和小轩学习了“勾股定理”之后，为 了测得如图所示的风筝的垂直高度CE，进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为12米； ②根据手中剩余风筝线的长计算出风筝线BC的长为20米； ③放风筝的小明的身高为1.62米. （1）求风筝的垂直高度CE； 解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD＝ ＝ ＝ ＝16（米）， ∴CE＝CD＋DE＝16＋1.62＝17.62（米）. 答：风筝的垂直高度CE为17.62米. （2）如果小明想让风筝沿CD方向再上升4米，那么 他应该再放出多少米风筝线？ （2）如图，延长DC至点M，使CM＝4米，连接BM. 由题意，得DM＝20米， ∴在Rt△BDM中，由勾股定理，得BM＝ ＝ ＝4 （米），∴BM－BC＝（4 －20）米. 答：他应该再放出（4 －20）米风筝线. 11.（2025·合肥包河区期中）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，O为BC的中点，P，Q分别为AB，AC上一点，连接OP，OQ，PQ，已知OP⊥OQ. （1）过点B作BD∥AC，交QO的延长线于点D. ①求证：O为DQ的中点； ②求证：AP2＋AQ2＝BP2＋CQ2. 解：（1）证明：①∵O为BC的中点， ∴OB＝OC. ∵BD∥AC，∴∠D＝∠CQO. 在△BOD和△COQ中， ∴△BOD≌△COQ（AAS），∴OD＝OQ， ∴O为DQ的中点. ②证法1：如图1，连接DP. ∵△BOD≌△COQ，∴∠OBD＝∠C. ∵∠A＝90°，∴∠ABC＋∠C＝90°， ∴∠OBD＋∠ABC＝90°，即∠PBD＝90°. ∵OD＝OQ，OP⊥DQ，∴PD＝PQ. 在Rt△APQ和Rt△PBD中， 由勾股定理，得AP2＋AQ2＝PQ2，BP2＋ BD2＝PD2， ∴AP2＋AQ2＝BP2＋BD2. （1）②证法2：如图，过点C作 CM∥AB，交PO的延长线于点M，连接 QM，则∠CMO＝∠BPO. ∵∠A＝90°，O为BC的中点， ∴∠MCQ＝90°，OB＝OC. 在△COM和△BOP中， ​ ∴△COM≌△BOP（AAS），∴CM＝BP，OM＝OP. ∵OP⊥OQ，∴OQ垂直平分PM，∴PQ＝MQ. 在Rt△QCM中，由勾股定理，得CQ2＋CM2＝MQ2， ∴CQ2＋BP2＝MQ2＝PQ2. 在Rt△APQ中，由勾股定理，得AP2＋AQ2 ＝PQ2， ∴AP2＋AQ2＝BP2＋CQ2. （2）如图2，若点P，Q分别在AB，CA的延长线上，其余条 件不变，（1）中②的结论是否成立？若成立，请写出理由： 若不成立，请写出正确的结论. 解：（2）（1）中②的结论成立.理由如下： 解法1：如图2，过点C作CN∥AP，交PO的延长线于点N， 连接QN. ∵CN∥AP，∴∠NCO＝∠PBO，∠NCQ＝∠BAC. ∵∠BAC＝90°，O为BC的中点，∴∠NCQ＝90°，OB＝ OC. 在△CON和△BOP中， ∴△CON≌△BOP（ASA），∴CN＝BP，ON＝OP. ∵OP⊥OQ，∴OQ垂直平分PN，∴PQ＝NQ. 在Rt△QCN中，由勾股定理，得CQ2＋CN2＝NQ2， ∴CQ2＋BP2＝PQ2. 在Rt△APQ中，由勾股定理，得AP2＋AQ2＝PQ2， ∴AP2＋AQ2＝BP2＋CQ2. （2）解法2：如图，过点B作BH∥AC，交QO延长线于点 H，连接PH. 同理解法1可证△OBH≌△OCQ， ∴OH＝OQ，BH＝CQ. ∵BH∥AC， ∴∠PBH＝∠BAC＝90°. ∵OH＝OQ，OP⊥HQ，∴PH＝PQ. 在Rt△APQ和Rt△PBD中， 由勾股定理，得AP2＋AQ2＝PQ2，BP2＋BH2＝PH2， ∴AP2＋AQ2＝BP2＋BH2，即AP2＋AQ2＝BP2＋CQ2. $