精品解析：上海市民办交大—飞达中学2025-2026学年上学期八年级数学期末试题

2025学年第一学期期末学习反馈八年级数学学科 满分：150分，时间：100分钟 （请将所有解答写在答题纸上相应区域） 一、选择题（每题有且仅有一个正确答案，每题4分，共24分） 1. 点在平面直角坐标系中的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，坐标系中每个象限内点的符号特点如下：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，据此即可求解 【详解】解：∵点P的横坐标，纵坐标， ∴点在第二象限 故选：B． 2. 下列各组数中，是勾股数的是（　　） A. 13，14，15 B. 1，1， C. ，， D. 3，4，5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数，勾股数是满足勾股定理的一组正整数．根据勾股数的定义解答即可． 【详解】解：A、，13，14，15不是勾股数，本选项不符合题意； B、不是正整数，1，1，不是勾股数，本选项不符合题意； C、，，都不是正整数，不是勾股数，本选项不符合题意； D、，3，4，5是勾股数，本选项符合题意； 故选：D． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 负数没有立方根 C. 64的立方根是； D. 的算术平方根是5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方根、立方根、算术平方根的概念，解题的关键是准确理解这些概念的定义． 分别对每个选项根据平方根、立方根、算术平方根的定义进行分析判断． 【详解】解：A、先计算的平方根是，不是，该选项错误； B、负数有立方根，例如的立方根是，该选项错误； C、64的立方根是4，不是，该选项错误； D、先计算的算术平方根是5，该选项正确． 故选：D． 4. 已知方程的解是，，则另一个方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令，则方程即为方程，根据题意可得方程的解是，则或，据此求解即可． 【详解】解：令，则方程即为方程， ∵方程的解是，， ∴方程的解是， ∴或， 解得， ∴程的解是， 故选：B． 5. 已知的三边分别长为，且满足，则是（ ） A. 以为斜边的直角三角形 B. 以为斜边的直角三角形 C. 以为斜边的直角三角形 D. 不是直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、绝对值和偶次方的非负性质；熟练掌握绝对值和偶次方的非负性质，由勾股定理的逆定理得出结论是关键． 通过方程的非负性求出的值，再应用勾股定理逆定理判断三角形形状即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 是以a为斜边的直角三角形． 故选：A． 6. 已知在中，点D在边上（点D不与点A、点B重合），连接． ①如果，是边上的中线，那么． ②如果，，那么是边上的中线． ③如果是边上的中线，，那么． 下列说法正确的是（　　） A. ①②是真命题，③是假命题； B. ①③是真命题，②是假命题； C. ②③是真命题，①是假命题； D. ①②③都是真命题． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解直角三角形的性质及判定方法，难度不大．根据直角三角形的性质和判定方法分别判断即可确定正确的选项． 【详解】解：根据直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半可以判断①正确； 故①正确，是真命题； 如果，，那么是边上的中线， 当45°＜∠B＜60°时，以C为圆心，以AB的一半为半径的圆与斜边会有两个交点 故②错误，假真命题； 根据一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形可以判定③正确， 故③是真命题． 综上分析可知，①③都是真命题． 故选：B． 二、填空题（每题4分，共48分） 7. 如果有意义，那么x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键在于掌握二次根式中的被开方数是非负数． 根据二次根式有意义的条件可得，进而求出的取值范围即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴． 故答案为：． 8. 写出的一个有理化因式是____． 【答案】 【解析】 【分析】充分利用平方差公式，得出有理化因子即可． 【详解】解：的一个有理化因式是， 故答案为： 【点睛】本题考查了分子有理化，解题的关键是熟练掌握平方差公式进行求解． 9. 若点在轴上，则点在第___________象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点的坐标特征，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据y轴上点的横坐标为0，求出m的值，再代入点B的坐标，判断其所在象限即可． 【详解】点A在y轴上， ，解得， ，故点B在第四象限． 故答案为：四． 10. 如图，已知在中，，是的中垂线，，，则___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 连接，根据垂直平分线的性质可得，进而根据含30度角的直角三角形的性质即可求得的长． 【详解】解：如图，连接， 是的中垂线，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：6． 11. 已知为实数，且，则的值是___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了换元法，解一元二次方程，注意解的取值范围是解题关键． 设，则原方程化为，解二次方程并根据确定值． 【详解】解：设，则， 原方程化为， 即， ， ， 解得或， 由于，故， 即． 故答案为：4． 12. 已知是关于的正比例函数，且图象在第一、三象限，则的值为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查正比例函数的概念、图象与性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键． 根据正比例函数的形式为，且当时，图象经过第一、三象限，则函数中x的指数必须为1，且比例系数． 【详解】解：由正比例函数的定义，得，即， 解得， 又因图象在第一、三象限， 故比例系数， 因此． 故答案为：2． 13. 如图在中，，是边上的中线，且，则的长为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握其性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，再根据已知条件即可解答． 【详解】解：在中，，是边上的中线， ． ， ， ， 故答案为：8． 14. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，一元二次方程根与系数的关系，准确的计算是解决本题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入表达式计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 故答案为：7． 15. 中，是两内角平分线的交点，；到的距离是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质及勾股定理的逆定理，正确得出，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．过点作于，于，于，连接，根据角平分线的性质得出，根据勾股定理的逆定理得出，利用等积法求出的值即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于，于，于，连接， ∵是两内角平分线的交点， ∴平分， ∴， ∵，， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴到的距离是． 故答案为： 16. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，则正方形的面积之和为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，解题关键在于勾股定理结合正方形面积的运用．根据勾股定理有，，，等量代换即可求四个小正方形的面积之和． 【详解】解：如图， 根据勾股定理知： ，，， ∴． 故答案为：． 17. 定义：关于的一元二次方程：（，是常数，与（是常数，称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是___________． 【答案】2026 【解析】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键． 根据“同族二次方程”的定义，两个方程具有相同的m和n值，通过比较系数求出a和b的值，再将代数式配方即可得到最小值． 【详解】解：由“同族二次方程”定义，方程可写为， 展开得，与比较系数， 得，解得，。 ， ， 最小值为2026． 故答案为：2026． 18. 如图，长方形中，，，．点E为射线上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为_______． 【答案】2或32 【解析】 【分析】分两种情况：点在线段上，点在延长线上，然后分别根据折叠的性质和勾股定理得出答案即可． 【详解】解：如图1，当点在线段上时， ∵折叠， ∴， ∴，， ∵， ∴B、、E三点共线， ∵ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴； 如图2，当点在延长线上时， ∵折叠， ∴， ∴，， ∵， ∴B、、E三点共线， ∵ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴． 综上所述，的长为2或32 故答案为：2或32． 【点睛】此题考查翻折的性质，三角形全等的性质，勾股定理，掌握翻折的性质，分类探讨的思想方法是解决问题的关键． 三、解答题 19. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算及分母有理化的混合运算，熟练掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． （1）先算括号里面的，再算二次根式的除法即可； （2）先分母有理化，再加减运算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 解方程 （1）． （2）． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程及分式方程，掌握一元二次方程和分式方程的解法和步骤是解题关键． （1）去括号、移项，再利用因式分解法解方程即可； （2）将原分式方程化为整式方程，再根据因式分解法解一元二次方程，最后检验即可． 【小问1详解】 解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 因式分解，得， 或， 解得或； 【小问2详解】 解：去分母，两边同乘以， 得 ， ， ， 或， 解得或， 经检验：是原方程的增根，故舍去； 是原方程的解； 所以原方程的解是． 21. 已知，求下列代数式的值． （1） （2） 【答案】（1）35 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式、代数式求值以及二次根式运算，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先计算的值，进而得到的值，然后根据代入计算即可； （2）根据平方，结合，再开算术平方根即可． 【小问1详解】 解：， ， 故， ， ； 【小问2详解】 解：， 且， ． 22. 如图，已知在ABC中，BDAC于D，CEAB于E，M，N分别是BC，DE的中点． （1）求证：MNDE； （2）若BC10，DE6，求MDE的面积． 【答案】（1）证明:连接 , , 是的中点， 同理可得, 是的中点, ; （2）12 【解析】 【分析】（1）由直角三角形，线段中点的条件和定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到辅助线作法，连接进而得到等腰三角形，再根据定理“三线合一”即可证明. （2）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得等腰的腰长，且知道底的长度，那么再根据勾股定理求出高的长度即可求得的面积. 【详解】解：略 解: , 由可知 【点睛】本题综合考查了直角三角形斜边上的中线定理，等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，观察图形，理解题意并作出辅助线，合理应用各个性质定理是解答关键. 23. 【综合与探究】已知是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）若，求的值； （2）已知等腰的一边长为7，若，恰好是的另外两边长，求这个三角形的周长． 【答案】（1）3 （2）17 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，等腰三角形的定义，三角形三边关系等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式，得到解，根据已知等式可得，再结合一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）根据题意，分是方程的一个根和两种情况进行讨论，结合三角形三边关系进行判断即可． 【小问1详解】 解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 整理得：， 解得：，， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵等腰的一边长为7，，恰好是的另外两边长， ∴①或，即是方程的一个根， 将代入得：， 解得：或， 当时，得，方程的另一个根为， 此时三角形三边分别为，周长为17； 当时，得，方程的另一个根为， 三角形三边分别为， ， 此时不能构成三角形； ②，，解得， 此时方程为，解得， 三角形三边分别为， ， 此时不能构成三角形； 综上，三角形的周长为． 24. 今年新型“和谐号”高速列车正式投入沪宁线运行，已知上海到南京全程约为300公里，如果新型“和谐号”高速列车行驶的平均速度比原来“和谐号”动车行驶的平均速度每分钟快2公里，那么从上海到南京比原来“和谐号”动车少用40分钟，问新型“和谐号”高速列车从上海到达南京大约需要多少分钟？ 【答案】60分钟 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设新型“和谐号”高速列车从上海到达南京大约需要x分钟，根据已知上海到南京全程约300公里，如果新型“和谐号”高速列车行驶的平均速度比原来的“和谐号”动车行驶的平均速度每分钟快2公里，那么从上海到南京比原来“和谐号”动车少用40分钟，可列方程求解． 【详解】解：设新型“和谐号”高速列车从上海到达南京大约需要x分钟，则原来“和谐号”高速列车从上海到达南京大约需要分钟， 由题意得，， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：新型“和谐号”高速列车从上海到达南京大约需要60分钟． 25. 如图，的平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别是E，F． （1）求证：； （2）若在中，，，求BE的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接，, 点D在的垂直平分线上 ，，平分 ， 在和中， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）连接，,根据的平分线与的垂直平分线交于点D，得到和，进而得到和是全等三角形，根据全等三角形的性质，证得即可； （2）由题意证得和是全等三角形，根据全等三角形的性质，证得，进而证得，计算求解的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在和中， ． 答：BE的长为． 26. 【概念建构】 在中，，，直线经过点A，于点D，于点E．如图1，当直线在外部时，称和是的“双外弦三角形”，如图2，当直线在内部时，称和是的“双内弦三角形”，依据全等的判定定理，我们可以得到“双外弦三角形”和“双内弦三角形”都是全等三角形，即． 【概念应用】 （1）如图3，在中，，于点M，，E是边上的点，，，连接，，若，，求的长． 小亮受到【概念建构】的启发，想到解决方法：过D点作于点N构造出如图4所示的“双内弦三角形”，并应用“双内弦三角形”是全等三角形的结论求出了．请你依照小亮的解题思路，写出解答过程． （2）如图5，在中，，，D是边上一点，，，交于点N，延长，交于点F，直接写出，，之间的数量关系． 【拓展延伸】 （3）如图6，，和是等腰直角三角形，，，，直接写出和的面积和． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质和应用，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意证明，根据全等三角形的性质得到，再根据勾股定理进行计算即可； （2）连接，过点作交的延长线于点，证明，得到，再根据勾股定理即可得到结论； （3）过点作交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，求出，证明和，再由即可得到答案． 【详解】解：（1）过D点作于点N，于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）连接，过点作交的延长线于点； ， ， 由“双外弦三角形”的含义得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （3）过点作交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 则， ， 由平行线间的距离处处相等可得：， ， ， 和是等腰直角三角形，， ， ， ， 和的面积和为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期末学习反馈八年级数学学科 满分：150分，时间：100分钟 （请将所有解答写在答题纸上相应区域） 一、选择题（每题有且仅有一个正确答案，每题4分，共24分） 1. 点在平面直角坐标系中的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列各组数中，是勾股数的是（　　） A. 13，14，15 B. 1，1， C. ，， D. 3，4，5 3. 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 负数没有立方根 C. 64的立方根是； D. 的算术平方根是5 4. 已知方程的解是，，则另一个方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知的三边分别长为，且满足，则是（ ） A. 以为斜边的直角三角形 B. 以为斜边的直角三角形 C. 以为斜边的直角三角形 D. 不是直角三角形 6. 已知在中，点D在边上（点D不与点A、点B重合），连接． ①如果，是边上的中线，那么． ②如果，，那么是边上的中线． ③如果是边上的中线，，那么． 下列说法正确的是（　　） A. ①②是真命题，③是假命题； B. ①③是真命题，②是假命题； C. ②③是真命题，①是假命题； D. ①②③都是真命题． 二、填空题（每题4分，共48分） 7. 如果有意义，那么x的取值范围是____________． 8. 写出的一个有理化因式是____． 9. 若点在轴上，则点在第___________象限． 10. 如图，已知在中，，是的中垂线，，，则___________． 11. 已知为实数，且，则的值是___________． 12. 已知是关于的正比例函数，且图象在第一、三象限，则的值为___________． 13. 如图在中，，是边上的中线，且，则的长为___________． 14. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 15. 中，是两内角平分线的交点，；到的距离是_____． 16. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，则正方形的面积之和为___________． 17. 定义：关于的一元二次方程：（，是常数，与（是常数，称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是___________． 18. 如图，长方形中，，，．点E为射线上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为_______． 三、解答题 19. 计算 （1） （2） 20. 解方程 （1）． （2）． 21. 已知，求下列代数式的值． （1） （2） 22. 如图，已知在ABC中，BDAC于D，CEAB于E，M，N分别是BC，DE的中点． （1）求证：MNDE； （2）若BC10，DE6，求MDE的面积． 23. 【综合与探究】已知是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）若，求的值； （2）已知等腰的一边长为7，若，恰好是的另外两边长，求这个三角形的周长． 24. 今年新型“和谐号”高速列车正式投入沪宁线运行，已知上海到南京全程约为300公里，如果新型“和谐号”高速列车行驶的平均速度比原来“和谐号”动车行驶的平均速度每分钟快2公里，那么从上海到南京比原来“和谐号”动车少用40分钟，问新型“和谐号”高速列车从上海到达南京大约需要多少分钟？ 25. 如图，的平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别是E，F． （1）求证：； （2）若在中，，，求BE的长． 26. 【概念建构】 在中，，，直线经过点A，于点D，于点E．如图1，当直线在外部时，称和是的“双外弦三角形”，如图2，当直线在内部时，称和是的“双内弦三角形”，依据全等的判定定理，我们可以得到“双外弦三角形”和“双内弦三角形”都是全等三角形，即． 【概念应用】 （1）如图3，在中，，于点M，，E是边上的点，，，连接，，若，，求的长． 小亮受到【概念建构】的启发，想到解决方法：过D点作于点N构造出如图4所示的“双内弦三角形”，并应用“双内弦三角形”是全等三角形的结论求出了．请你依照小亮的解题思路，写出解答过程． （2）如图5，在中，，，D是边上一点，，，交于点N，延长，交于点F，直接写出，，之间的数量关系． 【拓展延伸】 （3）如图6，，和是等腰直角三角形，，，，直接写出和的面积和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $