四川省绵阳市梓潼县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

参考答案 1—5. BDAAB 6—10. BCDBC 11—12. AD 13. -6 14. 2 15. -1 16. m＜2 且 m≠1 17. 110 18. 100 19.解：（1）解方程①x2+2x-1=0， x2+2x=1， x2+2x+1=1+1， （x+1）2=2， ②（x-2）2+x（x-2）=0， （x-2+x）（x-2）=0， （2x-2）（x-2）=0， x1=1，x2=2； （2）由题意设每个支干长出x个小分支，因为主干长出x个（同样数目）支干，则又长出x2个小分支， 由题意得：x2+x+1=43， 解得x1=6，x2=-7， 由于实际问题，故x=6， 即每个枝干长出6个小分支． 20. 解：（1）∵一元二次方程ax2-2ax+a+2=0有实数根， ∴Δ=4a2-4a（a+2）=-8a≥0，且a≠0， ∴a＜0， ∵数字-2，-1，0，3中，小于0的有-2，-1， ∴关于x的一元二次方程ax2-2ax+a+2=0有实数根的概率为=． （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果：（-2，-1），（-2，0），（-2，3），（-1，-2），（-1，0），（-1，3），（0，-2），（0，-1），（0，3），（3，-2），（3，-1），（3，0）， 其中落在第二象限内的有：（-2，3），（-1，3），共2种结果， ∴点（x,y）落在第二象限内的概率为=． 21. 解：（1）∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米， ∴抛物线的顶点坐标为（0，3.5）， ∴设抛物线的表达式为y=ax2+3.5． 由图知图象过以下点：（1.5，3.05）． ∴2.25a+3.5=3.05， ∴a=-0.2， ∴抛物线的表达式为y=-0.2x2+3.5； （2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm, ∵y=-0.2x2+3.5， 而球出手时，球的高度为h+1.82+0.2=（h+2.02）m, ∴h+2.02=-0.2×（-2.5）2+3.5， ∴h=0.23． 答：球出手时，他跳离地面的高度为0.23m. 22. 解：（1）连接DD'， ∵将长方形ABCD绕着点A旋转， ∴AB=AB'=a,AD=AD'=b, ∴DB'=AB'-AD=a-b, ∴S△CB'D'=S△CDD'+SΔDB'D'+S△CDB' （2）如图，将长方形ABCD绕着点A顺时针方向旋转， ∴∠BAB'=∠DAD'=α， ∴∠BAD'=α+90°， ∵∠BAB'与∠BAD'的度数之比为2：7， ∴α：（α+90）=2：7， ∴α=36°； 如图，将长方形ABCD绕着点A逆时针方向旋转， 同理可得α：（90-α）=2：7， ∴α=20°； 综上所述，顺时针方向∠α=36°；逆时针方向∠α=20°； （3）如图，顺时针方向∠α=45°，△ADE是等腰直角三角形，则重叠部分的图形是轴对称图形； 如图，逆时针方向∠α=45°，△ADE是等腰直角三角形，则重叠部分的图形是轴对称图形； 综上所述，顺时针方向∠α=45°或逆时针方向∠α=45°，长方形AB'C'D'与原长方形ABCD重叠部分的图形是轴对称图形． 23. （1）证明：如图1，连接OE， ∵OB=OE， ∴∠OBE=∠OEB， 又∵BE平分∠ABC， ∴∠OBE=∠CBE， ∴∠CBE=∠OEB， ∴OE∥BC， ∵∠C=90°， ∴∠OEA=∠C=90°， ∴OE⊥AC， ∵OE是圆的半径， ∴AC是圆O的切线； （2）证明：∵EH⊥AB，EF⊥BE， ∴∠EHB=∠EHA=90°，∠BEF=90°， ∴∠EBH+∠BEH=∠FEH+∠BEH=90°， ∴∠EBH=∠FEH， ∵OE=OF， ∴∠OEF=∠OFE， ∵∠EBH+∠OFE=90°， ∴∠FEH+∠OEF=90°， 又∵∠FEA+∠OEF=90°， ∴∠FEH=∠FEA， 即：EF平分∠AEH； （3）解：如图2，连接OE，DE， ∵BE是∠ABC的平分线，且EC⊥BC，EH⊥AB， ∴EC=EH， ∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°， ∴∠CDE=∠HFE， 在△CDE和△HFE中， ∴△CDE≌△HFE（AAS）， ∴HF=CD=1，EF=DE=3， ∴EH2=EF2-HF2=32-12=8， 设OE=OF=r,则OH=OF-HF=r-1， 在Rt△OEH中，由勾股定理得：OH2+EH2=OE2， ∴（r-1）2+8=r2， 解得：r=4.5， ∴圆O的半径为4.5． 24.解：（1）∵点B（2，6）在直线y=x+b上， ∴2+b=6， ∴b=4， ∴一次函数的解析式为y=x+4； ∵点B（2，6）在反比例函数y=（x＞0）的图象上， ∴k=2×6=12， ∴反比例函数的解析式为y=； （2）由（1）知，一次函数的解析式为y=x+4， ∴A（0，4）， ∴OA=4， ∵四边形ACDO为平行四边形， ∴CD=OA=4， 设点C的坐标为（m,m+4）（m＞2）， ∵CD∥OA， 25. 由y=-x2-2x+3得对称轴为直线x=-1，A（-3，0），C（0，3）， ∴AO=OC=3， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∵F在对称轴l上，点P在抛物线上，过点P作对称轴l的垂线，垂足为E， ∴∠PEF=90°， ∵以P、E、F为顶点的三角形与△AOC全等， ∴PE=EF=OA=OC=3， ∴xP=-4或xP=2， ∴P（-4，-5）或（2，-5）； （3）存在， 设P（t,-t2-2t+3），Q（0，m），而A（-3，0），B（1，0）， ①以PQ、AB为对角线，则PQ的中点即为AB的中点，如图： 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九年级（上）期末教学质量监测 （九年级数学） 一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1． 下列事件是随机事件的是（　　） A．画一个三角形，内角和是180° B．随机抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后反面朝上 C．太阳从东方升起 D．掷出一枚质地均匀的正方体骰子，正面向上的点数是0 2.下列各选项中的两个量，成反比例关系的是（　　） A．班级队列操表演，每排站8人，全班的总人数与排数 B．购买铅笔和钢笔一共花了20元，铅笔的费用与钢笔的费用 C．张华制作小红花的效率一定，她制作的小红花总朵数与制作时间 D．三角形的面积是6cm2，三角形的一条边长与这条边上的高 3.在一些古代数学著作中，我们常常看到“勾股容圆”、“圆材藏壁”、“方形圆径”、“圆中方形”这样的词汇，下列图形是这些词汇对应的模型图，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A．x2-2=0 B．y=x2 C．ax2+bx+c=0 D．2x-1=0 5.将抛物线y=2x2向下平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式为（　　） A．y=2x2+1 B．y=2x2-1 C．y=2（x+1）2 D．y=2（x-1）2 6.草锅盖是一种传统草编工艺品（如图①），某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型（如图②），并用测量工具测量出该模型底面圆的直径AB为8cm,高CO为3cm,则该模型的侧面积为（　　） A．16πcm2 B．20πcm2 C．24πcm2 D．25πcm2 7.下列关于反比例函数y= 图象的描述错误的是（　　） A．图象位于第一、三象限 B．点（1，4）在此函数图象上 C．在每个象限内，函数y随x的增大而增大 D．图象关于坐标原点成中心对称 8.在如图1所示的电源电压恒定的电路中，小明闭合开关S后，移动滑动变阻器的滑片，电流I与电阻R成反比例函数关系，函数图象如图2所示，点P的坐标为（10，4），则电源电压U为（　　） A．2.5V B．20V C．30V D．40V 9.南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问宽和长各多少步？设这块田地的宽为x步，则所列方程正确的是（　　） A．x（x-12）=864 B．x（x+12）=864 C．x+（x-12）=864 D．（x+x+12）2=864 10.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下结论错误的是（　　） A．abc＞0 B．2a+b=0 C．3a+c＜0 D．方程ax2+bx+c=0（a≠0）的正根在2到3之间 11.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，∠C=40°．则∠B的度数等于（　　） A．25° B．58° C．64° D．116° 12.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转，旋转角为α，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，则∠BED等于（　　） A． B．90°-α C．α D．180°-α 二．填空题（共6小题,每小题4分，共24分） 13． 点（2，m）关于原点对称的点的坐标为（n,-3），则mn的值为 ． 14.已知关于x的一元二次方程x2-4x+2m=0有两个相等的实数根，则m= 15.若y=(a-1)是反比例函数，则a的值为 ． 16.函数y=（m-1）x2+2x+1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围 ． 17.如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠P=70°，则∠AOB= °． 18.验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间佩戴“星趣控”镜片的矫正治疗后，小颖的镜片焦距由0.2米调整到0.25米，则近视眼镜的度数减少了 度． 三．解答题（共90分） 19．（12分） （1）(8分)解方程： ①x2+2x-1=0； ②（x-2）2+x（x-2）=0． （2）（4分）某种植物的一个主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是43，那么每个支干长出多少个小分支？ 20． (10分)在一个不透明的口袋里装有分别标有数字-2，-1，0，3的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀． （1）从中任取一球，将球上的数字记为a,求关于x的一元二次方程ax2-2ax+a+2=0有实数根的概率． （2）从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标记为x（不放回），再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为y,用树状图或列表法表示出点（x,y）所有可能出现的结果，并求点（x,y）落在第二象限内的概率． 21．(12分) 一名运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m,然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05m. （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式． （2）该运动员身高1.82m,在这次跳投过程中，球在头顶上方0.2m处出手，球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 22． (14分)已知长方形ABCD中，边AB的长度为a,边AD的长度为b,a＞2b.将长方形ABCD绕着点A旋转，点B、C、D的对应点分别记为点B'、C'、D'，旋转角记为∠α． （1）当旋转方向为顺时针方向且∠α=90°时（如图1），联结CB'、B'D'、D'C，用a、b的代数式表示三角形CB'D'的面积；（结果需化简） （2）当0°＜α＜90°时，如果∠BAB'与∠BAD'的度数之比为2：7，请直接写出旋转方向和∠α的度数； （3）当0°＜α＜90°时，旋转过程中，当长方形AB'C'D'与原长方形ABCD重叠部分的图形是轴对称图形时，请直接写出旋转方向和∠α的度数． 23．(14分) 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作直线BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH； （3）连接DE，若DE=3，DC=1，求⊙O的半径． 24. (14分)如图，一次函数y=x+b的图象与y轴交于点A，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点B（2，6）． （1）求一次函数与反比例函数的关系式； （2）C为线段AB延长线上一点，作CD∥OA与反比例函数y=（x＞0）交于点D，连接OD，当四边形ACDO为平行四边形时，求点C的坐标． 25. (14分)如图，抛物线L：y=ax2+bx+3经过点B（1，0）和（3，-12），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l. （1）求该抛物线的表达式； （2）点F在对称轴l上，点P在抛物线上，过点P作对称轴l的垂线，垂足为E，若使以P、E、F为顶点的三角形与△AOC全等，则点P的坐标为 ； （3）点Q是y轴上的一点，在抛物线L上，是否存在点P，使得以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $