精品解析：广东省深圳外国语学校2026届高三上学期统一测试数学第十五次周测试题

深圳外国语学校2026届高三年级统一测试数学第十五次周测 命题人：王代彬 审题人： 朱红光 时间：1月18日 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. i C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘方和除法运算即可得到答案. 【详解】， 则其虚部为1. 故选：A. 2. 已知非零向量，，且，则在上的投影向量为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积的运算律得到，再由投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，所以，即， 所以在上的投影向量为. 故选：C 3. 记等比数列的前n项和为，数列的前n项和为，且满足 若，则公比q=（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列前n项和公式列式计算得解. 【详解】等比数列中，，则， 因，故数列是首项为，公比为的等比数列， 显然，否则；且，否则， 则，由，得， 所以. 故选：C 4. 双曲线过点，其两条渐近线的夹角为，则双曲线的方程为（ ） A. B. 不存在 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的渐近线性质及两条渐近线的夹角为，分类求解即可． 【详解】由两条渐近线的夹角为，可得渐近线的倾斜角为或， 由可知双曲线的焦点在轴上， 当渐近线的倾斜角为时，渐近线方程为，点在直线的下方，不可能在该双曲线上，不合题意； 当渐近线的倾斜角为时，渐近线方程为，点在直线的上方，此时解得，则双曲线的方程为. 故选：C 5. 调查敏感问题时，一般难以获得被调查者的合作，所得结果可能不真实，此时通常采用“瓦纳随机问答法”进行调查. 为调查中学生心理压力的情况，提出如下问题，问题 1 ：你现在心理压力很大吗？ 问题 2： 你学籍号尾号是偶数吗? 然后要求被调查的中学生抛掷硬币回答， 如果出现正面朝上， 就回答第一个问题； 否则回答第二个问题. 整个调查过程全程保密， 由于回答哪一个问题只有测试者自己知道，所以测试者一般乐意如实回答问题. 现在对学籍号为的1000名中学生进行调查， 其中有260名学生回答 “是”，则估计心理压力很大的中学生百分比大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意回答问题2的学生有500人，其中有250人回答是，由此得到回答问题1的学生有500人，其中10人回答是，从而能估计心理压力很大的中学生的百分比． 【详解】由题意，回答问题2的学生有：人， 则回答问题2的学生回答是的有人， 而回答问题1的学生有500人，其中有人回答是， 因此估计心理压力很大的中学生百分比大约为. 故选：A 6. 正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出图形，设外接球半径为，利用半径相等列出方程，求出半径，从而得到球的表面积. 【详解】如图所示，，， 设为外接球球心，外接球半径为，为上下底面的中心，易知， 又侧棱长为，则，又易知， 设，则，， 故，解得：， 故，所以球的表面积为， 故选：B. 7. 甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动.已知他周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9.若甲某个周日游泳了，则他前一天跑步的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用条件概率、全概率公式列式计算得解. 【详解】用事件分别表示“周六跑步”，“周日跑步”，则分别表示“周六游泳”，“周日游泳”， 于是， 因此， 所以. 故选：D 8. 已知函数，若，，且，若，则满足条件的点在平面直角坐标系中构成的图象为（ ） A. 圆 B. 双曲线 C. 一个点 D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】先确定函数的解析式，再分析函数的对称性，根据函数性质确定a，b的关系，可得问题答案. 【详解】因为， 所以. 又，所以. 所以. 因为. 又， ， 当时，，，所以， 当时，， 当时，，，所以， 所以在上单调递增，所以在上单调递增， 所以. 所以点在平面直角坐标系中构成的图象为圆. 故选：A 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（    ） A. 图（1）的平均数中位数众数 B. 图（2）的平均数<众数<中位数 C. 图（2）的众数中位数<平均数 D. 图（3）的平均数中位数众数 【答案】ACD 【解析】 【详解】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【分析】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A正确； 图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B错误，C正确； 图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知二项式，若该二项式的展开式的二项式系数之和为16，则（ ） A. B. C. 从任取两个数且，则事件“”的概率为 D. 将进行排列，共有30种不同的情况 【答案】ACD 【解析】 【分析】由二项式系数之和求得，判断A选项；令求得，令求得，即可判断B选项；由二项式的展开式通项公式求得，然后由古典概型求得事件“”的概率，判断C选项；由的值的特点，由排列公式求得全排列个数，判断D选项. 【详解】由二项式的二项式系数之和为16，即，所以，故A选项正确； 令，则，令，，则，所以B选项错误； ∵，∴，∴， 在这5个数中，有三个正数两个负数，则任取两个数，则两个数一正一负的概率为，故C选项正确； 由，所以对的全排列的个数为，故D选项正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，则下列命题中正确的是（ ） A. 0是的极小值点 B. 有可能有三个零点 C. 当时， D. 若存在极大值点，且，其中，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】讨论a的取值情况，利用导数研究函数的单调性和极值，进而判断A，B；当时，利用导数得到函数的单调性，判断，的大小关系，进而判断C；若存在极大值点，则，即，因为，化简等式，即可判断 【详解】解：由题意可得， 令，当时，得或， 对于A，当时， 令，解得或，则在和上单调递增， 令，解得，则在上单调递减， 所以在处取得极小值， 同理，当时，在和上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值； 当时，，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，故A正确； 对于B，当时， 在和上单调递增，在上单调递减， 当，，且先增后减再增，且在处取得极小值，此时只有一个零点. 同理，当时，在和上单调递减，在上单调递增，先减后增再减，且在处取得极小值, 当，，此时此时只有一个零点. 当时，，没有零点，故B错误； 对于C，当时，在上单调递减， 又，，所以，故C正确； 对于D，若存在极大值点，则，即， 因为，所以， 所以，， 即， 又，所以，故D正确. 故选： 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量(单位：克)与药物功效 (单位：药物单位)之间具有关系．检测这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的平均值为4克，标准差为克，则估计这批中医药的药物功效的平均值为__________. 【答案】18 【解析】 【分析】设6个样本分别为，则，，进而得，再计算即可. 【详解】设该药品一个批次的6个样本分别为， 因为这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的平均值为4克，标准差为克， 所以，方差， 所以，即 所以 则这批中医药的药物功效的平均值 故答案为： 13. 成都石室中学举办校庆文艺展演晚会，设置有一个“传奇”主会场和“传承”，“扬辉”两个分会场.现场需要安排含甲、乙的六名安全员负责现场秩序安全，其中“传奇”主会场安排三人，剩下三人安排去“传承”，“扬辉”两个分会场（每个分会场至少安排一人）.若要求甲、乙两人不在同一个会场开展工作，则不同的安排方案有__________种. 【答案】88 【解析】 【分析】按照甲，乙是否在“传奇”主会场划分情况，由排列组合以及分类加法计数原理即可求解. 【详解】按照甲，乙是否在“传奇”主会场划分情况： ①甲，乙有且只有1人在主会场，需要在除甲，乙外的四人中选两人去主会场， 剩下的三人去剩下的“传承”，“扬辉”两个分会场，有（种）不同的安排方案； ②甲，乙都不在主会场，从甲，乙外的四人中选三人去主会场， 再将甲，乙安排去剩下的“传承”，“扬辉”两个分会场，且一人去一个分会场， 剩下一人可以去“传承”，“扬辉”两个分会场，有（种）不同的安排方案. 根据分类加法计数原理，共有（种）不同的安排方案. 故答案为：88. 14. 在中，内角所对的边分别为，若，则 （1）___________； （2）若，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，，则面积的最大值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由两角和差的余弦公式及正弦定理化简即可； （2）令，利用正弦定理与余弦定理可得，，再根据三角形面积公式得到，由正弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）由得 即， . 又，所以， 由正弦定理得. 又，所以. 因为，所以. （2）令， 则由正弦定理可得，即， 又由余弦定理得， ， 线段，不可能为钝角， 所以， 所以 （时取等号）， 所以面积的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇. （1）为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取100名市民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 70 40岁及以上 60 100 总计 200 完成列联表，并判断是否有的把握认为选择新能源汽车与年龄有关； （2）为了了解某一地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销售量y（单位：万台）关于年份x的线性回归方程，且销售量y的方差为，年份x的方差为.求y与x间的样本相关系数r，并据此判断该地区新能源汽车销售量y与年份x的线性相关性强弱. 附：（i）在线性回归方程中，，； （ii）样本相关系数，若，则可判断y与x线性相关性较强； （iii），其中. 【答案】（1） 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 70 30 100 40岁及以上 40 60 100 总计 110 90 200 有的把握认为选择新能源汽车与年龄有关， （2）y与x线性相关性较强 【解析】 【分析】（1）根据题中数据补全列联表即可：再由表中数据以及公式进行计算求解即可； （2）根据样本相关系数公式计算可得答案. 【小问1详解】 补全列联表如下： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 70 30 100 40岁及以上 40 60 100 总计 110 90 200 零假设为：选择新能源汽车与年龄无关， 则， 故有的把握认为选择新能源汽车与年龄有关； 【小问2详解】 因为，， 所以，又，，， 所以， 故y与x线性相关性较强. 16. 已知数列满足，（，）. （1）求证：是等比数列，并求； （2）设，数列的前项和，证明. 【答案】（1） 因为时，，又， 所以（）， 即数列是以4为首项，公比为4的等比数列， 所以，. （2） 因为，所以, 所以 , 所以. 【解析】 【分析】（1）将变形为，进而利用等比数列的定义证明，然后利用等比数列通项公式求解即可； （2）利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图①所示，四边形是直角梯形，，，且，为线段的中点.现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接、，其中为线段的中点. （1）求证：； （2）若二面角的大小为，则在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求三棱锥的体积；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明： 在图①中，由题知四边形为正方形，且； 则在②中，，，且， 又平面，则平面； 又，∴平面， 又平面，∴； 又，且为的中点，则； 又，平面， 则平面，又平面， 可得. （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直，面面垂直的判定与性质得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出线面角解出参数，再由棱锥体积公式得解； 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知平面，平面，则平面平面； 由题知二面角的平面角为，则， 则是等边三角形，则； 取的中点为，连接，则， 又平面平面，平面， 所以平面，且， 则可以建立如图所示的空间直角坐标系； 则、、、、， 则、、、， 设，（），则， 设平面的一个法向量为， 则，则， 令，则， 记直线与平面所成角为， 则， 即，解得， 因此，则. 18. 在平面直角坐标系 中，已知动点到点的距离和E到直线 的距离之比是常数 . （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点的动直线(斜率存在)与曲线C交于，两点，在x轴上存在点 ，使得,试问 是否为定值，若是，求出的值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）是，. 【解析】 【分析】（1）利用距离公式化简即可得到动点E的轨迹C的方程是. （2）法一：因为结合角平分线逆定理得到轴为的角平分线，所以，设直线方程为,,联立方程，利用韦达定理求解即可得到；法二：设直线方程为，联立椭圆方程得到韦达定理式，代入化简即可. 【小问1详解】 因为动点到点的距离和E到直线的距离之比是常数， 所以， 两边平方得到； 化简得到动点E的轨迹C的方程是. 【小问2详解】 法一：设过点的直线方程为， 联立方程，整理得到， 设，则； 因为，所以由角平分线逆定理得到，轴为的角平分线， 所以，即， 化简得到，即； 将代入上式得； 化简得到 即 因为，所以. 即； 整理得到； 即，解得. 因此是定值4. 法二：因为， 所以，即，所以． 显然过点的动直线不与轴重合，故设直线方程为， 设， 联立，可得， ，即时， 由韦达定理得， 因为，所以， 即， 整理得， 所以， 化简得， 即。 19. 已知函数. （1）若，求函数在区间上的单调区间； （2）若，函数在区间的零点从小到大依次构成数列； （i）证明: 函数在区间有唯一零点，且； （ii）令，判断并证明数列的单调性. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为， （2）（i）证明： 当时，，， 则， 所以对于任意在区间上单调递增， 又，当时，， 所以在区间内有唯一零点，则， 所以和都在区间内， 又，所以． （ii）数列是递减数列，证明如下： 要证明数列是递减数列，即证当时，， 即证当时，，即证， 记，则，所以只需证明当时，． 由（ⅰ）知，所以，且． 所以，则，， 所以， 设函数，， 则， 因为在区间上单调递增， 所以当，即时，，即， 所以在时单调递增， 又，则， 即，所以． 又因为在上单调递增，且，所以， 综上所述，数列是递减数列． 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的正负求解即可； （2）（i）首先利用导数说明函数每一个零点所在区间，再结合诱导公式，以及函数的单调性，比较大小后，即可证明； （ii）首先设，利用分析法转化证明，根据条件得到，并通过作差构造函数，，利用导数分析单调性后即可证明. 【小问1详解】 当时，，， 则， 令，得或， 令，得， 所以函数在上的单调递减区间为， 单调递增区间为，. 【小问2详解】 （i）略； （ⅱ）数列是递减数列，证明略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳外国语学校2026届高三年级统一测试数学第十五次周测 命题人：王代彬 审题人： 朱红光 时间：1月18日 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. i C. D. 2. 已知非零向量，，且，则在上的投影向量为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 记等比数列的前n项和为，数列的前n项和为，且满足 若，则公比q=（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 4. 双曲线过点，其两条渐近线的夹角为，则双曲线的方程为（ ） A. B. 不存在 C. D. 5. 调查敏感问题时，一般难以获得被调查者的合作，所得结果可能不真实，此时通常采用“瓦纳随机问答法”进行调查. 为调查中学生心理压力的情况，提出如下问题，问题 1 ：你现在心理压力很大吗？ 问题 2： 你学籍号尾号是偶数吗? 然后要求被调查的中学生抛掷硬币回答， 如果出现正面朝上， 就回答第一个问题； 否则回答第二个问题. 整个调查过程全程保密， 由于回答哪一个问题只有测试者自己知道，所以测试者一般乐意如实回答问题. 现在对学籍号为的1000名中学生进行调查， 其中有260名学生回答 “是”，则估计心理压力很大的中学生百分比大约为（ ） A. B. C. D. 6. 正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（ ） A. B. C. D. 7. 甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动.已知他周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9.若甲某个周日游泳了，则他前一天跑步的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，，且，若，则满足条件的点在平面直角坐标系中构成的图象为（ ） A. 圆 B. 双曲线 C. 一个点 D. 不存在 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（    ） A. 图（1）的平均数中位数众数 B. 图（2）的平均数<众数<中位数 C. 图（2）的众数中位数<平均数 D. 图（3）的平均数中位数众数 10. 已知二项式，若该二项式的展开式的二项式系数之和为16，则（ ） A. B. C. 从任取两个数且，则事件“”的概率为 D. 将进行排列，共有30种不同的情况 11. 已知函数，则下列命题中正确的是（ ） A. 0是的极小值点 B. 有可能有三个零点 C. 当时， D. 若存在极大值点，且，其中，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量(单位：克)与药物功效 (单位：药物单位)之间具有关系．检测这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的平均值为4克，标准差为克，则估计这批中医药的药物功效的平均值为__________. 13. 成都石室中学举办校庆文艺展演晚会，设置有一个“传奇”主会场和“传承”，“扬辉”两个分会场.现场需要安排含甲、乙的六名安全员负责现场秩序安全，其中“传奇”主会场安排三人，剩下三人安排去“传承”，“扬辉”两个分会场（每个分会场至少安排一人）.若要求甲、乙两人不在同一个会场开展工作，则不同的安排方案有__________种. 14. 在中，内角所对的边分别为，若，则 （1）___________； （2）若，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，，则面积的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇. （1）为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取100名市民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 70 40岁及以上 60 100 总计 200 完成列联表，并判断是否有的把握认为选择新能源汽车与年龄有关； （2）为了了解某一地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销售量y（单位：万台）关于年份x的线性回归方程，且销售量y的方差为，年份x的方差为.求y与x间的样本相关系数r，并据此判断该地区新能源汽车销售量y与年份x的线性相关性强弱. 附：（i）在线性回归方程中，，； （ii）样本相关系数，若，则可判断y与x线性相关性较强； （iii），其中. 16. 已知数列满足，（，）. （1）求证：是等比数列，并求； （2）设，数列的前项和，证明. 17. 如图①所示，四边形是直角梯形，，，且，为线段的中点.现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接、，其中为线段的中点. （1）求证：； （2）若二面角的大小为，则在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求三棱锥的体积；若不存在，请说明理由. 18. 在平面直角坐标系 中，已知动点到点的距离和E到直线 的距离之比是常数 . （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点的动直线(斜率存在)与曲线C交于，两点，在x轴上存在点 ，使得,试问 是否为定值，若是，求出的值；若不是，请说明理由. 19. 已知函数. （1）若，求函数在区间上的单调区间； （2）若，函数在区间的零点从小到大依次构成数列； （i）证明: 函数在区间有唯一零点，且； （ii）令，判断并证明数列的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $