精品解析：辽宁省丹东市2025-2026学年高一上学期期末数学试题

上学期期末教学质量监测 高一数学 本试卷共19题，共150分，共4页.考试时间120分钟.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. {3} B. {5} C. D. 2. 已知向量，则（ ） A. 3 B. C. 5 D. 3. （ ） A. B. C. D. 4. 已知，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 不等式的解集为，则的值为（ ） A. －1 B. 5 C. 3 D. －3 6. 某生物实验小组种植了3粒新品种的种子，下列两个事件是互斥且不对立的是（ ） A. “至少有一粒种子发芽”与“至多有一粒种子发芽” B. “恰有两粒种子发芽”与“至少有一粒种子发芽” C. “三粒种子都发芽”与“至少有一粒种子发芽” D. “至少有两粒种子发芽”与“三粒种子都不发芽” 7. 已知函数，若，则（ ） A. －5 B. 5 C. 3 D. 7 8. 命题“在区间上有零点”为真命题，则命题成立的一个必要不充分条件是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数在定义域内是增函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 设事件满足，则下列命题正确的有（ ） A. 若，则与相互独立 B. 若与相互独立，则 C. D. 若，则 11. 已知实数满足，则（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为1 D. 有最大值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_____． 13. 方程有两个正实根，则实数的取值范围为_____． 14. 已知的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设，且，已知． （1）若，求的值； （2）求的值． 16. 已知向量不共线，，，其中． （1）若三点共线，求的值； （2）当时，若，用基底表示． 17. 已知某校举办“智慧杯”知识竞赛，共有20个小组参加，成绩按百分制评定，组委会据此绘制频率分布直方图． （1）求a的值和样本的75%分位数； （2）估计样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （3）从成绩落在区间内选出2个小组参加培训，求这两个小组来自同一区间的概率． 18. 已知函数． （1）当时，判断的奇偶性； （2）当时，解关于的不等式； （3）若时，，求的取值范围． 19. 已知定义在上的函数满足，当时，，记． （1）求，； （2）当时，判断的单调性，用定义证明，并直接写出的值域； （3）若，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上学期期末教学质量监测 高一数学 本试卷共19题，共150分，共4页.考试时间120分钟.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. {3} B. {5} C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，根据并集的定义，可得答案. 【详解】因为集合，则. 故选：D. 2. 已知向量，则（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量的模长公式. 【详解】∵，∴，故A，B，C错误. 故选：D. 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数幂的运算性质可化简得出所求代数式的值. 【详解】由题意得. 故选：A. 4. 已知，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的定义，分与两种情况讨论即可求解. 【详解】当时，，得到，满足条件； 当时，，得到或，因为，所以； 综上所述，或. 故选：C. 5. 不等式的解集为，则的值为（ ） A. －1 B. 5 C. 3 D. －3 【答案】C 【解析】 【分析】将分式不等式转为，因为解集为，所以，即. 【详解】由化简得到，等价于， 因为解集为，所以，即. 故选：C. 6. 某生物实验小组种植了3粒新品种的种子，下列两个事件是互斥且不对立的是（ ） A. “至少有一粒种子发芽”与“至多有一粒种子发芽” B. “恰有两粒种子发芽”与“至少有一粒种子发芽” C. “三粒种子都发芽”与“至少有一粒种子发芽” D. “至少有两粒种子发芽”与“三粒种子都不发芽” 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义逐个判断即可求解. 【详解】样本空间为：3 粒种子发芽数为 0,1,2,3. “至少有一粒发芽”（1,2,3）与 “至多有一粒发芽”（0,1）交集为 “1 粒发芽”，能同时发生 不是互斥事件,故A不对； “恰有两粒发芽”（2）与 “至少有一粒发芽”（1,2,3） 交集为 “2粒发芽”，能同时发生不是互斥事件，故B不对； “三粒都发芽”（3）与 “至少有一粒发芽”（1,2,3）交集为 “3粒发芽”，能同时发生不是互斥事件，故C不对； “至少有两粒发芽”（2,3）与 “三粒都不发芽”（0）交集为空（不能同时发生）是互斥事件；并集为 {0,2,3}，未包含 “1粒发芽” 的情况所以两件事不是对立事件，故D正确. 故选D. 7. 已知函数，若，则（ ） A. －5 B. 5 C. 3 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件构造函数，证明为奇函数，由，得， 所以，所以. 【详解】令，则，定义域为 ， 因为 所以，所以为奇函数， 由，得， 因为为奇函数，所以，所以； 故选：D. 8. 命题“在区间上有零点”为真命题，则命题成立的一个必要不充分条件是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由在区间上有零点，得到或，令集合或，该命题一个必要不充分条件，则集合A是该条件范围的真子集，根据选项范围求解即可. 【详解】因为在区间上有零点， 所以，即，解得或； 令集合或， 由命题“在区间上有零点”的一个必要不充分条件， 集合A是该条件范围的真子集，根据题目选项A满足. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数在定义域内是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】分别讨论各个选项中函数在定义域内的单调性即能得到答案. 【详解】对于A， 的图象是一个开口向上的抛物线，对称轴为 ，在 上单调递减，在 上单调递增， 因此在定义域 内不是增函数，故 A不正确； 对于B. ，为定义域在上的幂函数，在定义域上单调递增，故B正确； 对于C， ，因 ，则该函数在上单调递减， 故C不正确； 对于D， 定义域为 ，由对数函数性质可知在定义域内单调递增，故D正确. 故选：BD 10. 设事件满足，则下列命题正确的有（ ） A. 若，则与相互独立 B. 若与相互独立，则 C. D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】由条件证明，结合独立事件的定义判断A；若与相互独立，由概率的加法公式求结论判断B；当时，有最小值，当与互斥时，有最大值，故C正确；若，所以；，所以，故D错误. 【详解】对于A，因为，所以， 由，得， 因为，所以， 所以与相互独立，故A正确； 对于B，若与相互独立，则，由概率的加法公式 ，故B正确； 对于C，当时，有最小值， 当与互斥时，有最大值； 所以，故C正确； 对于D，若，则，所以； 又因为， 根据德摩根定律有，又因为，所以，故 所以 所以，故D错误； 故选：ABC. 11. 已知实数满足，则（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为1 D. 有最大值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】因为结合题目化简得到， 所以有最大值为，故A正确；设，所以，由，所以，即，所以，故B正确；因为且，所以，故C 错误；因为且，所以，所以，故D正确. 【详解】对于A，因为且，所以，即，当且仅当或 时取等号，有最大值为，故A正确； 对于B，设，则， 所以，由，所以， 所以，即，所以， 当且仅当时，有最小值为故B正确； 对于C，因为且，所以， 当且仅当或时取等号，有最小值为，故C 错误； 对于D，因为且，所以，所以， 当且仅当或时，有最大值为2，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_____． 【答案】24 【解析】 【分析】根据求和的线性性质直接求解即可. 【详解】根据求和的线性性质. 故答案为：24. 13. 方程有两个正实根，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】若一元二次方程有两个正实根，则需满足，直接列不等式求解即可. 【详解】因为方程有两个正实根 ， 所以 ，解得 ； 实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】先分析得到函数的最小正周期为4，再利用函数的周期性求值即可. 【详解】因为为奇函数，所以，所以. 因为为偶函数，所以，所以， 所以，所以函数是周期为 4 的函数； 所以. 又因为，所以； 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设，且，已知． （1）若，求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2）18 【解析】 【分析】（1）利用对数的运算直接化简计算即可； （2）利用对数的性质得到，代入直接计算即可. 【小问1详解】 若，所以． 【小问2详解】 由，得． 所以． 16. 已知向量不共线，，，其中． （1）若三点共线，求的值； （2）当时，若，用基底表示． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三点共线列方程组，由此求得的关系式； （2）由计算得到，将，代入即可求解. 【小问1详解】 因为三点共线，则，设， 则有，即， 所以，且，得． 【小问2详解】 当时，，， 因为，； 所以 ， 得到， 所以． 17. 已知某校举办“智慧杯”知识竞赛，共有20个小组参加，成绩按百分制评定，组委会据此绘制频率分布直方图． （1）求a的值和样本的75%分位数； （2）估计样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （3）从成绩落在区间内选出2个小组参加培训，求这两个小组来自同一区间的概率． 【答案】（1），82 （2）71 （3） 【解析】 【分析】（1）根据小矩形的面积之和等于1即可得a的值，根据累计频率判断第75百分位数所在区间，然后代入百分位数求解公式计算； （2）利用平均数的计算公式直接求解即可. （3）由频率分布直方图可知，分别求得成绩落在区间、 的个数，利用列举法求得基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解. 【小问1详解】 由题意得，． 解得． 由直方图可知，75%分位数落在内，设． 所以． 解得． 【小问2详解】 样本数据的平均数 ． 【小问3详解】 由直方图可知，成绩落在区间的小组有5个，成绩落在区间有1个． 记的5个小组分别为的1个小组为． 则选出的2个小组的事件空间， 共15个，记事件“两个小组来自同一区间”，则共10个． 所以． 18. 已知函数． （1）当时，判断的奇偶性； （2）当时，解关于的不等式； （3）若时，，求的取值范围． 【答案】（1）奇函数 （2） 当时，不等式的解集为． 当时，不等式的解集为． 当时，不等式的解集为． （3） 【解析】 【分析】（1）由，直接利用奇偶性的定义判断即可求解； （2）当时，等价于，分和以及三种情况讨论即可求解； （3）由题．验证当时，不合题意．故只需讨论时，分或两种情况满足即可求解. 【小问1详解】 （1）当时，，且定义域为． 则，所以为奇函数． 【小问2详解】 当时，等价于，即． 当时，不等式的解为． 当时，不等式无解． 当时，不等式的解为． 综上所述，当时，不等式的解集为． 当时，不等式的解集为． 当时，不等式的解集为． 【小问3详解】 因为． 则． 当时，不合题意． 故只需讨论 或，解得或． 综上所述，的取值范围为． 19. 已知定义在上的函数满足，当时，，记． （1）求，； （2）当时，判断的单调性，用定义证明，并直接写出的值域； （3）若，，求的最小值． 【答案】（1）， （2） 证明：当时，， ，且． ，所以． 则，所以在上单调递增， 因为，所以在上的值域为． 因为函数定义在上，满足， 所以的图像关于点对称，所以的值域为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据解析式代入计算即可求得，由已知可得，即可得出结果； （2）利用函数单调性的定义法证明即可； （3）从已知条件出发得到，利用基本不等式进行放缩，得到，进而得到，由已知可得借助的单调性，计算即可得出结果. 【小问1详解】 当时，，所以． 由，所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，， 所以. 又因为的值域为，所以. 因为，所以 ．则， 当时，，则. 所以，得． 当且仅当，即时等号成立． 故，当且仅当等号成立， 所以，由（2）知，单调递增． 所以． 则当时，有最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $