精品解析：河南省百师联盟2025-2026学年高三上学期1月联考数学试卷

2026届高三年级1月联考 数 学 试 题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则集合中的元素个数为（   ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先解一元二次不等式求得集合A，求解对数复合函数的定义域求得集合B，然后利用交集运算求解即可. 【详解】因为集合， ， 所以，即集合中的元素个数为. 故选：C. 2. 若方程 表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线标准方程特征列不等式组求解即可. 【详解】因为方程 表示焦点在轴上的双曲线，所以， 解得，即实数的取值范围是. 故选：B. 3. 在平面直角坐标系中，从点 出发的一束光线经直线 上的点 反射后，又经过 轴上的点 反射后经过点 ，则 的周长是（   ） A. B. 5 C. 10 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出关于直线和轴的对称点坐标，然后根据对称的性质计算的周长即可. 【详解】点关于直线对称的点为，关于轴对称的点为. 由对称性可知，，， 反射光线的路径是，结合两次反射的对称性质，这条路径等价于​， 为了让整个反射路径闭合（最终回到），和必须在连接与的直线上， 否则路径无法满足 “两次反射后回到” 的条件.因此，​四点共线， 则的周长等于. 故选：D. 4. 下列说法正确的是（   ） A. 过圆 上一点 的切线方程为 B. 集合 的充要条件是 C. 函数 的最小值是4 D. 平面内到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的切线方程、对数函数的定义域、基本不等式以及抛物线的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，圆的圆心为点，点 为圆上一点，， 圆的切线与直线垂直， 当直线和切线的斜率都存在时，，所以切线的斜率，则切线方程为，化简得. 当直线的斜率不存在时，，，切线方程为，满足. 当直线的斜率为时，，，切线方程为，满足. 综上，过圆上一点的切线方程为，故A正确； 对于B，当时，集合； 当时，恒成立，所以，解得， 所以集合的充要条件是.故B错误； 对于C，令，，则函数即函数， 由对勾函数的性质，知函数在上单调递减， 所以当时，函数取得最小值，即函数的最小值是，故C错误； 对于D，当定点在定直线上时，点的轨迹是过定点的定直线的垂线，不是抛物线，故D错误. 故选：A. 5. 在中，内角所对的边分别是.若，且，则面积的最大值为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由给定条件，求出，利用正弦定理角化边、余弦定理求出，再利用基本不等式及三角形面积公式求出最大值. 【详解】在中，，由及正弦定理， 得，即，由余弦定理得， 而，则，又，当且仅当时取等号， 因此，所以面积的最大值为. 故选：C 6. 函数 的部分图象如图所示， 是正三角形，其中 ， 两点为图象与 轴的交点， 为图象的最高点，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作轴于点，利用正弦函数的周期公式和对称性得到，再利用函数的周期性可得. 【详解】 过点作轴于点，则由题意得. 因为是正三角形，所以. 设函数的最小正周期为，则. 因为，所以，所以. 因为，所以，，所以，，， 所以，，解得，. 因为，所以，所以， 则， 所以. 故选：B. 7. 已知，是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上的一点，点在轴上，满足.若，则椭圆的离心率为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆定义及角平分线的性质求得，，在中，利用余弦定理得，即可求解. 【详解】∵点在椭圆上，∴. 由知，直线平分，所以与共线， ∵，∴存在实数，使得， 整理得，∵不共线， ∴，解得，∴，. 在中，由余弦定理得. ∵，∴.化简得， ∴椭圆的离心率. 故选：C. 8. 已知函数，若不等式 在 上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简得到，利用导数求得是增函数，且是奇函数，把不等式转化为在上恒成立，令，转化为在上恒成立，令，得到，利用导数求得的单调性和最小值，即可求解. 【详解】由函数， 则（当且仅当时，等号成立）， 所以在上恒成立，所以函数是增函数， 因为，所以是奇函数， 因为在上恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则在上恒成立， 令，则，且函数等价于， 因为，令，可得；令，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以函数的最小值为， 即的最小值为，所以，即实数的取值范围是. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正项等比数列 的公比为 ，前 项的积为 ，若 ，，则下列说法正确的有（   ） A. B. C. D. 当 最小时， 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质、通项公式逐项判断计算即可. 【详解】由题意和正项等比数列的性质，得，，解得， ∵，∴，∴，解得，故B正确，C错误. 所以，所以，A错误. ∵，，∴当或时，，当时，. ∴当时，，当时，，当时，， ∴当最小时，或，故D错误. 故选：B. 10. 已知圆 ，直线 ，，则下列结论正确的有（   ） A. 存在 使得圆 关于直线 对称 B. 圆心到直线 的距离最小值为 C. 当 时，直线 与圆 相切 D. 存在 使得圆 上有三个点到直线 的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由对称性得到圆心在直线上代入直线方程可得A；由圆心到直线的距离公式可判断B、C、D. 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径. 若圆关于直线对称，则圆心在直线上，即， 关于的方程没有实数解，所以不存在使得圆关于直线对称，故A错误. 圆心到直线的距离，当且仅当时，等号成立，故B正确. 当时，直线的方程为. 因为圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切，故C正确. 因为，所以当圆上有三个点到直线的距离为时，圆心到直线的距离为， 即，所以，解得，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知为椭圆的左焦点，直线 与椭圆交于 两点，轴，垂足为，直线与椭圆的另一个交点为，则下列结论正确的有（   ） A. 直线 的斜率为 B. 为直角 C. 面积的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】设，由椭圆和直线的对称性，得到和的坐标，结合斜率公式，可判定A正确； 设，利用斜率公式和椭圆的方程，求得，可判定B错误；联立方程组，求得和，结合面积公式和基本不等式，求得面积的最大值，可判定C错误；连接，由椭圆的定义，得到，设，，化简，结合基本不等式，可判定D正确. 【详解】设，点在轴上方，椭圆的右焦点为， 如图所示，设，由椭圆和直线的对称性，则，，， 故直线的斜率，所以A正确； 设，直线的斜率为，直线的斜率为， 则， 因为点和点在椭圆上，所以和， 两式相减，可得， 又因为，所以，所以，即， 所以直线与不垂直，即不是直角，所以B错误； 联立方程组，解得，则，， 所以的面积， 当且仅当，即时，等号成立，所以面积的最大值是， 同理可得，当时，面积的最大值也是，所以C错误； 连接，椭圆的左、右焦点分别为，， 由椭圆的定义得， 又因为点关于坐标原点对称，所以，所以， 设，，，，则， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立，所以D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则________ 【答案】 【解析】 【分析】方法一：构造，且，则当时，是以为首项，为公比的等比数列，进而得解； 方法二：根据题意得，再由得解. 【详解】方法一： 当时，， 当时，， ，，且， 当时，是以为首项，为公比的等比数列， ，，. 方法二： 当时，， . 当时，，，. 故答案为： 13. 在平行六面体 中，，.若 ，，，则 ________ 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理和向量数量积的运算进行求解即可. 【详解】，，， ，， ， ，，，，，， 代入上式，解得. ，，即. 故答案为：. 14. 已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，过点 的直线 与双曲线 的右支交于不同的两点 ，.若双曲线 在 ， 两点处的切线相交于点 ，直线 轴与双曲线 的右支交于点 ，则 的最小值为________ 【答案】 【解析】 【分析】设，，先列出双曲线在点，处的切线方程，然后求出直线l的方程，将其与双曲线方程联立，结合韦达定理将所求表达式进行化简，根据二次函数的性质求出最值即可. 【详解】由题意得，，设，（，）， 则双曲线在点，处的切线方程分别为，. 设，则，， 所以点A，B都在直线上. 因为点在直线AB上，所以，即， 直线l的方程为，即. 由题意知，直线l的倾斜角不为0，则直线l的方程可设为，所以，即. 联立直线l和双曲线C的方程，化简得. 恒成立，由，得，则. 设，则，，所以， 所以， 所以当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面内三点，，. （1）若直线经过点且与线段有交点，求直线的斜率的取值范围； （2）若直线经过点，且与，轴的正半轴分别交于， 两点，求的最小值及此时的方程. 【答案】（1） （2）12， 【解析】 【分析】（1）求出直线，AC的斜率，然后利用数形结合求解直线的斜率范围； （2）由题意直线的方程为，求出， 两点坐标，则，然后利用基本不等式求解最小值及直线的方程. 【小问1详解】 因为，，， 所以直线，AC的斜率分别为，. 因为直线经过点A且与线段BC有交点，所以其斜率k满足， 即，即直线的斜率的取值范围是. 【小问2详解】 由题意，得直线的斜率存在，设为，则. 因为直线过点，所以直线的方程为. 令，解得；令，解得，则，. 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为12. 此时直线的方程为. 16. 如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求二面角的正切值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，用向量法即可求解； （2）分别求出平面与平面的法向量，用向量法求出二面角平面角的余弦值，然后利用同角三角函数关系求解正切值即可. 【小问1详解】 因为，，两两垂直，所以以为坐标原点，分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，所以， 则， 设平面的法向量为，则， 令，则，得， 又，设直线与平面所成角为， 所以； 【小问2详解】 由（1）知平面的一个法向量为， 易知为平面的一个法向量，由题可知，二面角的平面角是锐角， 所以， 因为，所以， 即二面角的正切值为. 17. 已知一动圆的圆心为，该动圆与圆 外切，同时与圆 内切. （1）求该动圆圆心的轨迹方程； （2）设圆心的轨迹为曲线.点在曲线上（异于顶点），，，，直线 交 轴于点 ，若的面积是的面积的两倍，求的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意，，进而根据椭圆的定义可得； （2）由题意设直线的方程为，则，联立椭圆方程可得，进而可得，，由，进而可得. 【小问1详解】 设动圆的半径为. 由题意，圆与圆的标准方程分别为和， 故，半径，，半径， 由题意得，， 故， 由椭圆的定义，得圆心的轨迹是焦点在轴上，长轴长为，焦距为的椭圆. ，，故， 故圆心的轨迹方程为. 【小问2详解】 由（1）知，曲线即椭圆. 由题意，点，是椭圆的左、右顶点. 由题意知，直线的斜率一定存在，设为，则，且， 直线的方程为，则 设， 由消去，整理得. 由题意得，故， 故， 又点到直线的距离， 故 又， 由题意，化简得， 解得或 当时，，则； 当时，，则. 综上，的值为或. 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）设，若对任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，函数有两个零点，，求证：. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出导函数，按照和分类讨论研究函数单调性； （2）将题干恒成立问题转化为，设，利用导数法求得在上单调递增，从而转化为在上恒成立，设，，利用导数法求得，即可求解； （3）将证明转化为证，设，，利用导数法求得单调递减，则有，即可得证. 【小问1详解】 函数，其定义域为，∴. 当时，恒成立，∴在上单调递增； 当时，令，解得， 当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由题意，∴即. ∵，∴不等式可化为，即. 设，则当时，；当时，；当时，. ，当时，，在上单调递增. 当时，，，故， 当时，，，，在上恒成立， 即在上恒成立. 设，，则， 在上单调递增，， ∴， 综上实数a的取值范围是. 【小问3详解】 由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增. 函数有两个零点，，不妨设，则. 要证，只要证，，，只要证. 又∵，∴只要证. 设，， 则. 当时，，，， ∴，∴单调递减，∴. ，即， ∴. 19. 我们把形如 的数学对象称作一个 矩阵. 定义矩阵乘法：. 已知矩阵 . （1）若矩阵 ，计算 和 . （2）若矩阵 ，其中 ，，， 都是正整数，且满足 和 ，证明：. （3）现定义：，其中 ， 且 ，利用以上定义. 写出数列 与 间的递推关系式；记 ， 为方程 的两个根，利用数列 和 ，求数列 ， 的通项公式. 【答案】（1）； （2） 证明：， 由矩阵乘法的定义，得 ； ∵，∴， 化简得 . ∵，∴，即 . （3） ，. 【解析】 【分析】（1）根据矩阵乘法的定义计算即可. （2）根据矩阵乘法的定义和已知条件证明即可. （3）根据矩阵乘法的定义列出，然后得到等式，结合已知条件得出数列 是首项和公比均为 的等比数列 ，数列 是首项和公比均为 的等比数列，然后根据等比数列的通项公式求出结果即可. 【小问1详解】 解：，， 由矩阵乘法的定义，得 ； . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，， ∴ ①， ② ，① ②，得 . ∵，∴，∴ ， ∴，∴ 数列 是首项和公比均为 的等比数列 . 同理，数列 是首项和公比均为 的等比数列. ∴，. 解得 ，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三年级1月联考 数 学 试 题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则集合中的元素个数为（   ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若方程 表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，从点 出发的一束光线经直线 上的点 反射后，又经过 轴上的点 反射后经过点 ，则 的周长是（   ） A. B. 5 C. 10 D. 4. 下列说法正确的是（   ） A. 过圆 上一点 的切线方程为 B. 集合 的充要条件是 C. 函数 的最小值是4 D. 平面内到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线 5. 在中，内角所对的边分别是.若，且，则面积的最大值为（   ） A. B. C. D. 6. 函数 的部分图象如图所示， 是正三角形，其中 ， 两点为图象与 轴的交点， 为图象的最高点，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 7. 已知，是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上的一点，点在轴上，满足.若，则椭圆的离心率为（   ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若不等式 在 上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正项等比数列 的公比为 ，前 项的积为 ，若 ，，则下列说法正确的有（   ） A. B. C. D. 当 最小时， 10. 已知圆 ，直线 ，，则下列结论正确的有（   ） A. 存在 使得圆 关于直线 对称 B. 圆心到直线 的距离最小值为 C. 当 时，直线 与圆 相切 D. 存在 使得圆 上有三个点到直线 的距离为 11. 已知为椭圆的左焦点，直线 与椭圆交于 两点，轴，垂足为，直线与椭圆的另一个交点为，则下列结论正确的有（   ） A. 直线 的斜率为 B. 为直角 C. 面积的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则________ 13. 在平行六面体 中，，.若 ，，，则 ________ 14. 已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，过点 的直线 与双曲线 的右支交于不同的两点 ，.若双曲线 在 ， 两点处的切线相交于点 ，直线 轴与双曲线 的右支交于点 ，则 的最小值为________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面内三点，，. （1）若直线经过点且与线段有交点，求直线的斜率的取值范围； （2）若直线经过点，且与，轴的正半轴分别交于， 两点，求的最小值及此时的方程. 16. 如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求二面角的正切值. 17. 已知一动圆的圆心为，该动圆与圆 外切，同时与圆 内切. （1）求该动圆圆心的轨迹方程； （2）设圆心的轨迹为曲线.点在曲线上（异于顶点），，，，直线 交 轴于点 ，若的面积是的面积的两倍，求的值. 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）设，若对任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，函数有两个零点，，求证：. 19. 我们把形如 的数学对象称作一个 矩阵. 定义矩阵乘法：. 已知矩阵 . （1）若矩阵 ，计算 和 . （2）若矩阵 ，其中 ，，， 都是正整数，且满足 和 ，证明：. （3）现定义：，其中 ， 且 ，利用以上定义. 写出数列 与 间的递推关系式；记 ， 为方程 的两个根，利用数列 和 ，求数列 ， 的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $