四川省绵阳市北川羌族自治县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025年秋季九年级（上）期末教学质量监测试卷 （九年级数学） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 下列出形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C D． 2.若点A（2，a）与B（b,-3）关于原点对称，则点M（a,b）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.下列事件是确定事件的是（　　） A．打开手机正好显示8点 B．抛掷正方体骰子一次出现4点 C．明天会下雨 D．任意画一个三角形，它内角和等于180° 4.抛物线y=（x-2）2-6的顶点坐标为（　　） A．（2，6） B．（-2，-6） C．（2，-6） D．（-2，6） 5.如图是我国清代康熙年间八角青花碗，其轮廓是一个正八边形，若正八边形的边长为4cm,对角线AB、CD相交于点E．则线段AB的长为（　　） A．6 B．4+2 C．4+4 D．12 6.如图，某小区规划在长32米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，一条与AD平行，其余部分种植草坪，若使草坪的面积为570平方米，问小路宽为多少米？设小路的宽为x米，根据题意可列方程为（　　） A．（32-x）（20-x）=570 B．（32-2x）（20-x）=570 C．32×20-2×20x-32x=570 D．32×20-2×20x-32x+x2=570 7.“云南十八怪”有一怪“斗笠当锅盖”，是指云南竹林较多，许多用具以竹子为原料，而锅盖就形似于内地的斗笠，而且用此做锅盖，透气保温，做出来的饭菜更加清香．已知斗笠锅盖可以近似看为一个圆锥，若一个斗笠锅盖的底面直径为30cm,高度为20cm,则该斗笠锅盖的侧面积大约为（　　） A．375πcm2 B．750πcm2 C．75πcm2 D．150πcm2 8.已知二次函数y=-x2+（n+2）x+3，反比例函数y=在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（　　） A．n＞1 B．n＜-2 C．-2＜n＜1 D．-1＜n＜2 9.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=50°，将此三角形绕点B沿逆时针方向旋转后得到△A′BC′，若点C′恰好落在线段AC上，AB，A′C′交于点D，则∠A′BD等于（　　） A．65° B．70° C．75° D．80° 10.如图，在△ABC中，0，I是△ABC的内心，连接BI、CI，则∠BIC的度数是（　　） A．110° B．120° C．130° D．140° 11.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=- ，经过点（-2，0），下列结论：①a=b；②abc＜0；③a+=0；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y=ax2+bx+c上，当x1＞x2≥-时，y1＜y2；⑤若ax12+bx1= ax22+bx2且x1≠x2，则x1+x2=-1．其中正确结论的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 12.如图，矩形ABCD中，点A在双曲线y=- 上，点B，C在x轴上，延长CD至点E，使CD=2DE，连接BE交y轴于点F，连接CF，则△BFC的面积为（　　） A．9 B．11 C．12 D．13 二、填空题（每小题4分，共24分） 13． 已知关于x的一元二次方程x2+2mx-20=0的一个根是-5，则它的另一个根是 ． 14.水是生命之源．水分子的化学式为H2O，即1个水分子H2O由2个氢原子H和1个氧原子O组成．现有形状大小完全相同的4张卡片，分别有H，H，O，O图案，小明从打乱的这4张卡片中随机任取3张，则这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率是 ． 15.某加工厂10月份加工了9吨成品，设该厂该季度加工成品重量的月平均增长率为x,则12月份加工了 吨成品．（用含x的代数式表示） 16． 将抛物线y=x2-2x+2向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到新抛物线的解析式为 ． 17.有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数y=x2 +bx 来表示，已知OK=8米．若借助横梁ST（ST∥OK）建一个门，要求门的高度为1.5米，则横梁ST的长度是 米． 18.勾股容圆最早见于《九章算术》“勾股”章，该章第16题为：“今有勾八步，股十五步．问勾中容圆，径几何？”意思是：今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径是 步． 更新：2023/12/11组卷：135引用：2难度：0.5解析收藏换一题下载 三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 19.(10分)（1）解方程：（3-x）2+x2=12； （2）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点的坐标为A（4，0），B（4，2），O（0，0），将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA1B1．请直接写出点A1和点B1的坐标，并求在旋转过程中线段OB扫过的面积． 20. (10分)九年级物理学习了电学知识后，小明选取了四个开关按键、一个电源、一个小灯泡和若干电线设计了如图的电路图（四个开关按键都处于打开状态）． （1）若K1闭合，则任意闭合其余三个开关按键中的一个，小灯泡能发光的概率为 ； （2）求同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率．（用列表或树状图法） 21．(11分) 已知关于x的一元二次方程mx2-（2m-1）x+m=0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设方程的两个实数根为α，β，且α2+β2=7，求m的值． 22．(15分) 如图，一次函数y=-2x+b的图象与反比例函数y=(k0)的图象在第二象限交于点A（-1，n），与x轴交于点B，已知点B的横坐标为2． （1）求n的值和反比例函数的解析式； （2）点P是反比例函数y=图象第二象限分支上的一点，且点P在点A下方，当∠POA=∠BAO时，求点P的坐标． 23．(15分) 根据以下素材，解决生活问题 【素材背景】 某超市以40元/箱的价格购进A品牌纯牛奶．售价60元/箱时，每星期可卖出300箱．市场调查表明：每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件． 【问题解决】 （1）若调整后的售价为x元（x为正整数），每星期销售A品牌纯牛奶的数量为y箱，求y与x的函数关系； （2）该超市想获得最大周利润，请你帮助他们确定A品牌纯牛奶销售价格（整箱销售）； （3）若该超市想每周获得利润不少于6000元，请确定A品牌纯牛奶售价的范围． 24．(15分) 如图，⊙O为△ABC的外接圆，点P在CO的延长线上，PC交⊙O于点D，交AB于点E，连接BP，BD，AD，∠PBD=∠BAD，AC∥PB． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）求证：BC2=AD•PC； （3）若 = ，求的值． 25．（16分 ）如图，直线y=x-3与x轴，y轴分别交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线=-x2+mx+n与x轴的另一个交点为A，顶点为P． （1）求该抛物线的解析式以及顶点P的坐标； （2）当0＜x＜3时，在抛物线上存在点E，使△CBE的面积有最大值，求点E的坐标； （3）连接AC，点N在x轴上，是否存在以B，P，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分 1—5. BDDCC 6—10. BACDC 11—12. CA 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 4 14. 15. 9（1+x）2 16. y=x2-1 17. 4 18. 6 三、解答题：本大题共7个小题，共90分 19. 解：（1）（3-x）2+x2=12， ∴x2-6x+9+x2=12， ∴2x2-6x-3=0， ∴Δ=（-6）2-4×2×（-3）=60， （3分） （2分） （2）将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA1B1，如图即为所求； （2分） ∴A1（0，4），B1（-2，4）； 由题意可得：∠BOB1=90°，OB2=42+22=20， （3分） 20. 解：（1）在K1闭合的情况下，任意闭合其余三个开关按键中的一个，小灯泡能发光的概率为． 故答案为：； （3分） （2）画树状图为：（3分） 共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果数为6， 所以小灯泡发光的概率为=．（4分） 21.解：（1）根据题意得，Δ=（2m-1）2-4m2=-4m+1≥0 且 m≠0， （3分） （8分） 22.解：（1）由条件可知B（2，0），将点B（2，0）代入一次函数y=-2x+b 得：-2×2+b=0，解得b=4， ∴一次函数的解析式为y=-2x+4， （2分） 由条件可得n=-2×（-1）+4=6， ∴A（-1，6）， （3分） （2）①如图，当点P在直线OA下方的反比例函数的图象上时， 由条件可知AB∥OP， ∴直线OP的解析式为y=-2x, （3分） ∴此时点P的坐标为． （3分） ②如图，当点P在直线OA上方的反比例函数的图象上时， 设直线AB与y轴交于点C， 对于一次函数y=-2x+4， 当x=0时，y=4，即C（0，4），OC=4， 由（1）已得：A（-1，6）， （2分） ∴AC＜OC， ∴在△AOC中，∠AOC＜∠BAO， 又∵∠POA＜∠AOC， ∴∠POA＜∠BAO，即此时∠POA与∠BAO不可能相等； 综上，点P的坐标为(-,2)． （2分） 23. 解：（1）根据题意得：涨价时，y=300-10（x-60）（60≤x≤90）， 降价时，y=300+20（60-x）（40≤x≤60）， 综上所述，y与x的函数关系式为； （3分） （2）设每星期所获利润为W， 当涨价时，W=（x-40）（-10x+900）=-10（x-65）2+6250（60≤x≤90）， 当x=65时，y的最大值是6250； （2分） 当降价时，W=（x-40）（-20x+1500）=-20（x-57.5）2+6125（40≤x≤60）， ∵x为正整数， ∴x=57或x=58时利润最大，最大值为6120元， 综所述，该超市想获得最大周利润，A品牌纯牛奶销售价格为65元；（3分） （3）当60≤x≤90时，-10（x-65）2+6250=6000， 解得：x=60或x=70， ∴60≤x≤70； （3分） 当40≤x≤60时，-20（x-57.5）2+6125=6000， 解得：x=55或x=60， ∴55≤x≤60； 综上所述，为了使每周利润不少于6000元， 售价x的范围是55≤x≤70． （4分） 24.（1）（5分）证明：⊙O为△ABC的外接圆，如图，连接OB， ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB， ∴∠BAD=∠BCD， ∵∠PBD=∠BAD， ∴∠OBC=∠PBD， ∵CD为⊙O的直径， ∴∠CBD=90°， ∴∠OBC+∠OBD=90°， ∴∠OBC+∠PBD=90°， 即∠OBP=90°， ∴PB⊥OB， ∵OB是圆的半径， ∴PB是⊙O的切线； （2）（5分）证明：∵AC∥PB， ∴∠P=∠ACP，∠PBA=∠CAB， ∵∠ACD=∠ABD， ∴∠ABD=∠P， ∵∠PBD=∠BAD， ∴∠ADB=∠PDB， ∵∠PDB+∠BDC=180°，∠BDC=∠BAC， ∴∠PDB+∠BAC=180°， ∵∠ADB+∠ACB=180°， ∴∠BAC=∠BCA， ∴AB=BC， ∵∠DAB=∠PCB，∠P=∠ABD， ∴△ABD∽△CPB， ∴BC2=AD•PC； （3）（5分）解：， ∵设PD=2k,则PB=3k, ∵∠PBD=∠BAD，∠BCD=∠BAD， ∴∠PBD=∠BCP， 又∵∠P=∠P， ∴△PBD∽△PCB， 25. 解：（5分）（1）在y=x-3中，令x=0得y=-3，令y=0得x=3， ∴B（3，0），C（0，-3）， 把B（3，0），C（0，-3）代入y=-x2+mx+n得： ∴抛物线的解析式为y=-x2+4x-3， ∵y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1， ∴抛物线顶点P（2，1）； （2）（5分）过E作EH∥y轴交BC于H，如图： 设E（t,-t2+4t-3），则H（t,t-3）， ∴EH=-t2+4t-3-（t-3）=-t2+3t, （3）（6分）存在以B，P，N为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下： 过P作PQ⊥x轴于Q，如图： 在y=-x2+4x-3中，令y=0得0=-x2+4x-3， 解得x=1或x=3， ∴A（1，0），B（3，0）， ∵C（0，-3），P（2，1）， ∴PQ=BQ=1，OB=OC=3，BA=2，BC=3，BP=，BC=3， ∴∠ABC=45°=∠PBQ， 以B，P，N为顶点的三角形与△ABC相似时，N在B左侧，只需满足 学科网（北京）股份有限公司 $