精品解析：湖北省A20联盟2025--2026学年上学期八年级数学期末质量检测

湖 北 省 A20 联 盟 期 末 质 量 检 测一 数 学 试 题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共4页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并收回． 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共10小题，每题3分，满分30分. 在每题给的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 近年来，国产人工智能模型发展迅速，以下四款人工智能模型的图标中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，则这个支点一定是三角形的（ ） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条高的交点 D. 三条角平分线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的重心的概念和性质，掌握数学知识在实际生活中的应用是解题的关键．支点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心，据此即可作答． 【详解】解：能使三角形保持平衡的支点是重心，而三角形的重心是三条中线的交点， 故选：A． 3. 下列条件中，不能判定，的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键；根据、、等判定定理逐项判断即可． 【详解】解：、， ， 故本选项不符合题意； 、， ， 故本选项不符合题意； 、， ， ， ， 故本选项不符合题意； 、不是夹角， 不能根据证明， 故本选项符合题意； 故选：D． 4. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断是否是因式分解等知识点，解题关键是掌握因式分解的概念． 根据因式分解的定义，判断等式是否将多项式化为整式的积的形式． 【详解】解：中从左到右是整式乘法， 所以从左到右的变形不是因式分解， 故A不符合； 中，是将多项式化为积的形式， 所以从左到右的变形是因式分解， 故B符合； 中右边不是整式，不是整式的积， 所以从左到右的变形不是因式分解， 故C不符合； 中从左到右是整式乘法， 所以从左到右的变形不是因式分解， 故D不符合． 故选：B． 5. 如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形拼成一个大正方形图案．分别用a，b（）表示小长方形的长和宽，已知，阴影部分小正方形的边长为3，则下列关系式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，利用数形结合分析问题是解题的关键． 根据完全平方公式及图形的特点找到长度与面积的关系即可依次判断． 【详解】解：由图可知大正方形图案边长为，面积为， 、阴影部分小正方形的边长为，则面积为，故A正确，不符合题意； 、，故B正确，不符合题意； 、由，， 得：，故C错误，符合题意； D、得：，则，故D正确，不符合题意； 故选：C． 6. 要使分式的值扩大到原来的4倍，则（　　） A. 的值都扩大到原来的2倍 B. 的值都扩大到原来的4倍 C. 的值不变，的值扩大到原来的4倍 D. 的值不变，的值扩大到原来的4倍 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的变化计算，准确的计算是解决本题的关键． 设，通过计算变化后的分式值，与原始值比较，即可判断． 【详解】解：设， A、∵的值都扩大到原来的2倍， ∴，不符合题意； B、∵的值都扩大到原来的4倍， ∴，符合题意； C、∵的值不变，的值扩大到原来的4倍， ∴，不符合题意； D、∵的值不变，的值扩大到原来的4倍， ∴，不符合题意； 故选B． 7. 如图，的三边、、的长分别为、、，三角形的三条角平分线将分为三个三角形，若的面积为，则的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键． 过点作、、的垂线，垂足分别为，由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作、、的垂线，垂足分别为， ∵是的三条角平分线， ∴． ∵的面积为，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ， ， ， ， ． 故选：B． 8. 若关于x的分式方程无解，则m的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程无解的情况，分清分式方程无解的情况包括整式方程有增根或整式方程本身无解是解题的关键． 首先对分式方程进行求解，发现整式方程总是有解，因此只需考虑增根情况，求得增根进行求解m的值即可． 【详解】解：， ， 方程有增根时，代入得，解得：， ∴当时，分式方程无解， 故选：A． 9. 数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（ ） A. 甲： B. 乙： C. 丙： D. 丁： 【答案】D 【解析】 【分析】甲：利用完全平方公式进行因式分解即可；乙：利用平方差公式进行因式分解即可；丙：利用提取公因式法进行因式分解即可；丁：不能进行因式分解． 【详解】解：A、甲：，故此选项不符合题意； B、乙：，故此选项不符合题意； C、丙：，故此选项不符合题意； D、丁：，不能因式分解，故此选项符合题意． 10. 如图，已知，、为上的两点，、为上的两点，延长于点，平分，直线平分，若．①；②；③；④设，则其中正确的结论有（　　）个 A. ①③④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】①根据平分可对结论①进行判断； ②根据和①可对结论②进行判断； ③根据直线平分和对顶角相等，可对结论③进行判断； ④由①②得，再根据三角形内角和定理可求出对结论④进行判断； 本题主要考查了角平分线定义、平行线的判定与性质和三角形的内角和定理，理解角平分线定义，熟练掌握平行线的判定与性质、三角形的内角和定理是解决问题的关键． 【详解】解： ①∵平分， ∴， 则①正确； ②∵， ∴， ∵， ∴， 则②正确； ③∵直线平分， ∴， ∵， ∴， 则③正确； ④∵， ∴由①②得， ∵， 在中， ， ∵， ∴， ∴， 则④不正确； 故选：C． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 如果，，那么_______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 将 用平方差公式分解为，再代入已知条件求解． 【详解】解：由平方差公式，得． ∵，， ∴， 解得． 故答案为：7． 12. 若定义，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程，根据题意列方程，即可解答，根据新定义得到方程是解题的关键． 【详解】解：， 由题意可得， 解得 故答案为：． 13. 如果关于的分式方程有正整数解，且关于的不等式组无解，那么符合条件的所有整数的和是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组，解分式方程，解决此题的关键是理解不等式组无解的意义，以及分式方程有正整数解．首先求解分式方程，得到参数的可能取值；再根据不等式组无解的条件筛选的值；最后计算符合条件的整数的和． 【详解】解：分式方程， 方程两边同乘以，得， 整理得， 解得， 为正整数， 是的正因数（，，，，，）， ，即， ，解得， 的取值为，，，，， 取值为，，，，； 解不等式得，， 不等式组无解， ， 取值为，，，，（排除）， 符合条件的所有整数的和是． 故答案为：． 14. 如图，将长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，则__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查折叠的性质及平行线的性质；由题意易得，，则有，，然后问题可求解． 【详解】解：由折叠可知：，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：6． 15. 如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积________． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练运用全等三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键． 过点作于点，过点作于点，根据角平分线性质定理得，结合三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义求出，再通过证明，，则，，，根据三角形面积公式求出，，再根据的面积求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ，，分别为的角平分线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 的面积， ， ， 为的角平分线，，， ， ， 的面积， 故答案为：4． 三、解答题（共9题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，先运算积的乘方，然后运算同底数幂相乘，再运算同底数幂相除，最后合并同类项，即可作答． 【详解】解： ． 17. 先化简：再从，，中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，（当时） 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，因式分解，分式有意义的条件，正确进行因式分解是解题关键．先对括号内分式通分合并，将除法转化为乘法并对所有分子分母因式分解后约分，再与后面的分式合并化简，最后选择合适的值代入求值． 【详解】解：原式 ， 根据题意可知，要使原分式有意义，则，且， 故令，． 18. 如图，已知网格上最小的正方形的边长为1，位置如图所示． （1）作关于轴的对称图形，并写出点的坐标； （2）延长，交于点，请直接写出点的坐标以及，所在直线的位置关系． 【答案】（1） 如图， （2） 如图， ，与所在直线的位置关系为垂直 【解析】 【分析】本题考查的是作图-轴对称变换，写出平面直角坐标系中点的坐标，两条直线的位置关系． （1）先确定点的位置，再连线可得，然后写出点的坐标即可； （2）根据题意画出图形，然后结合图形解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴与所在直线的位置关系为垂直． 19. 如图，是的高，是的角平分线，是的中线． （1）若，求的度数； （2）若，试判断与的面积关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：与的面积相等， 理由：由三角形面积公式可得，， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，中线的定义及三角形面积公式的应用． （1）根据已知条件得出的度数，再利用角平分线的定义得出，最后利用直角三角形两锐角互余得出的度数； （2）由三角形面积公式可得，，结合中线的定义将的面积表达式进行转化，再由得出，从而得证结论． 【小问1详解】 解：∵是的高，， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 20. 在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“已知，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． 请你也利用逆向思考的方法解决下列问题： （1）若，，求的值； （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，变形计算即可； （2）逆向应用积的乘方解答即可． 本题考查了公式的逆向应用，熟练掌握公式是解题的关键 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解： ． 21. 阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即． 所以．故的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目： （1）已知，求的值． （2）已知，，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了新的解题方法—“倒数法”，正确理解题意是解题关键． （1）首先利用“倒数法”可得，然后将整理为，代入数值计算，进一步求解即可获得答案； （2）首先利用“倒数法”可得，，，易知，然后将整理为，代入数值计算，进一步求解即可获得答案． 【小问1详解】 解：由知， 所以，即， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵，，， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 22. “一方天地藏日月，一壶盖碗煮春秋”，茶文化是中华文化的重要组成部分．磁器口古镇一茶馆售卖特色茶饮“巴渝云雾”和“沙磁茉莉”，上周末共卖出这两种茶饮70杯，总销售额为1200元．已知“巴渝云雾”每杯售价20元，“沙磁茉莉”每杯售价15元． （1）求上周末售出这两种茶饮各多少杯？ （2）已知每大罐“巴渝云雾”的成本为180元，每大罐“沙磁茉莉”的成本为160元，一罐“巴渝云雾”和一罐“沙磁茉莉”共计可冲泡35杯，且“巴渝云雾”每杯成本是“沙磁茉莉”每杯成本的1.5倍．求上周末售出这两种茶饮的利润一共多少元？ 【答案】（1）30杯；40杯 （2）520元 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程和分式方程的销售利润问题的应用，熟悉销售问题的数量关系是解题的关键. （1）设上周末售出“巴渝云雾”杯，则上周末售出“沙磁茉莉”杯，根据“总销售额为1200元．已知“巴渝云雾”每杯售价20元，“沙磁茉莉”每杯售价15元”建立一元一次方程求解； （2）设 “沙磁茉莉”每杯成本是元，“巴渝云雾”每杯成本是元，根据题意建立分式方程求解，再由利润公式求解利润． 【小问1详解】 解：设上周末售出“巴渝云雾”杯，则上周末售出“沙磁茉莉”杯， 由题意得，， 解得： ， （杯）， 答：上周末售出“巴渝云雾”30杯，上周末售出“沙磁茉莉”40杯； 【小问2详解】 解：设 “沙磁茉莉”每杯成本是元，“巴渝云雾”每杯成本是元． ， 解得： ， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， ∴“沙磁茉莉”每杯成本是8元，“巴渝云雾”每杯成本是元， 则利润为：（元）， 答：上周末售出这两种茶饮的利润一共520元． 23. 阅读材料：如果将（，n为非负整数）的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： 观察上式，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写，以此确定的展开式．该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角． 应用规律： （1）根据规律的展开式共有_____项，直接写出它的展开式，_______； （2）观察上式，可以发现的展开式中，时，前两行共有3项，时，前三行共有6项，时，前四行共有10项……依此类推，当时，前行共有多少项？ 【答案】（1）五， （2）前行共有351项． 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法的应用、数字规律的探究，理解题意弄清展开式各项系数的规律是解题的关键． （1）根据前三个式子，找出规律，根据规律作答即可； （2）根据前四个式子，找出规律，根据规律作答即可． 【小问1详解】 解：由杨辉三角知： 的展开式有二项，； 的展开式有三项，； 的展开式有四项，； ∴的展开式有五项，； 【小问2详解】 解：由题可得，当时，展开有1项， 当时，展开有2项， 时，展开有3项，前三行共有项， 时，展开有4项，前四行共有项 …… ∴时，展开有26项． ∴前26行共有：． 答：前行共有351项． 24. 【模型初探】 （1）如图1，在中，，点A，D，E在直线l上．若，求证：； 【正向迁移】 （2）如图2，在中，，点A，D，E在直线l上．若，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是边上的中线，分别以和为边作等腰直角三角形．在中，，；在中，，；连接，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1）证明：∵， ，， ， 在和中， ， ∴； （2）证明：是的外角， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴，， ∴； （3），理由如下： 如图，延长至点G，使，连接， ∵是边的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，平行线的判定和性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）同角的余角得到，利用证明即可； （2）证明得出，，即可得解． （3）延长至点G，使，连接，证明，可得，，推出，等量代换得到，再证明，得到，进而可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖 北 省 A20 联 盟 期 末 质 量 检 测一 数 学 试 题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共4页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并收回． 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共10小题，每题3分，满分30分. 在每题给的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 近年来，国产人工智能模型发展迅速，以下四款人工智能模型的图标中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，则这个支点一定是三角形的（ ） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条高的交点 D. 三条角平分线的交点 3. 下列条件中，不能判定，的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形拼成一个大正方形图案．分别用a，b（）表示小长方形的长和宽，已知，阴影部分小正方形的边长为3，则下列关系式中错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 要使分式的值扩大到原来的4倍，则（　　） A. 的值都扩大到原来的2倍 B. 的值都扩大到原来的4倍 C. 的值不变，的值扩大到原来的4倍 D. 的值不变，的值扩大到原来的4倍 7. 如图，的三边、、的长分别为、、，三角形的三条角平分线将分为三个三角形，若的面积为，则的面积为（ ）． A. B. C. D. 8. 若关于x的分式方程无解，则m的值为（ ） A. B. C. D. 2 9. 数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（ ） A. 甲： B. 乙： C. 丙： D. 丁： 10. 如图，已知，、为上的两点，、为上的两点，延长于点，平分，直线平分，若．①；②；③；④设，则其中正确的结论有（　　）个 A. ①③④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②④ 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 如果，，那么_______． 12. 若定义，且，则______． 13. 如果关于的分式方程有正整数解，且关于的不等式组无解，那么符合条件的所有整数的和是________． 14. 如图，将长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，则__________． 15. 如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积________． 三、解答题（共9题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 先化简：再从，，中选一个合适的数作为的值代入求值． 18. 如图，已知网格上最小的正方形的边长为1，位置如图所示． （1）作关于轴的对称图形，并写出点的坐标； （2）延长，交于点，请直接写出点的坐标以及，所在直线的位置关系． 19. 如图，是的高，是的角平分线，是的中线． （1）若，求的度数； （2）若，试判断与的面积关系，并说明理由． 20. 在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“已知，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． 请你也利用逆向思考的方法解决下列问题： （1）若，，求的值； （2）计算：． 21. 阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即． 所以．故的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目： （1）已知，求的值． （2）已知，，，求的值． 22. “一方天地藏日月，一壶盖碗煮春秋”，茶文化是中华文化的重要组成部分．磁器口古镇一茶馆售卖特色茶饮“巴渝云雾”和“沙磁茉莉”，上周末共卖出这两种茶饮70杯，总销售额为1200元．已知“巴渝云雾”每杯售价20元，“沙磁茉莉”每杯售价15元． （1）求上周末售出这两种茶饮各多少杯？ （2）已知每大罐“巴渝云雾”的成本为180元，每大罐“沙磁茉莉”的成本为160元，一罐“巴渝云雾”和一罐“沙磁茉莉”共计可冲泡35杯，且“巴渝云雾”每杯成本是“沙磁茉莉”每杯成本的1.5倍．求上周末售出这两种茶饮的利润一共多少元？ 23. 阅读材料：如果将（，n为非负整数）的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： 观察上式，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写，以此确定的展开式．该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角． 应用规律： （1）根据规律的展开式共有_____项，直接写出它的展开式，_______； （2）观察上式，可以发现的展开式中，时，前两行共有3项，时，前三行共有6项，时，前四行共有10项……依此类推，当时，前行共有多少项？ 24. 【模型初探】 （1）如图1，在中，，点A，D，E在直线l上．若，求证：； 【正向迁移】 （2）如图2，在中，，点A，D，E在直线l上．若，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是边上的中线，分别以和为边作等腰直角三角形．在中，，；在中，，；连接，试探究与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $