河南省新乡市红旗区新乡市第一中学2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

新乡市第一中学2025－2026学年上期初三年级期末考试 数学试卷 命题人：娄 立 审题人：高国辉 分值：120分 时间：100分钟 一．选择题（每题3分，共30分） 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列事件中，属于不可能事件的是（　　） A．某运动员跳高成绩为120米 B．投掷一枚硬币，正面向上 C．任意画一个正方形，它是轴对称图形 D．射击运动员射击一次，命中靶心 3．一元二次方程x2－5x＋10＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 4．反比例函数的图象经过（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第三、四象限 5．将抛物线y＝－2x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是（　　） A．y＝－2（x－2）2－3 B．y＝－2（x－2）2＋3 C．y＝－2（x＋2）2－3 D．y＝－2（x＋2）2＋3 6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，则sinB的值是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（　　） A．21° B．25° C．26° D．27° 8．下列说法正确的是（　　） A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于直径的直线平分这条直径 D．弦的垂直平分线经过圆心 9．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BD，且AE，BD相交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：DC＝（　　） A．3：2 B．2：3 C．3：5 D．2：5 10．如图所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（－3，0），B（1，0）．则以下结论错误的是（　　） A．4a＋c＞0 B．5a－b＋c＝0 C．若点（0，y1）和（－1.5，y2）均在抛物线上，则y1＜y2 D．若点C（m，n）在二次函数的图象上，则a－b≥m（am＋b） 二．填空题（每题3分，共15分） 11．在平面直角坐标系xOy中，点（1，－2）关于原点的对称点坐标为　 　 ． 12．一元二次方程x2－4x＋3＝0的根的判别式的值为 　 　 ． 13．如图是函数与的图象，点A、B分别在y1、y2上，AB∥x轴，点C在x轴上，S△ABC＝4，则k2﹣k1＝　 　 ． 14．如图，在△ABC中，∠A＝80°，BC＝12，D是BC的中点，分别以B，C为圆心，BD长为半径作弧，交AB于点E，交AC于点F，则图中阴影部分的面积是　 　 ． 15．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连结BD和CE，点B、C、E三点在一条直线上，CE与AD交于点F，给出下面四个结论：①△ABD是等边三角形；②AD⊥BE；③AC∥DE；④BE－DE＝AE．上述结论中，正确结论的序号有　 　 ． 第13题图 第15题图 第14题图 三．解答题（共75分） 16．（10分）用合适的方法解下列方程： （1）（2x－1）2－9＝0； （2）x2－4x＋1＝0． 17．（9分）某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图（不完整）中的信息回答下列问题： （1）本次抽样调查共抽取了　 　 名学生，并补全条形统计图； （2）若从体能测试结果为D等级的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生作为重点帮扶对象，请用列表或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率． 18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，已知△ABC． （1）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1； （2）请在y轴上找一点P，使PB1＋PC1的值最小，并直接写出点P的坐标． 19．（9分）如图，点O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与CD相切于点M． （1）求证：BC与⊙O相切； （2）若⊙O的半径为，求正方形的边长． 20．（9分）在对物体做功一定的情况下，力F（N）与此物体在力的方向上移动的距离s（m）成反比例函数关系，其图象如图所示，点P（4，3）在其图象上． （1）求F（N）与s（m）之间的函数关系式； （2）当力达到10N时，求物体在力的方向上移动的距离． 21．（9分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC的中点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F． （1）求证：△ADF∽△EAB； （2）求DF的长． 22．（9分）已知关于x的二次函数y＝－x2＋mx＋m＋1的顶点横坐标是1． （1）求二次函数y＝－x2＋mx＋m＋1的表达式； （2）当n≤x≤n＋4时，该二次函数有最大值－5，求n的值． 23．（11分）在△ABC中，∠ACB＝45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF． （1）如果AB＝AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论． （2）如果AB＞AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC，BC＝3，CD＝x，请直接写出线段CP的长．（用含x的式子表示） 2026年01月08日娄立的初中数学组卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D B C C C D D A 一．选择题（共10小题） 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念解答即可． 【解答】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意； C、图形是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意； D、图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，熟知把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形是解题的关键． 2．下列事件中，属于不可能事件的是（　　） A．某运动员跳高成绩为12米 B．投掷一枚硬币，正面向上 C．任意画一个正方形，它是轴对称图形 D．射击运动员射击一次，命中靶心 【分析】根据不可能事件的定义（一定条件下一定不会发生的事件），分析各选项即可． 【解答】解：不可能事件是指在一定条件下一定不会发生的事件； A．跳高12米超出人类能力和物理极限，一定不会发生，是不可能事件； B．投掷硬币正面向上可能发生，是随机事件； C．正方形一定是轴对称图形，是必然事件； D．射击命中靶心可能发生，是随机事件； 故选：A． 【点评】本题考查的是事件的分类以及不可能事件的含义，掌握相关知识是解题关键． 3．一元二次方程x2－5x＋10＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得． 【解答】解：x2－5x＋10＝0， ∵a＝1，b＝－5，c＝10， ∴Δ＝（－5）2－4×1×10＝－15＜0， ∴方程没有实数根， 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 4．反比例函数的图象经过（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第三、四象限 【分析】根据反比例函数的图象与系数的关系解答即可． 【解答】解：∵k＝－5＜0， ∴图象经过第二、第四象限． 故选：B． 【点评】本题考查反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 5．将抛物线y＝－2x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是（　　） A．y＝－2（x－2）2－3 B．y＝－2（x－2）2＋3 C．y＝－2（x＋2）2－3 D．y＝－2（x＋2）2＋3 【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【解答】解：将抛物线y＝－2x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是：y＝－2（x＋2）2－3． 故选：C． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键． 6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，则sinB的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用勾股定理求得BC的长度，再根据正弦的定义即可求得答案． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴BC5， ∴sinB， 故选：C． 【点评】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握其定义是解题的关键． 7．如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（　　） A．21° B．25° C．26° D．27° 【分析】连接OC，根据圆周角定理可求解∠AOC的度数，再利用圆周角定理结合垂直的定义可求解∠BOC的度数即可． 【解答】解：在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．连接OC， ∵∠ABC＝19°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝38°， ∵半径OA，OB互相垂直， ∴∠AOB＝90°， ∴∠BOC＝90°－38°＝52°， ∴． 故选：C． 【点评】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 8．下列说法正确的是（　　） A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于直径的直线平分这条直径 D．弦的垂直平分线经过圆心 【分析】根据圆的相关性质逐一判断． 【解答】解：A．垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，选项A中未强调“直径”，故A错误； B．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，选项B未排除弦是直径的情况，故B错误； C．垂直于直径的弦被这条直径平分，选项C未说明是“弦”，故C错误； D．弦的垂直平分线经过圆心， 故D正确． 故选：D． 【点评】本题考查了垂径定理及其推论，熟记垂径定理及其推论是解题的关键． 9．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BD，且AE，BD相交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：DC＝（　　） A．3：2 B．2：3 C．3：5 D．2：5 【分析】根据平行四边形的性质得到DC∥AB，DC＝AB，得到△DFE∽△BFA，根据相似三角形的性质计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC＝AB，DC∥AB， ∴△BFA∽△DFE， ∴， ∴， ∵AB＝CD， ∴DE：DC＝2：5， 故选：D． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 10．如图所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（－3，0），B（1，0）．则以下结论错误的是（　　） A．4a＋c＞0 B．5a－b＋c＝0 C．若点（0，y1）和（－1.5，y2）均在抛物线上，则y1＜y2 D．若点C（m，n）在二次函数的图象上，则a－b≥m（am＋b） 【分析】先根据二次函数与x轴的交点坐标，结合对称轴、函数最值、函数值比较等知识，逐一分析每个选项的正误． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A（－3，0），B（1，0）． ∴9a－3b＋c＝0，a＋b＋c＝0， ∴将两式相加，得10a－2b＋2c＝0，即5a－b＋c＝0，故B项正确，不符合题意； ∵A（－3，0），B（1，0）关于对称轴对称， ∴对称轴为， ∵|0－（－1）|＞|－1.5－（－1）|，且抛物线开口向下（a＜0）， ∴点（0，y1）到对称轴的距离大于点（－1.5，y2）到对称轴的距离，对应函数值y1＜y2，故C项正确，不符合题意． ∵对称轴， ∴b＝2a， 又∵a＋b＋c＝0， ∴a＋2a＋c＝0，即c＝－3a， ∴4a＋c＝4a－3a＝a， ∵抛物线开口向下，a＜0， ∴4a＋c＜0，故A项错误，符合题意． ∵对称轴为x＝－1，抛物线开口向下， ∴当x＝－1时，函数取得最大值a－b＋c， ∵点C（m，n）在图象上，即n＝am2＋bm＋c， ∴a－b＋c≥am2＋bm＋c，即a－b≥m（am＋b），故D项正确，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质（对称轴、最值、函数值比较），熟练掌握二次函数的图象特征与代数表达式的关系是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．在平面直角坐标系xOy中，点（1，－2）关于原点的对称点坐标为　（－1，2）　 ． 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点作答即可． 【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点（1，－2）关于原点的对称点坐标为（－1，2）． 故答案为：（－1，2）． 【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，掌握关于原点对称的点的横坐标和纵坐标均互为相反数是关键． 12．一元二次方程x2－4x＋3＝0的根的判别式的值为 　4　 ． 【分析】将a＝1，b＝－4，c＝3代入Δ＝b2－4ac计算即可． 【解答】解：∵a＝1，b＝－4，c＝3， ∴Δ＝（－4）2－4×1×3 ＝16－12 ＝4， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查根的判别式，解题的关键是熟记一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2－4ac． 13．如图是函数与的图象，点A、B分别在y1、y2上，AB∥x轴，点C在x轴上，S△ABC＝4，则k2﹣k1＝　8　 ． 【分析】根据AB∥x轴，可设点A、B的纵坐标为h，将其代入y1和y2中，进而可得，最后根据三角形面积公式即可求解． 【解答】解：设点A、B的纵坐标为h， 点A在上，当y1＝h时，， ， ∴， 点B在上，当y2＝h时，， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ， k2﹣k1＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解决本题的关键． 14．如图，在△ABC中，∠A＝80°，BC＝12，D是BC的中点，分别以B，C为圆心，BD长为半径作弧，交AB于点E，交AC于点F，则图中阴影部分的面积是　10π　 ． 【分析】根据题意，得出阴影部分可转换成一个圆心角为100°，半径为6的扇形，再结合扇形的面积公式即可解决问题． 【解答】解：由题知， ∵∠A＝80°， ∴∠B＋∠C＝180°－80°＝100°． 又∵BC＝12，且D是BC的中点， ∴BD＝CD＝6， ∴． 故答案为：10π． 【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键． 15．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连结BD和CE，点B、C、E三点在一条直线上，CE与AD交于点F，给出下面四个结论：①△ABD是等边三角形；②AD⊥BE；③AC∥DE；④BE－DE＝AE．上述结论中，正确结论的序号有　①③④　 ． 【分析】旋转变换的性质可知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝CAE＝60°，推出△ABD，△ACE都是等边三角形，故①正确，再证明△BAC≌△DAE（SAS），推出BC＝DE，∠ACB＝∠AED＝120°，可以判定③④正确，利用反证法判断②错误． 【解答】解：旋转变换的性质可知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝CAE＝60°， ∴△ABD，△ACE都是等边三角形，故①正确， ∴∠ACE＝∠AEC＝60°， ∴∠ACB＝180°－60°＝120°， ∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵AB＝AD，AC＝AE， ∴△BAC≌△DAE（SAS）， ∴BC＝DE，∠ACB＝∠AED＝120°， ∴∠DEF＝∠AED－∠AEC＝60°， ∴∠ACE＝∠DEC， ∴AC∥DE，故③正确， ∵BC＝DE，AE＝EC， ∴BE－DE＝BE－CB＝CE＝AE，故④正确， 若AD⊥BE，则∠ABE＝∠BCE＝30°，显然不符合已知条件，故②错误． 故答案为：①③④． 【点评】本题考查作图－旋转变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 三．解答题（共8小题） 16．用合适的方法解下列方程： （1）（2x－1）2－9＝0； （2）x2－4x＋1＝0． 【分析】（1）用因式分解法求解； （2）用配方法求解． 【解答】解：（1） 方程左边分解因式，得（2x－1＋3）（2x－1－3）＝0， 所以2x－1＋3＝0或2x－1－3＝0， 解得：x1＝－1，x2＝2； （2）x2－4x＋1＝0， 移项，得x2－4x＝－1， 配方，得x2－4x＋4＝3， 所以（x－2）2＝3， 所以， 解得：． 【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解一元二次方程——配方法，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 17．某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图（不完整）中的信息回答下列问题： （1）本次抽样调查共抽取了　50　 名学生，并补全条形统计图； （2）若从体能测试结果为D等级的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生作为重点帮扶对象，请用列表或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率． 【分析】（1）用A等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量，计算出C等级的人数即可补全条形统计图； （2）用列表法表示12种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好都是男生的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）本次抽样调查共抽取了学生10÷20%＝50（名）， C等级的学生数为：50－10－20－4＝16（名）， 补全条形统计图如下： 故答案为：50； （2）画树状图如图： 共有12个等可能的结果，所抽取的两人恰好都是男生的结果有2个， ∴抽取的两人恰好都是男生的概率． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 18．如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，已知△ABC． （1）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1； （2）请在y轴上找一点P，使PB1＋PC1的值最小，并直接写出点P的坐标． 【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （2）作点B1关于y轴的对称点B2，连接C1B2交y轴于点P，连接B1P即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）如图，点P即为所求．P（0，3）． 【点评】本题考查作图－旋转变换，轴对称－最短问题，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 19．如图，点O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与CD相切于点M． （1）求证：BC与⊙O相切； （2）若⊙O的半径为，求正方形的边长． 【分析】（1）过O作OH⊥BC于H，由正方形ABCD，可得∠ACB＝∠ACD＝45°，证明OM⊥CD，再证明OM＝OH从而可得结论； （2）先根据勾股定理求出OC＝2，从而可得，再根据正方形的性质、勾股定理即可得答案． 【解答】（1）证明：如图，过O作OH⊥BC于H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB＝∠ACD＝45°， ∵CD是⊙O的切线， ∴OM⊥CD， ∴OM＝OH， ∵OM为⊙O的半径， ∴OH为⊙O的半径， ∴BC与⊙O相切； （2）∵⊙O的半径为， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠B＝90°， 则在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2＝2AB2，即， ∴， 解得：， 故正方形ABCD的边长为． 【点评】本题考查的是正方形的性质，圆的切线的判定，勾股定理的应用，角平分线的性质，熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键． 20．在对物体做功一定的情况下，力F（N）与此物体在力的方向上移动的距离s（m）成反比例函数关系，其图象如图所示，点P（4，3）在其图象上． （1）求F（N）与s（m）之间的函数关系式； （2）当力达到10N时，求物体在力的方向上移动的距离． 【分析】（1）F（N）与x（m）之间的函数关系式为； （2）当力达到10N时，物体在力的方向上移动的离为1.2m． 【解答】解：（1）根据题意可设， 将点P（4，3）代入上式得：． 解得k＝12， ∴F（N）与s（m）之间的函数关系式为； （2）当力F＝10N时，， 解得s＝1.2， 答：当力达到10N时，物体在力的方向上移动的离为1.2m． 【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|． 21．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC的中点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F． （1）求证：△ADF∽△EAB； （2）求DF的长． 【分析】（1）由矩形的性质得∠DAB＝∠B＝90°，由DF⊥AE于点F，得∠AFD＝90°，所以∠AFD＝∠B，由AD∥BC，得∠DAF＝∠AEB，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ADF∽△EAB； （2）由AB＝4，BC＝6，E是BC的中点，得AD＝BC＝6，BEBC＝3，则EA5，由相似三角形的性质得，则DFAB． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝∠B＝90°， ∵DF⊥AE于点F， ∴∠AFD＝90°， ∴∠AFD＝∠B， ∵AD∥BC， ∴∠DAF＝∠AEB， ∴△ADF∽△EAB． （2）解：∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝6，E是BC的中点， ∴AD＝BC＝6，BEBC＝3， ∴EA5， ∵△ADF∽△EAB， ∴， ∴DFAB4， ∴DF的长是． 【点评】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出∠DAF＝∠AEB，进而证明△ADF∽△EAB是解题的关键． 22．已知关于x的二次函数y＝－x2＋mx＋m＋1的顶点横坐标是1． （1）求二次函数y＝－x2＋mx＋m＋1的表达式； （2）当n≤x≤n＋4时，该二次函数有最大值－5，求n的值． 【分析】（1）首先根据题意可知该二次函数的图象的对称轴为x＝1，即，求解即可获得答案； （2）结合（1）可知该函数图象开口向下，且对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，4），进而可知在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，故当n≤x≤n＋4时，函数均在对称轴的同侧，然后分n≤x≤n＋4在对称轴的左侧和在对称轴的右侧两种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）根据题意，关于x的二次函数y＝－x2＋mx＋m＋1的顶点横坐标是1， 即该二次函数的图象的对称轴为x＝1， ∴， 解得m＝2， ∴y＝－x2＋2x＋3； （2）结合（1）可知，y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4， ∵－1＜0， ∴该函数图象开口向下，且对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，4）， ∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， ∵当n≤x≤n＋4，函数有最大值－5，且－5＜4， ∴当n≤x≤n＋4时，均在对称轴的同侧， 若n≤x≤n＋4在对称轴的右侧，可知n＞1， 当x＝n时，该函数有最大值， 即－n2＋2n＋3＝－5， 解得n＝4或n＝－2（舍去）， 若n≤x≤n＋4在对称轴的左侧，可知n＋4＜1，即n＜－3， 当x＝n＋4时，该函数有最大值， 即－（n＋4）2＋2（n＋4）＋3＝－5， 解得n＝－6或n＝0（舍去）； 综上所述，当n＝－6或n＝4时，该二次函数有最大值－5． 【点评】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 23．在△ABC中，∠ACB＝45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF． （1）如果AB＝AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论． （2）如果AB＞AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC，BC＝3，CD＝x，求线段CP的长．（用含x的式子表示） 【分析】（1）由∠ACB＝45°，AB＝AC，得∠ABD＝∠ACB＝45°；∠BAC＝90°，由正方形ADEF，可得∠DAF＝90°，AD＝AF，∠DAF＝∠DAC＋∠CAF；∠BAC＝∠BAD＋∠DAC；可得∠CAF＝∠BAD．可证△DAB≌△FAC（SAS），得∠ACF＝∠ABD＝45°，∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝90°．即CF⊥BD． （2）过点A作AG⊥AC交BC于点G，可得出AC＝AG，易证：△GAD≌△CAF，所以∠ACF＝∠AGD＝45°，∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝90°．即CF⊥BD． （3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC，BC＝3，CD＝x，求线段CP的长．考虑点D的位置，分两种情况去解答．①点D在线段BC上运动，已知∠BCA＝45°，可求出AQ＝CQ＝4．即DQ＝4－x，易证△AQD∽△DCP，可得，，问题可求．②点D在线段BC延长线上运动时，由∠BCA＝45°，可求出AQ＝CQ＝4，DQ＝4＋x．过A作AQ⊥BC交CB延长线于点Q，则△AGD∽△ACF，得CF⊥BD，由△AQD∽△DCP，得，，问题解决． 【解答】解：（1）CF与BD位置关系是垂直； 证明如下： ∵AB＝AC，∠ACB＝45°， ∴∠ABC＝45°． 由正方形ADEF得AD＝AF， ∵∠DAF＝∠BAC＝90°， ∴∠DAB＝∠FAC， ∴△DAB≌△FAC（SAS）， ∴∠ACF＝∠ABD． ∴∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝90°． ∴CF⊥BC． ∴CF⊥BD． （2）AB＞AC时，CF⊥BD的结论成立． 理由是： 过点A作GA⊥AC交BC于点G， ∵∠ACB＝45°， ∴∠AGD＝45°， ∴AC＝AG， 同理可证：△GAD≌△CAF ∴∠ACF＝∠AGD＝45°，∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝90°， 即CF⊥BD． （3）如图①，当AB＜AC时， 过点A作AG⊥AC交BC于点G，可得AC＝AG， ∴△GAD≌△CAF， ∴∠ACF＝∠AGD＝45°，∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝90°．即CF⊥BD． 过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q， 如图②，点D在线段BC上运动时， ∵∠BCA＝45°，可求出AQ＝CQ＝4． ∴DQ＝4－x，△AQD∽△DCP， ∴， ∴， ∴． 如图③，点D在线段BC延长线上运动时， ∵∠BCA＝45°， ∴AQ＝CQ＝4， ∴DQ＝4＋x． 过A作AQ⊥BC， ∵CF⊥BD， ∴∠P＋∠PDC＝90°， ∵∠PDC＋∠ADQ＝90°， ∴∠ADQ＝∠P， ∵∠Q＝∠PCD＝90°， ∴△AQD∽△DCP， ∴， ∴， ∴． 【点评】此题综合性强，须运用所学全等、相似、正方形等知识点，属能力拔高性的类型． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/12 9:48:49；用户：娄立；邮箱：15137355931；学号：40268914 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $