湖北省咸宁市温泉中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

数学试题卷 班级： 姓名： 一、选择题 1.下列图形中，是中心对称图形的是( 2.已知点O到直线1的距离为3cm,以点O为圆心的⊙0与直线1有两个交点，则⊙0的半径 可能为() A.Icm B.2cm C.3cm D.4cm 3.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，AB是圆的直径，若∠BAC=20°，则∠ADC等于( A.110° B.100° C.120° D.90° D 0 B B' 第3题图 第5题图 第6题图 4.如图，小英发现银杏叶片的形状近似于扇形，如图是小英画的银杏叶片的几何示意图，通 过测量得到∠AOB=150°，OA=6cm,则AB的长为( A.10元 B.5π C.2π D.3元 5.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C,点B恰好在边BC上.若∠ABC'=66°， 则旋转角的度数为() A.33° B.48° C.58 D.66° 6.如图，已知圆的内接正六边形的半径为2，则扇形AOB的面积是() B. 2 3 c D.π 7.某校“研学”活动小组参观一植物标本时，发现其主干长出若干数目的支干，每个支干又长 出同样数目的小分支。小明同学记录了该植物主干、支干和小分支的总数是31，要想知道 这种植物每个支干长出的小分支数目，可设每个支干长出的小分支数目为x,则根据题意可 列出方程() A.(1+x)2=31 B.1+x+x2=31 C.x+x(x+1)+(x+1)2=31 D.x+x(x+1)=31 8.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：)与小球的运动时间t(单位：S) 之间的关系式是h=20t-5(0≤t≤4).有下列结论：①小球从抛出到落地需要4s:②小 球运动的高度可以是25：③小球运动1s时的高度大于运动3s时的高度.其中，正确结论的 个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 D A(D) 第8题图 第9题图 第14题图 9.如图，等边△ABC、等边△DEF的边长分别为3和2，开始时点A与点D重合，DE在AB 上，DF在AC上，△DEF沿AB向右平移，当点D到达点B时停止。在此过程中，设△ABC、 △DEF重合部分的面积为y,△DEF移动的距离为x,则y与x的函数图象大致为() 0 D 10.已知抛物线y=ax2+bx+4在坐标系中的位置如图所示，它与x,y轴的交点分别为 A(-1,0)、B,点P是其对称轴x=1上的动点，根据图中提供的信息，得出以下结论： ①2a+b=0: ②x=3是方程ax2+bx+4=0的一个根： x=1 ③△PAB周长的最小值是5+√17： ④9a+4<3b: p ⑤若m(am+b)<4a+2b,则m>2或m<0. 其中正确的是( A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 二、填空题 11.抛物线y=ax2+bxr+c经过点(-1,3)和(5,3)，则它的对称轴为 12.用一个圆心角为120°，半径为12的扇形做一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为 13.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,2)，将线段OA绕着点O逆时针旋转90°得线 段OA',则点A'的坐标为 14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，其内切圆分别与AC、AB、BC相切于点D、E、F, 若AC=3,BC=4,则△ABC内切圆的半径长度为 15.已知抛物线y=-0.25x2-x,M是抛物线上一动点，以点M为圆心，1个单位长度为半径 作⊙M.当⊙M与x轴相切时，点M的坐标为 三、解答题 16.解方程：(1)x2-4x-7=0; (2)3x(2x+1)=4x+2. 17.如图，PA、PB是⊙O的切线，点A、B为切点，AC是⊙O的 直径，∠BAC=20°，求∠P的度数。 B 18.已知关于x的一元二次方程x2+mx+m-2=0. (1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根： (2)若x,x2是该方程的两根，且满足x+x+m(x+x2)=m2+1,求m的值. 19.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(-3,2) B(0,4),C(0,2). B (1)将△ABC绕点C旋转180°得到△AB,C,画出△ABC: (2)平移△ABC,使点A的对应点A,的坐标为1，-4)，画出平移 后对应的△A,BC2: (3)观察发现△ABC与△A,B,C,关于某点成中心对称，则该点 的坐标为 20.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分。如 9 果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E,CD=10m, EM=25m,求⊙0的半径. 21.如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC,交⊙O于点 E D,DE⊥AC,交AC的延长线于点E. (1)求证：直线DE是⊙O的切线： (2)若AB=10,DE=4,求AE的长， 22.“骑车戴头盔，放心平安归”.越来越多的人上下班会选择骑行电动车，佩戴头盔更能保证 大家的行车安全.某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出350个，六月份售出504 个，且从四月份到六月份月增长率相同. (1)求该品牌头盔销售量的月增长率： (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每 个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾 客得到实惠，那么该品牌每个头盔应涨价多少元？ (3)该品牌头盔每个涨价多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 23.(问题解决) 一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是等边△ABC内一点，PA=3,PB=4, PC-5.你能求出∠APB的度数和等边△ABC的面积吗？小明通过观察、分析、思考，形成如下 思路： 如图1将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到得到△BP'A,连接PP',可得△BPP'是等边三角 形，根据勾股定理逆定理可得△AP'P是直角三角形。从而使问题得到解决。 (1)结合小明的思路完成填空：PP= ,∠APP'= ,∠APB= (2)类比探究 ①如图2，点P是正方形ABCD内一点，PA=2,PB=4,PC=6.求∠APB的度数： ②如图3，点P是正方形ABCD外一点，PA=6,PB=2,PC=2V1I,求∠APB的度数： 图1 图2 图3 24.已知：如图，抛物线y=ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A,B(-3,0),C(1,0),点P是 线段AB上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D,再过点P作PEIx 轴交抛物线于点E. (1)求抛物线解析式： (2)当点P运动到什么位置时，DP的长最大.求出P点坐标 (3)是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标：若不存在，说明理由. 备用图咸宁市温泉中学九年级十二月质量检测 数学参考答案 一、选择题（每题3分，共30分） 1.下列图形中，是中心对称图形的是(C A. B. D 2.已知点O到直线l的距离为3cm,以点O为圆心的e0与直线1有两个交点， 则eO的半径可能为(D) A.Icm B.2cm C.3cm D.4cm 3.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，AB是直径，若∠BAC=20°，则∠ADC 等于(A) A.110° B.100° C.120° D.90° 4.小英发现银杏叶片的形状近似于扇形，如图是小英画的银杏叶片的几何示意 图，通过测量得到∠AOB=150°，OA=6cm,则B的长为(C) A.2n B.3π C.5π D.10m 【详解】解：招的长为：150x6=5m,故选：C 180 5.(2024秋•高要区期末)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C,点 B恰好在边BC上，若∠AB'C'=66°，则旋转角的度数为(B) B A.33° B.48° C.58° D.66 【详解】解：由旋转的性质得：AB=AB',∠ABB=∠ABC, ∠AB'B=∠ABB', :∠AB'C=66°， ∠ABB=∠ABB'=∠AB'C'=66°， ∠BAB=180°.66°.66°=48°， 故选：B 6.如图，己知圆的内接正六边形的半径为2，则扇形AOB的面积是(C) B E A.π C. π D. 3 3 【详解】解：如图：连接OAOB, A B D 由题意得圆的内接正六边形的半径为2， ·△OAB是等边三角形， OA=OB=AB=2,∠AOB=60°， 60°×π×222 ·S扇形AOB 360°31 故选C. 7.某校研学”活动小组参观一植物标本时，发现其主干长出若干数目的支干， 每个支干又长出同样数目的小分支。小明同学记录了该植物主干、支干和小分 支的总数是31，要想知道这种植物每个支干长出的小分支数目，可设每个支 干长出的小分支数目为x,则根据题意可列出方程(B) A.(1+x)2=31 B.1+x+x2=31 C.x+x(x+1)+(x+1)2=31 D.x+x(x+1)=31 8.(2025辽宁朝阳·二模)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位： m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h=20-5(0≤t≤4).有下列 结论： ①小球从抛出到落地需要4s: ②小球运动的高度可以是25m: ③小球运动s时的高度等于运动3s时的高度. 其中，正确结论的个数是(C) A.0 B.1 C.2 D.3 【详解】解：当h=0时，20t-5=0, 解得：t=0或t=4, “小球从抛出到落地需要4s,正确，故①符合题意： h=20t-52=-5(t-2)2+20,由于-5<0， ·当t=2时，小球运动的高度是20m,不可能为25m,故②错误，不符合题意： 当t=1时，h=20-5=15m,当t=3时，h=20×3-5×32=15m, 那么小球运动1s时的高度等于运动3s时的高度，故③正确， 正确的个数为2， 故选：C. 9、如图，等边△ABC、等边△DEF的边长分别为3和2，开始时点A与点D重 合，DE在AB上，DF在AC上，△DEF沿AB向右平移，当点D到达点B时停 止。在此过程中，设△ABC、△DEF重合部分的面积为y,△DEF移动的距离为 x,则y与x的函数图象大致为(C) B 【详解】 阶段1：0≤x≤1 此时△DEF完全在△ABC内部，重合部分就是△DEF本身。 等边三角形面积公式：S-a2(a为边长)， 代入a-2,得测=9×22-V3, 所以这个阶段y是常数√3，图像是水平线段。 阶段2：1<x≤3 此时△DEF开始移出△ABC,重合部分是一个边长为3一x的小等边三角形（也可理解为边长为 2-(x-1)=3-x)。 面积则=(（3-x)2,这是一个二次函数，且开口向上， 当x增大时，y逐渐减小，且是曲线下降（二次函数图像）。 综上，函数图像先水平(0≤x≤1)，再以二次函数曲线下降(1<x≤3)），对应选项为C 10.已知抛物线y=ax2+bx+4在坐标系中的位置如图所示，它与x,y轴的交点分 别为A(-1,0)、B,点P是其对称轴x1上的动点，根据图中提供的信息， 得出以下结论： ①2a+b=0: ②x=3是方程ax2+bx+4=0的一个根； ③△PAB周长的最小值是5+V17: (49a+4<3b: ⑤若m(am+b)<4a+2b,则m>2或m<0. 其中正确的是(A) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 解：①根据图象知，对称轴是直线x=.2a-1,则b=2a, 即2a+b=0. 故（①正确： ②根据图象知，点A的坐标是(-1,0)，对称轴是x=1,则根据抛物线关于对 称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3,0)，所以x=3 是ax2+bx+3=0的一个根，故（②正确； ③如图所示，点A关于x=1对称的点是A',即抛物线与x轴的另一个交点. 连接BA'与直线x=1的交点即为点P, 则△PAB周长的最小值是(BA'+AB)的长度， A(-1,0),B(0,4),A'(3,0), AB=V17,BA'=5.即△PAB周长的最小值是5+V17. 故③正确； ④根据图象知，当x=3时，y<0, 9a3b+4<0,即9a+4<3b, 故④正确. 结论⑤：若m(am+b)<4a+2b,则m>2或m<0 整理不等式：am2+bm<4a+2b,即am2+bm-(4a+2b)<0。 由b=-2a,代入得am2-2am-(4a-4a)<0,即am2-2am<0。 因a<0,两边除以a需变号：m2-2m>0,解得m>2或m<0,⑤正确 综上所述，正确的结论是：①②③④⑤. 故选A. X=1 二、填空题（每题3分，共15分） 11.抛物线y=r2+bx+c经过点(-1,3)和(5,3)，则它的对称轴为直线 x=2 【答案】直线x=2 【分析】此题考查抛物线的对称性，根据抛物线经过的两点纵坐标相等，得对称 轴为该两点横坐标和的一半，由此得到答案 【详解】解：抛物线y=π2+br+c经过点(-1,3)和(5,3)， 它的对称轴为直线1+5=2， 2 故答案为：直线x=2 12.用一个圆心角为120°，半径为12cm的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥 的底面半径为4cm 【分析】本题考查了扇形的弧长公式，圆锥底面周长和弧长的关系.关键在于明 确圆锥底面周长与扇形弧长的关系，通过正确计算弧长并建立方程即可求解. 【详解】解：扇形弧长：1=120×Tx12_24E=8m, 180 3 设圆锥底面半径为r,依题意得，8π=2πr, 解得，r=4, 故答案为：4. 13.(2025宿迁)在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,2)，将线段OA 绕着点O逆时针旋转90°得线段OA',则点A'的坐标为(2,3) 【解答】解如图，过A作AB⊥x轴于点B,过A'作A'CLy轴于点C,则∠A'CO =∠ABO=90°， B 由旋转性质可知，∠AOA'=90°，AO=A'O, LCOA+∠A'OC=90°， .∠AOB+∠COA=90°， ∠AOB=∠A'OC, ·△A'CO≌△ABO(AAS), A'C=AB,OC=OB, 点A的坐标为(3,2)， AB=2,OB=3, A'C=AB=2,OC=OB=3, 点A的坐标为（2,3)， 14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，其内切圆分别与AC、AB、BC相切于点 D、E、F,若AC=3,BC=4,则VABC内切圆的半径长度为1 【详解】解：设内切圆的圆心为O,连接OA,OB,OC,OD,OE,OF, A B 则：OD=OE=OF,OD⊥AC,OE⊥AB,OF⊥BC, 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4, ÷AB=32+42=5, SVANC=SV4OB +SV4OC +SVBOC C-C-ODF+-OE 2 3×4=(3+4+5)-0E, OE=1:即：VABC内切圆的半径长度为1. 故答案为：1. 15.(2025江西模拟)已知抛物线y=0.25x2x,M是抛物线上一动点，以点M 为圆心，1个单位长度为半径作⊙M.当⊙M与x轴相切时，点M的坐标为 (2,1),（2-22,1)或(2+22,1). 【解答】解：⊙M与x轴相切， M点到x轴的距离为1， 当y=1时，0.25x2x=1, 解得x1=x2=2, 此时M点的坐标为(2,1)， 当y=1时，0.25x2x=1, 解得x1=-2-2V2,x2=-2+2V2, 此时M点的坐标为(2-2W2,1)或(2+2√2,1) 综上所述，M点的坐标为(2,1)，(2-2V2,1)或(2+22,1)· 故答案为：（2,1)，(-222,1)或（-2+2√2,1). 三、解答题(9小题，共75分) 16.解方程：(1)x1=2=1.(2)x1=2,x2=-1. 17.如图，PA、PB是⊙O的切线，点A、B为切点，AC是⊙O的直径， ∠BAC=20°，邱∠P的度数。 A 0 【解答】连接BC,OB; ~PA、PB是⊙O的切线，点A、B为切点 ∠OAP=∠OBP=90°， :AC是⊙O的直径， LABC=90°； LBAC=20°， ÷∠C=70°， ∠AOB=2∠C=140°， ∠P=-180°-∠AOB=40°： 故答案为40°. 18.如图，在平面直角坐标系中，VABC的三个顶点分别是A(3,2),B(0,4), Cc(0,2). (1)将VABC绕点C旋转180°得到VABC,画出VABC; (2)平移VABC,使点A的对应点4的坐标为（包，4），画出平移后对应的△4，B,C2; (3)观察发现VABC与△4，B,C,关于某点成中心对称，则该点的坐标为 【详解】(1)解：如图所示，VABC即为所求： (2)根据题意得：A(3,2),平移后的点的坐标为L,4), “平移方式为：向右平移4个单位长度，向下平移6个单位长度， 如图所示：△4B,C2即为所求： (3)如图所示，连接A4,BB交点为D,即为对称中心， 由图得：D(2,-1), 故答案为：(2，-)· 2 19.(4+4=8分)已知关于x的一元二次方程x2+mx+m-2=0. (1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根： (2)若x、七是该方程的两根，且满足x+x子+m(x+x2)=m2+1,求m的值. 皇解答 (1)证明： 对于一元二次方程ax2+bx+c一0，判别式△=b2一4ac。 在方程x2+mx+m一2=0中，a一1，b=m,c-m一2， 则△=m2一4×1×(m一2) =m2-4m+8 -(m-2)2+4. 因为(m一2)2≥0，所以(m一2)2+4>0， 即无论取何值，△>0， 因比方程总有两个不相珀的实数根。 (2)求解n的值： 根据韦达定理，对于方程x2+mx十m一2一0， x1+2n，x1x2n一2. 已知x经+x运+m(x1+x2)一m2+1. 由完全平方公式x2+x号一(x1+x2)2一2x1x2,代入得： (x1+x2)2-2x1x2+m(x1+x2)=m2+1 将x1+x2=一m,x1x2=n一2代入上式： (-m)2-2(m-2)+m×(-m)=m2+1 m2-2m+4-m2=m2+1 -2n+4=n2+1 整里得：22十2一3一0 因式分解：(m+3)(m一1)一0 角解得：n一一3成一1。 20.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果M是 ⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E,CD=10,EM=25.求⊙O的 半径。 【详解】解：如图，连接OC, E M是弦CD的中点，EM过圆心O, ..EMLCD ..CM=MD CD=10, C M D ….CM=5.