2026年中考数学基础知识总复习专项突破讲练专题 1.12 一元二次方程与分式方程（学情检测卷）（全国通用）

专题 1.12 一元二次方程与分式方程（学情检测卷） （测试时间：90分钟 试卷满分：120分） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（2025·辽宁抚顺·一模）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川雅安·一模）若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A．2028 B．2022 C． D．2025 3．（2025·四川绵阳·一模）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D．无法确定 4．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（    ） A．1 B． C． D．1或 5．（22-23九年级上·河南洛阳·月考）如图是某公司今年月份生产成本统计图，设月份每个月生产成本的下降率约为x，根据图中信息可得x满足的方程为（　　） A． B． C． D． 6．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（ ） A． B．1或0 C．1 D．1或 7．（2026·福建泉州·模拟预测）黄金分割点是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值的分割点．已知线段，点是线段的黄金分割点，且，则的长是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·安徽亳州·三模）已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则下列方程中，其两实数根分别为，的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·河北唐山·期末）嘉淇同学解分式方程时，有如下步骤： ①方程两边乘最简公分母 ②得到整式方程为，解得 ③将代入到中， ④得到结论：是该分式方程的解 老师看到嘉淇同学的解题过程，指出有一处错误，则错误的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 10．（2026·山东临沂·模拟预测）端午节，又称端阳节、龙舟节、重午节等，日期在每年农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．某小区开展“包粽子，庆端午”活动，活动期间，计划每小时包相同数量的粽子．该活动开始后，实际比原计划每小时多包100个，实际包1200个所需时间与原计划包1000个所需时间相同．设实际每小时包个，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025·四川广元·一模）关于x的方程是一元二次方程，则 ． 12．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）已知方程，用配方法化为．则 ． 13．（2025·广东江门·二模）代数式与代数式的和为1，则 ． 14．（24-25九年级上·福建三明·期中）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则正数a的值为 ． 15．（2023·内蒙古包头·一模）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是 ． 16．（25-26九年级上·四川眉山·期中）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是 ． 17．（25-26九年级上·陕西西安·期中）在一个不透明的盒子里装有个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球，搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色再把它放回盒子中，不断重复实验，统计结果显示，随着实验次数越来越大，摸到黄色乒乓球的频率稳定在左右，则估计盒子中大约有 个白色乒乓球． 18．（2025·江苏南京·一模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，是的外接圆，若点是其外接圆上任意一点，则的最大值为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级上·全国·期末）解分式方程： (1)； (2)． 20．（本小题满分8分）（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）解下列一元二次方程 (1) (2) 21．（本小题满分10分）（2025·山东青岛·模拟预测） （1）先化简，再从，，中选择合适的值代入求值． （2）解分式方程：． 22．（本小题满分10分）（23-24九年级上·贵州六盘水·月考）已知、是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)若，求的值； (2)已知等腰三角形的一边长为7，另外的两边长恰好是、，求的周长． 23．（本小题满分10分）（2024·广东汕头·一模）数学源于生活，寓于生活，用于生活．在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用．为了激发学生学习数学的兴趣，某校计划购进《什么是数学》和《古今数学思想》若干套，已知5000元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多60套，且《古今数学思想》的单价是《什么是数学》单价的倍． (1)求每套《什么是数学》的价格； (2)学校计划用不超过4000元购进这两套书共70套，此时正赶上书城8折销售所有书籍，求《古今数学思想》最多能买几套？ 24．（本小题满分12分）（2025·山东泰安·一模）如图，从A地到D地规划修建一条东西方向的笔直公路，勘测人员发现公路要穿过一座山，施工队原计划从B处开凿隧道通到C处，已知A，B，C，D四点在同一直线上，在C处的正南方取一观测点E，观测到点E在点B的南偏东方向上，观测点E到点B的距离为．（参考数据：，，，最后结果保留整数） (1)求隧道两端间的距离； (2)原计划从B向C开挖，为了加快施工进度，实际从B，C两端同时相向施工，结果工作效率比原计划提高了，比原计划提前5天完工．问原计划单向开挖每天挖多少m？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.12 一元二次方程与分式方程（学情检测卷） （测试时间：90分钟 试卷满分：120分） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（2025·辽宁抚顺·一模）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，据此分析各选项． 【详解】解：A、，展开得，是一元二次方程； B、化简得，不是一元二次方程； C、 ，若，则方程不是二次方程，因此不一定是一元二次方程； D、不是整式方程，故不是一元二次方程． 故选：A． 2．（2025·四川雅安·一模）若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A．2028 B．2022 C． D．2025 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题关键． 利用一元二次方程根的定义，将代入方程求得的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 即， ∴， ∴ ． 故选A． 3．（2025·四川绵阳·一模）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式， 需考虑方程可能为一次或二次方程：当时，方程为一次方程，直接求解；当时，方程为二次方程，利用判别式求范围． 【详解】解：当时，原方程为， 解得 ，有实数根， ∴符合条件； 当时，方程为一元二次方程，判别式， ∵方程有实数根， ∴， 即， ∴. 综上，实数的取值范围是． 故选：B． 4．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（    ） A．1 B． C． D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得方程，利用公式法求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：或（舍） 故选：C． 5．（22-23九年级上·河南洛阳·月考）如图是某公司今年月份生产成本统计图，设月份每个月生产成本的下降率约为x，根据图中信息可得x满足的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设月份每个月生产成本的下降率约为x，根据该公司4月份及6月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设月份每个月生产成本的下降率约为x， 根据题意，得， 故选：C． 6．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（ ） A． B．1或0 C．1 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解，理解其意义是解题的关键．将原方程去分母得，整理得，根据题意分情况讨论并求得对应的m的值即可． 【详解】解：原方程去分母得， 整理得， 当时， 无解，那么原方程无解，符合题意， 当时， 若方程无解，那么它有增根， 则， 解得：， 综上，m的值为1或， 故选：． 7．（2026·福建泉州·模拟预测）黄金分割点是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值的分割点．已知线段，点是线段的黄金分割点，且，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了黄金分割的应用，准确分析计算是解题的关键． 根据黄金分割点的定义，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，设为，列出方程求解 【详解】，， 设，则， ， ，即， 解得或， ， ，即． 故选． 8．（2025·安徽亳州·三模）已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则下列方程中，其两实数根分别为，的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解二元一次方程组，由题意得，，，，则，，联立，，解得，，然后构造一元二次方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，， ∴，， ∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∴，， 联立解得：，， ∴，， ∴以两实数根分别为，的方程是， 故选：． 9．（24-25八年级上·河北唐山·期末）嘉淇同学解分式方程时，有如下步骤： ①方程两边乘最简公分母 ②得到整式方程为，解得 ③将代入到中， ④得到结论：是该分式方程的解 老师看到嘉淇同学的解题过程，指出有一处错误，则错误的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤、解分式方程必须检验是解题的关键． 按照解分式方程的步骤逐步判断即可． 【详解】解： 两边同乘以最简公分母得： 得到整式方程为，解得， 检验：当时，， 所以该分式方程无解，即④错误． 故选：D． 10．（2026·山东临沂·模拟预测）端午节，又称端阳节、龙舟节、重午节等，日期在每年农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．某小区开展“包粽子，庆端午”活动，活动期间，计划每小时包相同数量的粽子．该活动开始后，实际比原计划每小时多包100个，实际包1200个所需时间与原计划包1000个所需时间相同．设实际每小时包个，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设实际每小时包x个，原计划每小时包个，根据实际包1200个所需时间与原计划包1000个所需时间相等，据此列方程． 【详解】解：设实际每小时包x个，原计划每小时包个， 根据题意，得． 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025·四川广元·一模）关于x的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0，列出条件求解． 【详解】解：由题意，得且， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）已知方程，用配方法化为．则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程， 根据完全平方公式加上一次项系数一半的平方配方，再根据对应系数相等可得答案. 【详解】解：方程， 配方，得， 即， 则， 解得. 故答案为：3. 13．（2025·广东江门·二模）代数式与代数式的和为1，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解分式方程，根据题意得出方程，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：∵代数式与代数式的和为1， ∴， 去分母得，， 解得，，， 经检验，，均为原方程的解， 故答案为：或． 14．（24-25九年级上·福建三明·期中）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则正数a的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解一元二次方程．由题意得方程，利用公式法解方程即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：或（舍） 故答案为： 15．（2023·内蒙古包头·一模）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查的是分式方程的解法和一元一次不等式的解法．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出，根据解为正数，求出的范围即可． 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵该方程的解是正数， ∴， 解得， 又∵， ∴， 故答案为：且． 16．（25-26九年级上·四川眉山·期中）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】方程有两个实数根，则判别式且被开方数，列不等式组并求解即可． 本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的情况，二次根式的定义，熟练掌握一元二次方程有两个实数根时判别式是解题的关键． 【详解】解：由条件得， 解得． 故答案为：． 17．（25-26九年级上·陕西西安·期中）在一个不透明的盒子里装有个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球，搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色再把它放回盒子中，不断重复实验，统计结果显示，随着实验次数越来越大，摸到黄色乒乓球的频率稳定在左右，则估计盒子中大约有 个白色乒乓球． 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，掌握频率和概率的关系是解题的关键．设白色乒乓球有个，则总球数为个，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：设白色乒乓球有个，则总球数为个， 由题意得， ， 解得， 经检验是原方程的解， ∴估计盒子中大约有个白色乒乓球， 故答案为：． 18．（2025·江苏南京·一模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，是的外接圆，若点是其外接圆上任意一点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了外接圆的性质，两点间的距离，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．由，，都在上，得点P在y轴上，设，根据两点间的距离即可求出b的值，则圆心，得到，设，则，再转化为一元二次方程的根的判别式即可求解． 【详解】解：是的外接圆， 点在、、垂直平分线的交点上，， ，， 点在轴上， 设， ， ， 圆心的坐标为， 是其外接圆上任意一点， ， ， 设，则， ， 整理得， 为实数， ， 解得， 的最大值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级上·全国·期末）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据解分式方程的步骤进行计算即可； （2）根据解分式方程的步骤进行计算即可． 【详解】（1）解：原方程可化为：， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为：； （2）解：去分母，得：， ， ， ， 解得：或， 检验：当时， ；当时，（舍去）； ∴原分式方程的解为：． 20．（本小题满分8分）（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）解下列一元二次方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是明确解一元二次方程的方法． （）利用因式分解法解方程即可； （）先移项，再提取公因式转化为两个一次因式的乘积形式，依据因式乘积为的性质求解． 【详解】（1）解： ， 则或， 解得：，． （2） 移项得：， 提取公因式：， 即， 则或， 解得：，． 21．（本小题满分10分）（2025·山东青岛·模拟预测）（1）先化简，再从，，中选择合适的值代入求值． （2）解分式方程：． 【答案】（1），；（2）． 【分析】本题主要考查分式化简求值及分式方程的求解，掌握相关运算法则和求解步骤是解题的关键． （1）先化简原式，再根据分母和除数不为零，选择合适的数值代入计算； （2）先去分母两边同时乘以，再解方程检验即可． 【详解】（1） ， 且， 且， ， 原式； （2）， 两边同时乘以得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的根． 22．（本小题满分10分）（23-24九年级上·贵州六盘水·月考）已知、是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)若，求的值； (2)已知等腰三角形的一边长为7，另外的两边长恰好是、，求的周长． 【答案】(1)6 (2)17 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． （2）根据根与系数的关系定理，得，，结合等腰三角形，三角形三边关系定理解答即可． 本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，解一元二次方程，也考查了三角形三边的关系，等腰三角形的定义．掌握一元二次方程的根与系数的关系及根的判别式和对等腰三角形恰当分类是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵是方程的两个实数根， ∴， 解得． ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得或（舍去）， 故的值为6． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵等腰三角形的一边长为7， 当时， ∴，， ∴， 整理，得， 解得， 当时，， 此时三角形的三边长为7，7，3，三角形存在， 故三角形的周长为； 当时，， 此时三角形的三边长为7，7，15，三角形不存在； 同理可证，当时，三角形的周长为17； ∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵等腰三角形的一边长为7， 当时， ∴， 解得， ∴， 此时三角形的三边长为7，3，3，三角形不存在； 综上所述，三角形周长为17． 23．（本小题满分10分）（2024·广东汕头·一模）数学源于生活，寓于生活，用于生活．在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用．为了激发学生学习数学的兴趣，某校计划购进《什么是数学》和《古今数学思想》若干套，已知5000元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多60套，且《古今数学思想》的单价是《什么是数学》单价的倍． (1)求每套《什么是数学》的价格； (2)学校计划用不超过4000元购进这两套书共70套，此时正赶上书城8折销售所有书籍，求《古今数学思想》最多能买几套？ 【答案】(1)50元 (2)《古今数学思想》最多能买20套 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设每套《什么是数学》的价格是x元，则每套《古今数学思想》的价格是元，根据5000元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多60套建立方程求解即可； （2）根据（1）所求可求出《古今数学思想》的价格，设可以购进m套《古今数学思想》，则购进套《什么是数学》，根据购买费用不超过4000元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每套《什么是数学》的价格是x元，则每套《古今数学思想》的价格是元， 根据题意得：60， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：每套《什么是数学》的价格是50元； （2）解：由（1）可得：每套《古今数学思想》的价格是2．5×50＝125（元）， 设可以购进m套《古今数学思想》，则购进套《什么是数学》， 根据题意得：， 解得， ∴m的最大值为20． 答：《古今数学思想》最多能买20套． 24．（本小题满分12分）（2025·山东泰安·一模）如图，从A地到D地规划修建一条东西方向的笔直公路，勘测人员发现公路要穿过一座山，施工队原计划从B处开凿隧道通到C处，已知A，B，C，D四点在同一直线上，在C处的正南方取一观测点E，观测到点E在点B的南偏东方向上，观测点E到点B的距离为．（参考数据：，，，最后结果保留整数） (1)求隧道两端间的距离； (2)原计划从B向C开挖，为了加快施工进度，实际从B，C两端同时相向施工，结果工作效率比原计划提高了，比原计划提前5天完工．问原计划单向开挖每天挖多少m？ 【答案】(1)间的距离为 (2)原计划单向开挖每天挖 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用．熟练掌握解直角三角形的应用，分式方程的应用是解题的关键． （1）由题意知，，，，则，根据，求解作答即可； （2）设原计划单向开挖每天挖，则相向施工时每天挖，依题意得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，，，， ∴， ∴， ∴间的距离为； （2）解：设原计划单向开挖每天挖，则相向施工时每天挖， 依题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， ∴原计划单向开挖每天挖． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $