专题 1.11 一元二次方程与分式方程（ 知识梳理+题型精析+真题专练）- 2026年中考数学基础知识总复习专项突破讲练（全国通用）

专题 1.11 一元二次方程与分式方程（知识梳理+题型精析+真题专练） 目录 一.知识梳理 2 【知识点一】一元二次方程 2 【知识点二】分式方程 3 【知识点三】一元二次方程、分式方程的应用 3 二.题型分类精析 4 （一）基础巩固 4 【题型1】一元二次方程定义与方程的解 4 【题型2】直接开平方法与配方法解一元二次方程 4 【题型3】公式法与因式分解法解一元二次方程 5 【题型4】根的判别式 5 【题型5】根的判别式与根与系数的关系 6 【题型6】解可化为一元一次方程的分式方程 6 【题型7】分式方程的增根 7 【题型8】增长率问题（列一元二次方程解应用题） 7 【题型9】简单图形问题（列一元二次方程解应用题） 8 【题型10】营销与利润问题（列一元二次方程解应用题） 9 【例题11】工程问题（列分式方程解应用题） 10 【题型12】行程问题（列分式方程解应用题） 11 【题型13】经济问题（列分式方程解应用题） 12 （二）拓展培优 12 【题型 14】解可化为一元二次方程的分式方程 12 【题型 15】复杂代数式求值 13 【题型 16】含参数代数式配方求最值填空题 13 【题型 17】增根与无解问题 14 【题型 18】已知分式方程解的情况求参 14 【题型 19】一元二次方程、分式方程与一次函数、反比例函数综合 15 三.中考真题专练 16 （一）单选题（10题） 16 （二）填空题（6题） 18 （三）解答题（4题） 18 一.知识梳理 【知识点一】一元二次方程 1.一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程． 它的一般形式为(a≠0)． 2.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：把方程变成的形式，当时，方程的解为；当时，方程的解；当时，方程没有实数解． （2）配方法：通过配方把一元二次方程变形为的形式，再利用直接开平方法求得方程的解． （3）公式法：对于一元二次方程，当时，它的解为． （4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解． 3．一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式为． 方程有两个不相等的实数根； 方程有两个相等的实数根； 方程没有实数根． 上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边． 4．一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程的两个根是，，那么． 【知识点二】分式方程 1.分式方程的定义 分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程． 2.分式方程的解法 去分母法，换元法． 3.解分式方程的一般步骤 　　　(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； 　　　(2)解这个整式方程； 　　　(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根. 口诀：“一化二解三检验”. 【知识点三】一元二次方程、分式方程的应用 1．应用问题中常用的数量关系及题型 (1)数字问题(包括日历中的数字规律) 关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律． (2)体积变化问题 关键是寻找其中的不变量作为等量关系. (3)打折销售问题 其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝×100%． 明确这几个关系式是解决这类问题的关键． (4)关于两个或多个未知量的问题 重点是寻找到多个等量关系，能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程. (5)行程问题 对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题． 注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇. (6)和、差、倍、分问题 增长量＝原有量×增长率； 现有量＝原有量+增长量； 现有量＝原有量-降低量． 2．解应用题的步骤 (1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系； (2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； (3)找出相等关系，并用它列出方程； (4)解方程求出题中未知数的值； (5)检验所求的答数是否符合题意，并做答． 二.题型分类精析 题号前带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 （一）基础巩固 【题型1】一元二次方程定义与方程的解 【★例题1】（2025·四川绵阳·一模）一元二次方程的二次项系数，一次项系数及常数项分别是 ． 【★变式1】（2024·广东汕头·一模）若关于x的一元二次方程的解是，则 ． 【★变式2】（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）下列方程中，是一元二次方程的是 （    ） A． B． C． D． 【★★变式3】（2025·江苏苏州·模拟预测）若是方程的根，则代数式的值是 ． 【题型2】直接开平方法与配方法解一元二次方程 【★★例题2】（2025·河南濮阳·一模）解方程： (1)； (2)． 【★变式1】（2024·四川雅安·模拟预测）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是 ． 【★变式2】（2024·安徽·二模）下列方程中，有两个不相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 【★变式3】（2025·四川雅安·一模）对方程进行配方，正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型3】公式法与因式分解法解一元二次方程 【★★例题3】（2025·四川绵阳·一模）解方程： (1)； (2)． 【★变式1】（2025·浙江·模拟预测）从，，，，这五个数中随机选择一个数，能成为方程的解的概率为 ． 【★变式2】（2025·河北·一模）方程的一个根是（　　） A． B． C．无实数根 D． 【★变式3】（24-25九年级上·陕西咸阳·月考）一个直角三角形的一条直角边长是，另一直角边的长是一元二次方程的根，则该三角形的面积是（　　） A． B．或 C．或 D． 【题型4】根的判别式 【★例题4】（2025·福建泉州·模拟预测）已知方程． (1)当时，求方程的根． (2)若方程与方程至少有一个方程有实根，求的取值范围． 【★变式1】（2025·四川成都·一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 【★变式2】（2025·河南濮阳·一模）已知关于x的一元二次方程有实数根，则a的最小值是 ． 【★变式3】（2024·广东·模拟预测）已知：关于x的方程． (1)求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根． (2)若等腰三角形的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【题型5】根的判别式与根与系数的关系 【★例题5】（2024·广东广州·一模）已知 (1)化简A； (2)若是一元二次方程两个实数解，，求A的值． 【★变式1】（25-26九年级上·河北张家口·期中）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【★变式2】（2025·四川广安·一模）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【★变式3】（23-24八年级下·浙江金华·月考）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：这个一元二次方程一定有两个实数根； (2)设该一元二次方程的两根为a，b，且2，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值． 【题型6】解可化为一元一次方程的分式方程 【★例题6】（2025·广东·模拟预测）解分式方程：． 解：方程两边同乘以，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项､合并同类项，得，……第三步 方程两边同除以2，得，……第四步 经检验是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为．……第五步 任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________； ②上述解题过程是从第_______步开始出现错误的，错误的原因是__________________； 任务二：求出分式方程正确的解并有详细的过程． 【★变式1】（2025·四川乐山·二模）将分式方程去分母后可得整式方程为（   ）． A． B． C． D． 【★变式2】（2025·陕西延安·一模）解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（   ） A．0 B． C．2 D．2或 【★变式3】（2024·广东·模拟预测）解分式方程： (1)； (2)； 【题型7】分式方程的增根 【★例题7】（2023·浙江宁波·模拟预测）分式方程的解为 ． 【★变式1】（2025·四川雅安·二模）若关于的方程有增根，则的值为 ． 【★变式2】（23-24八年级下·四川宜宾·月考）若解关于x的分式方程会产生增根，则m的值为 ． 【★★变式3】（2025·广东揭阳·一模）已知的半径是关于的方程的增根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 【题型8】增长率问题（列一元二次方程解应用题） 【★例题8】（2024·广东·模拟预测）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，一月份新建了320个充电桩，三月份新建了500个充电桩，一月份到三月份充电桩数量的月增长率相同． (1)求一月至三月份该市新建智能充电桩数量的月增长率； (2)预计四月份保持一月至三月份的充电桩数量的月增长率．已知该市四月份上半月已建智能充电桩325个，则四月份下半月（15天）日均新建智能充电桩为多少个？ 【★变式1】（25-26八年级上·上海·月考）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果每个月比上一个月的增长率都相同，均为x，则由题意列方程应为（） A． B． C． D． 【★变式2】（2024·甘肃嘉峪关·模拟预测）随着近期国家抑制房价新政策的出台，某小区房价两次下跌，由原来的每平方米元降至每平方米元，设每次降价的百分率为x，则所列方程为 ． 【★变式3】（2025·新疆克拉玛依·一模）（1）解方程组： （2）李师傅家的超市今年1月盈利元，3月盈利元，若从1月到3月，每月盈利的平均增长率相同，则这个平均增长率是多少？ 【题型9】简单图形问题（列一元二次方程解应用题） 【★例题5】（2025·陕西西安·一模）如图,用长为25米的篱笆,一面利用墙（墙的最大可用长度为14米）,围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,为了方便出入,在建造篱笆花圃时,在上开了宽为1米的两扇小门．若此时花圃的面积刚好为60平方米,求此时花圃的边的长．    【★变式1】（2025·四川绵阳·一模）如图，某小区规划在一个长，宽的矩形场地上，修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若草坪部分总面积为，设小路宽为，那么x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【★变式2】（2025·山东青岛·模拟预测）某公园举办美食节，利用一块矩形空地搭建美食摊位，布局如图所示．已知，阴影部分为美食摊位，需要铺上防污地毯，其余部分均为宽度为的道路．已知铺防污地毯的面积为，则道路的宽度为 ． 【★变式3】（23-24九年级上·江苏盐城·期中）某学校计划利用一片空地建一个面积为的矩形车棚，其中一边靠墙，这堵墙的长度为，另外三边用总长为的木板墙． (1)为方便出行，学校决定在与墙平行的一边上开一个宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？ (2)在（1）的条件下，如图，为了方便取车，施工单位决定在车棚内修建三条等宽的小路，使得停车区的面积为，那么小路的宽度是多少米？ 【题型10】营销与利润问题（列一元二次方程解应用题） 【★例题10】（2023·福建三明·一模）某商场将进货价为30元的玩具以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种玩具销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种玩具获利4800元，则这种玩具应降价多少元？ 【★变式1】（2025·山西吕梁·二模）太原的名优特产老陈醋醋香四溢，具有软化血管等功效．一位经销商在直播平台经营某种老陈醋礼盒，其进价为每盒50元，按70元出售，平均每天可售出100盒．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20盒．若该经销商想要平均每天获利2240元，每盒老陈醋礼盒应降价多少元？若设每盒老陈醋礼盒应降价元，根据题意，所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【★变式2】（2024·上海·模拟预测）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价 元． 【★变式3】（2025·河南驻马店·三模）景德镇瓷器举世闻名，物美价廉，在瓷博会上某商家将进货单价为30元的艺术瓷盘按40元售出时，就能卖出600个瓷盘，经预测这种瓷盘每个涨价1元，其销售量就减少10个，若设艺术瓷盘每个涨价x元（x为整数），请完成如下问题： (1)用含x的代数式表示： ①每个瓷盘的实际利润是______元； ②实际的销售量是______个； (2)为了赚得10000元的利润而义尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少元？ 【例题11】工程问题（列分式方程解应用题） 【★例题11】（2025·云南·模拟预测）随着“碳中和”理念普及，校园旧物回收活动愈发火热．某校初三（1）班学生利用课余时间整理可回收废品，发现改进分类方法后，工作效率大幅提高．已知该班同学改进前整理60千克废品所用的时间，与改进后整理90千克废品所用的时间相同，且改进后每小时比改进前多整理15千克废品．请问该班同学改进前每小时整理多少千克废品？ 【★变式1】（2025·上海·模拟预测）假设有一项工程总量为1，甲独做需10天完成，乙独做需6天完成． 现由甲先做3天乙再加入合作，完成此项工程共需天，对于列方程错误的说法是（　　） A．甲的工作效率为 B．乙总共做了天 C．列方程 D．列方程 【★变式2】（2025·宁夏吴忠·三模）“为美化校园，某校安排甲、乙两人种植花苗，已知甲种植40棵花苗所用时间是乙种植15棵花苗所用时间的2倍……，求甲、乙两人每小时各种植多少棵花苗．设甲每小时种植x棵花苗，则可得方程 根据此情景，题中用“……”表示的缺失的条件应为 ． 【★变式3】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，某公路局施工队要修建一条公路，已知点周围米范围内为古建筑保护群，在上的点处测得在的北偏东方向上，从A向东走米到达处，测得在点的北偏西方向上．（参考数据：，） (1)是否穿过古建筑保护群？为什么？ (2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高，则原计划每天完成修建多少米公路？ 【题型12】行程问题（列分式方程解应用题） 【★例题12】（23-24八年级上·山东滨州·期末）列分式方程解应用题： 刘峰和李明相约周末去野生动物园游玩，根据他们的谈话内容，求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米? 10．（2025·山西太原·二模）年低空经济的核心产业（电动垂直起降飞行器）发展火热，其核心技术在于电动化，与燃油直升机相比，大大节约了飞行成本．经过对某款飞行器和燃油直升机对比调查发现飞行器平均每公里航程能源成本是燃油直升机的倍，且飞行器充电费元比燃油直升机燃油费元飞行航程多公里，那么飞行器平均每公里航程的能源成本为多少元？ 【★变式1】（2026·新疆阿克苏·模拟预测）甲、乙两人沿着阿克苏湿地公园总长度为的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【★变式2】（2025·山东德州·模拟预测）为响应政府“绿色出行”的号召，小张上班由自驾车改为骑自行车．已知小张家距上班地点千米，他骑自行车比自驾车平均每小时少行驶千米，他从家出发到上班地点，骑自行车所用的时间比自驾车所用的时间多小时．设小张骑自行车上班平均每小时行驶千米，那么可列方程为 ． 【题型13】经济问题（列分式方程解应用题） 【★例题13】（2022·广东中山·三模）某超市销售两款保温杯，已知款保温杯的销售单价比款保温杯多10元，用1200元购买款保温杯的数量与用960元购买款保温杯的数量相同． (1)、两款保温杯销售单价各是多少元？ (2)由于需求量大，、两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且款保温杯的数量不少于款保温杯数量的一半，款保温杯的进价为每个30元，款保温杯的进价为每个35元，若两款保温杯的销售单价不变，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？ 【★变式1】（2025·广东广州·三模）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心，发射成功，某火箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型，已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型比“神舟”模型多2个，设“天宫”模型单价为元，则可以列出方程为（    ） A． B． C． D． 【★变式2】（2024·山东东营·中考真题）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少．设该市去年居民用水价格为，则可列分式方程为 ． （二）拓展培优 【题型 14】解可化为一元二次方程的分式方程 【★★例题14】（2024九年级下·广东茂名·竞赛）解方程： 【★★变式1】（25-26八年级上·广西崇左·月考）用换元法解方程时，若设，则可得到整式方程是（   ） A． B． C． D． 【★★变式2】（上海市奉贤区2025-2026学年上学期八年级数学期末卷（1月））方程的根是 ． 【★★变式3】（25-26八年级上·甘肃平凉·期末）解方程： (1)． (2)． 【题型 15】复杂代数式求值 【★★例题15】（2025·四川南充·一模）若m，n是方程的两个不相等的实数根，则的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【★★变式1】（2025·福建·中考真题）设，是方程的两个根，那么的值为 ． 【★★变式2】（2025·湖南湘西·模拟预测）若实数a，b满足，，则的值为（    ） A． B．或20 C．2或 D． 【★★变式3】（23-24八年级下·江西赣州·月考）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根为，则 ． 【题型 16】含参数代数式配方求最值填空题 【★★例题16】（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）若，满足，则的值为 ． 【★★变式1】（2025·河北·模拟预测）张伟计划用家里现有的篱笆围建一个矩形羊圈．他计算了一下，如果把10米长的墙作为所围的矩形的一边，则这个矩形的面积是单纯利用篱笆围成的最大矩形面积的2倍．张伟家里现有的篱笆总共长度是（    ） A．20米 B．24米 C．28米 D．32米 【★★变式2】（2023·北京·一模） 如图，点A的坐标为(1，0)，点B在直线y=－x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为 （ ） A．（0，0） B．（－，） C．（，－） D．（，－） 【★★变式3】（2024·江苏扬州·一模）在数学课上，老师要求同学们将一个关于字母的二次三项式（、是常数）配成（是常数）的形式，则的最小值是 ． 【题型 17】增根与无解问题 【★★例题17】（25-26八年级上·山东聊城·期中）若关于的方程无解，则的值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【★★变式1】（24-25八年级上·湖南怀化·期中）关于的分式方程有增根，则它的增根是（　　） A． B． C．或 D． 【★★变式2】（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）若关于x的分式方程无解，则满足条件的k值为 ． 【★★变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知关于x的分式方程，若方程的解为，则 ；若方程有增根，则增根为 ， ；若方程的解是正数，则m的取值范围是 ． 【题型 18】已知分式方程解的情况求参 【★★例题18】（25-26八年级上·四川南充·期末）已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【★★变式1】（2024·黑龙江·一模）如果关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数m的和为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【★★变式2】（2023·湖南长沙·模拟预测）若关于x的分式方程的解是负数，则字母m的取值范围是 ． 【★★变式3】（2025·四川达州·三模）如果关于x的不等式组至多有2个整数解，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的和为 ． 【题型 19】一元二次方程、分式方程与一次函数、反比例函数综合 【★★例题20】（2024·河北·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，若将一次函数的图象向上平移个单位长度，与反比例函数图象的一个交点为M，已知点M的纵坐标为． （1）k的值为 ． （2）连接，，则的面积为 ． （3）当时，x的取值范围是 ． 【★★变式1】（24-25九年级下·河南·开学考试）当时，一次函数最大值4，则实数m的值为（   ） A．或0 B．0或1 C．或 D．或1 【★★变式2】（2025·江苏扬州·三模）已知点A是反比例函数图像上的一点，点是点A关于y轴的对称点，当为直角三角形时，点A的坐标是 ． 【★★变式3】（2025·广东湛江·二模）反比例函数在第一象限的图象如图所示，过点作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点M，的面积为2． (1)求反比例函数的解析式； (2)设点B的坐标为，其中．若以为一边的正方形有一个顶点在反比例函数的图象上，求t的值． 三.中考真题专练 （一）单选题（10题） 1．（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 2．（2025·湖南·中考真题）将分式方程去分母后得到的整式方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．且 5．（2025·四川广元·中考真题）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 7．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 8．（2025·陕西·中考真题）已知二次函数，当时，的值随值的增大而减小，则下列结论正确的是（    ） A． B．该函数图象的顶点位于第四象限 C．方程没有实数根 D．该函数的最大值不小于 9．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为，，则k的值为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·天津·中考真题）四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 （二）填空题（6题） 11．（2025·江苏徐州·中考真题）分式方程的解为 ． 12．（2025·四川绵阳·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为 ． 13．（2025·青海西宁·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值 ． 14．（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则 ． 15．（2025·四川成都·中考真题）从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为 ． 16．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则 （三）解答题（4题） 17．（2025·广东·中考真题）在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 18．（2025·山东威海·中考真题）（1）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上； （2）解分式方程． 19．（2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及m的值． (2)求证：． 20．（2025·重庆·中考真题）列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． (1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ (2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.11 一元二次方程与分式方程（知识梳理+题型精析+真题专练） 目录 一.知识梳理 2 【知识点一】一元二次方程 2 【知识点二】分式方程 3 【知识点三】一元二次方程、分式方程的应用 3 二.题型分类精析 4 （一）基础巩固 4 【题型1】一元二次方程定义与方程的解 4 【题型2】直接开平方法与配方法解一元二次方程 6 【题型3】公式法与因式分解法解一元二次方程 8 【题型4】根的判别式 10 【题型5】根的判别式与根与系数的关系 12 【题型6】解可化为一元一次方程的分式方程 15 【题型7】分式方程的增根 18 【题型8】增长率问题（列一元二次方程解应用题） 20 【题型9】简单图形问题（列一元二次方程解应用题） 22 【题型10】营销与利润问题（列一元二次方程解应用题） 25 【例题11】工程问题（列分式方程解应用题） 28 【题型12】行程问题（列分式方程解应用题） 30 【题型13】经济问题（列分式方程解应用题） 33 （二）拓展培优 35 【题型 14】解可化为一元二次方程的分式方程 35 【题型 15】复杂代数式求值 38 【题型 16】含参数代数式配方求最值填空题 40 【题型 17】增根与无解问题 42 【题型 18】已知分式方程解的情况求参 45 【题型 19】一元二次方程、分式方程与一次函数、反比例函数综合 48 三.中考真题专练 53 （一）单选题（10题） 53 （二）填空题（6题） 62 （三）解答题（4题） 65 一.知识梳理 【知识点一】一元二次方程 1.一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程． 它的一般形式为(a≠0)． 2.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：把方程变成的形式，当时，方程的解为；当时，方程的解；当时，方程没有实数解． （2）配方法：通过配方把一元二次方程变形为的形式，再利用直接开平方法求得方程的解． （3）公式法：对于一元二次方程，当时，它的解为． （4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解． 3．一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式为． 方程有两个不相等的实数根； 方程有两个相等的实数根； 方程没有实数根． 上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边． 4．一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程的两个根是，，那么． 【知识点二】分式方程 1.分式方程的定义 分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程． 2.分式方程的解法 去分母法，换元法． 3.解分式方程的一般步骤 　　　(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； 　　　(2)解这个整式方程； 　　　(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根. 口诀：“一化二解三检验”. 【知识点三】一元二次方程、分式方程的应用 1．应用问题中常用的数量关系及题型 (1)数字问题(包括日历中的数字规律) 关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律． (2)体积变化问题 关键是寻找其中的不变量作为等量关系. (3)打折销售问题 其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝×100%． 明确这几个关系式是解决这类问题的关键． (4)关于两个或多个未知量的问题 重点是寻找到多个等量关系，能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程. (5)行程问题 对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题． 注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇. (6)和、差、倍、分问题 增长量＝原有量×增长率； 现有量＝原有量+增长量； 现有量＝原有量-降低量． 2．解应用题的步骤 (1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系； (2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； (3)找出相等关系，并用它列出方程； (4)解方程求出题中未知数的值； (5)检验所求的答数是否符合题意，并做答． 二.题型分类精析 题号前带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 （一）基础巩固 【题型1】一元二次方程定义与方程的解 【★例题1】（2025·四川绵阳·一模）一元二次方程的二次项系数，一次项系数及常数项分别是 ． 【答案】2，， 【分析】本题考查一元二次方程的基本概念，明确一元二次方程的“二次项系数、一次项系数、常数项”的定义是解题关键． 一元二次方程的一般形式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 【详解】解： 一元二次方程中，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 方程中，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：2，，． 【★变式1】（2024·广东汕头·一模）若关于x的一元二次方程的解是，则 ． 【答案】 2016 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 将代入方程得到的值，再整体代入即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 【★变式2】（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）下列方程中，是一元二次方程的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程），逐一判断各选项． 【详解】解：A、方程含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、方程，化简后不含二次项，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程是一元二次方程，符合题意； D、方程含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 【★★变式3】（2025·江苏苏州·模拟预测）若是方程的根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及方程根的定义、整体代入法求代数式值、分式的混合运算等知识，根据题中所给代数式的结构特征，结合已知条件，恒等变形代值求解即可得到答案，熟练掌握分式混合运算法则化简求值是解决问题的关键． 【详解】解：是方程的根， ，即， ， 故答案为：． 【题型2】直接开平方法与配方法解一元二次方程 【★★例题2】（2025·河南濮阳·一模）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法． （1）先移项得，再根据直接开平方法即可求出答案； （2）先移项得，再根据配方法即可求出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ∴，； （2）解：， ， ， ， ， ， ∴，． 【★变式1】（2024·四川雅安·模拟预测）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程求解作答即可． 【详解】解：， ， ， ∴， 故答案为：． 【★变式2】（2024·安徽·二模）下列方程中，有两个不相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了解一元一次方程，分式方程，一元二次方程，分别判断四个选项中方程解的情况即可解答． 【详解】解：A、，则，所以方程无实数根； B、，则，经检验，是方程的解，所以方程有两个不相等的实数根； 、，则，所以方程有两个相等的实数根； D、，则，所以方程有一个实数根． 故选：B． 【★变式3】（2025·四川雅安·一模）对方程进行配方，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，准确的计算是解决本题的关键． 通过配方法将方程转化为完全平方形式即可． 【详解】解： ， 故选：B． 【题型3】公式法与因式分解法解一元二次方程 【★★例题3】（2025·四川绵阳·一模）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用公式法求解即可； （2）利用因式分解法解方程． 【详解】（1）解： ， ， ∴，； （2）解： 或 ∴，． 【★变式1】（2025·浙江·模拟预测）从，，，，这五个数中随机选择一个数，能成为方程的解的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，概率公式，熟练掌握解一元二次方程的步骤和概率公式是解题的关键．先解一元二次方程，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：， 解得：，， 即和是方程的解， ∴从，，，，这五个数中随机选择一个数，能成为方程的解的概率为， 故答案为：． 【★变式2】（2025·河北·一模）方程的一个根是（　　） A． B． C．无实数根 D． 【答案】C 【分析】本题考查公式法解一元二次方程．先找出二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出根的判别式，发现其结果小于0，故原方程无实数根． 【详解】解：， ，，， ， 因此方程无实数根． 故选：C． 【★变式3】（24-25九年级上·陕西咸阳·月考）一个直角三角形的一条直角边长是，另一直角边的长是一元二次方程的根，则该三角形的面积是（　　） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】根据题意，解一元二次方程，再求三角形的面积即可． 本题考查了接一元二次方程，关键是根据题意找到等量关系式． 【详解】解：解方程得：，舍去， 该直角三角形的另一条直角边长是， 故该三角形的面积， 故选：A． 【题型4】根的判别式 【★例题4】（2025·福建泉州·模拟预测）已知方程． (1)当时，求方程的根． (2)若方程与方程至少有一个方程有实根，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】此题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式， （1）将代入方程，然后利用因式分解法求解即可； （2）根据题意分两种情况讨论，利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：当时， ∴ ∴ 或 ∴解得，； （2）解：∵ 根据题意得， ∴； ∵ 当时，即 ∴，解得，此时方程有解； 当时，即 根据题意得，， ∴， 综上所述，的取值范围为或． 【★变式1】（2025·四川成都·一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的知识，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键． 利用一元二次方程的根的判别式解答即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：D 【★变式2】（2025·河南濮阳·一模）已知关于x的一元二次方程有实数根，则a的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程有实根的条件，解决本题的关键是得到判别式非负列式求解． 利用一元二次方程有实数根的条件，判别式非负，列不等式求解的取值范围，进而得到最小值． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 则，且判别式， 即，解得， 故的最小值为． 故答案为：． 【★变式3】（2024·广东·模拟预测）已知：关于x的方程． (1)求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根． (2)若等腰三角形的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】(1)详见解析 (2)5 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：①当，方程有两个不相等的实数根；②当，方程有两个相等的实数根；③当，方程没有实数根． （1）先计算出，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况； （2）依题意有，则，再把k代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长． 【详解】（1）证明： ， ∵， ∴， ∴无论k取任何实数值，方程总有实数根； （2）解：依题意有，则， 方程化为， 解得：， ∵等腰三角形的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根， ∴的周长． 【题型5】根的判别式与根与系数的关系 【★例题5】（2024·广东广州·一模）已知 (1)化简A； (2)若是一元二次方程两个实数解，，求A的值． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查分式的混合运算，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据分式的混合运算法则计算即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，再代入求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）∵是一元二次方程两个实数解，， ∴， ∴． 【★变式1】（25-26九年级上·河北张家口·期中）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．将方程化为一般形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，得到点的坐标，再判断所在象限即可． 【详解】解：∵方程化为， ∴, , ， ∴两根之和为， 两根之积为， ∴点为， ∵横坐标为正，纵坐标为负， ∴点在第四象限． 故选：D． 【★变式2】（2025·四川广安·一模）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程解的定义可得，再根据根与系数的关系可得，然后整体代入代数式求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即． 又∵， ∴ ． 故答案为：． 【★变式3】（23-24八年级下·浙江金华·月考）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：这个一元二次方程一定有两个实数根； (2)设该一元二次方程的两根为a，b，且2，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值． 【答案】(1)详见解析 (2)或 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式和勾股定理． （1）计算根的判别式的值得到，利用非负数的性质得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）解方程得，或，，再利用勾股定理得到或，然后分别解关于的方程即可． 【详解】（1）证明： ， 这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）解：解方程得，， 即，或，， ，，分别是一个直角三角形的三边长， 或， 解方程得，（舍去）， 解方程得，（舍去）． 即的值为或． 【题型6】解可化为一元一次方程的分式方程 【★例题6】（2025·广东·模拟预测）解分式方程：． 解：方程两边同乘以，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项､合并同类项，得，……第三步 方程两边同除以2，得，……第四步 经检验是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为．……第五步 任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________； ②上述解题过程是从第_______步开始出现错误的，错误的原因是__________________； 任务二：求出分式方程正确的解并有详细的过程． 【答案】任务一：①等式的基本性质2；②二；完全平方式展开错误；任务二：，过程见解析 【分析】本题考查了解分式方程，等式的性质，分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 任务一：①利用等式的基本性质判断即可； ②观察解方程步骤，找出错误的步骤，分析其原因即可； 任务二：写出分式方程的正确的解即可． 【详解】解：任务一：①上述解题过程中第一步的依据是等式的基本性质； 故答案为：等式的基本性质； ②上述解题过程是从第二步开始出现错误的，错误的原因是完全平方式展开错误； 故答案为：二，完全平方式展开错误； 任务二：， ， ， ， ， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 【★变式1】（2025·四川乐山·二模）将分式方程去分母后可得整式方程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程，掌握相关知识是解决问题的关键．分式方程两边同乘以最简公分母即可． 【详解】解：， 两边同乘以得： ． 故选：C． 【★变式2】（2025·陕西延安·一模）解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（   ） A．0 B． C．2 D．2或 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，解题的关键是明确增根的定义（使分式方程分母为零的根），先求出增根，再将增根代入去分母后的整式方程求解的值． 先确定分式方程的分母为和，令分母为零得增根；再将分式方程两边同乘最简公分母化为整式方程；最后把增根代入整式方程，计算得出的值，进而判断选项． 【详解】解：分式方程的分母为和， 令分母为零，得增根． 方程两边同乘去分母，得：． 将增根代入整式方程：， 即，解得． 故选：B． 【★变式3】（2024·广东·模拟预测）解分式方程： (1)； (2)； 【答案】(1)方程无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键．注意验根． （1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化，检验，解分式方程即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化，检验，解分式方程即可． 【详解】（1）解：， ． 方程两边同乘，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 的系数化为，得． 当时，． ∴是这个方程的增根． ∴这个分式方程无解． （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴分式方程的解为． 【题型7】分式方程的增根 【★例题7】（2023·浙江宁波·模拟预测）分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先去分母将分式方程化为整式方程求解，再检验即可． 【详解】解：， 去分母得，， 解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 故答案为：． 【★变式1】（2025·四川雅安·二模）若关于的方程有增根，则的值为 ． 【答案】6或 【分析】本题考查了解分式方程． 将分式方程两边乘以最简公分母，化为整式方程，再根据增根的定义，令x等于使公分母为零的值，代入整式方程求解m． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得， 整理得， 即， ∵增根是使公分母为零的x值， ∴， 解得：， 当时，； 当时，； 则的值为6或． 故答案为：6或． 【★变式2】（23-24八年级下·四川宜宾·月考）若解关于x的分式方程会产生增根，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，进而求出x的值，代入整式方程求出m的值即可 【详解】解：原分式方程去分母得：， 由分式方程有增根，得到， 解得：或， 当时，，即； 当时，，即， 综上，m的值是或． 故答案为：或． 【★★变式3】（2025·广东揭阳·一模）已知的半径是关于的方程的增根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 【答案】A 【分析】本题主要考查分式方程的增根以及直线和圆的关系，熟练掌握直线和圆的关系是解题的关键．根据题意得到，求出，得到圆的半径，比较半径与圆心到直线的距离的大小，即可得到答案． 【详解】解：的半径是关于的方程的增根 ∴ ∴ ∴的半径是2， ∵圆心到直线的距离， 直线与的位置关系是相切． 故选：A． 【题型8】增长率问题（列一元二次方程解应用题） 【★例题8】（2024·广东·模拟预测）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，一月份新建了320个充电桩，三月份新建了500个充电桩，一月份到三月份充电桩数量的月增长率相同． (1)求一月至三月份该市新建智能充电桩数量的月增长率； (2)预计四月份保持一月至三月份的充电桩数量的月增长率．已知该市四月份上半月已建智能充电桩325个，则四月份下半月（15天）日均新建智能充电桩为多少个？ 【答案】(1)一月至三月份该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为 (2)四月份下半月（15天）日均新建智能充电桩为20个 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用中的增长率问题，读懂题意是解题的关键． （1）根据变化前数量变化后数量，列出方程求解即可． （2）根据（1）中月平均增长率，先求出四月份新建智能充电桩个数，再作差求出下半月新建智能充电桩个数，即可解答． 【详解】（1）解：设月平均增长率为x， 由题意可得：， 解得（负值已舍去）， 故一月至三月份该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为； （2）解：∵（个）， （个）， （个）， ∴四月份下半月（15天）日均新建智能充电桩为20个． 【★变式1】（25-26八年级上·上海·月考）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果每个月比上一个月的增长率都相同，均为x，则由题意列方程应为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．第一季度包括一月、二月和三月，每月增长率相同为x，分别表示各月营业额后求和得到总营业额方程． 【详解】解：一月份营业额为万元，每月增长率为， 二月份营业额为万元， 三月份营业额为万元， 第一季度总营业额为， 方程为． 故选：D． 【★变式2】（2024·甘肃嘉峪关·模拟预测）随着近期国家抑制房价新政策的出台，某小区房价两次下跌，由原来的每平方米元降至每平方米元，设每次降价的百分率为x，则所列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．等量关系为：原价降价的百分率现价，把相关数值代入即可． 【详解】解：第一次降价后的价格为：元； 第二次降价后的价格为：元； ∵两次降价后的价格为元， ∴． 故答案为：． 【★变式3】（2025·新疆克拉玛依·一模）（1）解方程组： （2）李师傅家的超市今年1月盈利元，3月盈利元，若从1月到3月，每月盈利的平均增长率相同，则这个平均增长率是多少？ 【答案】（1）（2）这个平均增长率为 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法和一元二次方程的应用． （1）使用加减消元法求解； （2）设平均增长率为根据题意，利用增长公式列出方程求解． 【详解】解：（1） ，得： ，得：，解得 将代入，得：， 解得 因此，方程组的解为 （2）设平均增长率为根据题意，得： 化简得： 所以即或（舍去） 所以 答：这个平均增长率为 【题型9】简单图形问题（列一元二次方程解应用题） 【★例题5】（2025·陕西西安·一模）如图,用长为25米的篱笆,一面利用墙（墙的最大可用长度为14米）,围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,为了方便出入,在建造篱笆花圃时,在上开了宽为1米的两扇小门．若此时花圃的面积刚好为60平方米,求此时花圃的边的长．    【答案】此时花圃的边的长为米 【分析】本题考查一元二次方程与图形面积有关的应用，先理解题意，设花圃的边的长为米，结合花圃的面积刚好为60平方米,得，解得或，即可作答． 【详解】解：设花圃的边的长为米， 依题意，得， ∵花圃的面积刚好为60平方米， ∴， 解得或， 当时，则（舍去）； 当时，则， ∴此时花圃的边的长为米． 【★变式1】（2025·四川绵阳·一模）如图，某小区规划在一个长，宽的矩形场地上，修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若草坪部分总面积为，设小路宽为，那么x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握用含有未知数的式子将草坪面积表示出来是解题的关键． 小路宽为，可得草坪的总长度为，总宽度为，根据矩形的面积列方程，化简成一般形式，即可求解． 【详解】解：小路宽为，草坪的总长度为，总宽度为， 根据题意，可得，化简得 ． 故选：C． 【★变式2】（2025·山东青岛·模拟预测）某公园举办美食节，利用一块矩形空地搭建美食摊位，布局如图所示．已知，阴影部分为美食摊位，需要铺上防污地毯，其余部分均为宽度为的道路．已知铺防污地毯的面积为，则道路的宽度为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． 根据道路的宽为米，根据题意得，然后解方程并检验即可 【详解】解：根据道路的宽为米， 根据题意得，， 整理得：， 解得：（舍去），， 则道路的宽为米， 故答案为：4． 【★变式3】（23-24九年级上·江苏盐城·期中）某学校计划利用一片空地建一个面积为的矩形车棚，其中一边靠墙，这堵墙的长度为，另外三边用总长为的木板墙． (1)为方便出行，学校决定在与墙平行的一边上开一个宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？ (2)在（1）的条件下，如图，为了方便取车，施工单位决定在车棚内修建三条等宽的小路，使得停车区的面积为，那么小路的宽度是多少米？ 【答案】(1)车棚的长为米，宽为米 (2)小路的宽为米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设与墙垂直的一面为米，然后可得另两面则为米，然后利用其面积为列出方程求解即可； （2）设小路的宽为米，利用去掉小路的面积为平方米列出方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设与墙垂直的一面为米，另一面则为米 根据题意得：， 整理得：， 解得或， 当时，(舍去)， 当时，， 答：车棚的长为米，宽为米． （2）解：设小路的宽为米， 根据题意得：， 整理得， 解得：(舍去)，， 答：小路的宽为米． 【题型10】营销与利润问题（列一元二次方程解应用题） 【★例题10】（2023·福建三明·一模）某商场将进货价为30元的玩具以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种玩具销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种玩具获利4800元，则这种玩具应降价多少元？ 【答案】(1)2，3两个月的销售量月平均增长率为 (2)这种玩具应降价2元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，根据设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，进行列方程，再解方程，即可作答． （2）设这种玩具每个降价y元时，商场四月份销售这种玩具获利4800元，结合在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个，进行列方程，再解方程，即可作答． 【详解】（1）解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为x， 依题意，得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：2，3两个月的销售量月平均增长率为． （2）解：∵这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个 ∴每降价1元，其销售量增加12个 设这种玩具每个降价y元时，商场四月份销售这种玩具获利4800元， 依题意，得：， 整理，得：， 解得，(不符合题意，舍去)， 答：这种玩具应降价2元． 【★变式1】（2025·山西吕梁·二模）太原的名优特产老陈醋醋香四溢，具有软化血管等功效．一位经销商在直播平台经营某种老陈醋礼盒，其进价为每盒50元，按70元出售，平均每天可售出100盒．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20盒．若该经销商想要平均每天获利2240元，每盒老陈醋礼盒应降价多少元？若设每盒老陈醋礼盒应降价元，根据题意，所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意设每盒应降价元，再根据利润（售价进价）销量即可列出方程． 【详解】解：设每盒应降价元， ∵商场平均每天可销售老陈醋礼盒100盒，如果降价2元，则每天可多售出20盒， ∴销量为：盒， ∵平均每天盈利2240元， ∴， 故选：B． 【★变式2】（2024·上海·模拟预测）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价 元． 【答案】3或4 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出销量与每箱利润是解题关键．利用的数量关系是：销售每箱饮料的利润销售总箱数=销售总利润，由此列方程解答即可． 【详解】解：设每箱降价x元，则每天多售出箱， ∴ ， 整理得： ， 解得： 或 ， 答：每箱降价3或4元． 【★变式3】（2025·河南驻马店·三模）景德镇瓷器举世闻名，物美价廉，在瓷博会上某商家将进货单价为30元的艺术瓷盘按40元售出时，就能卖出600个瓷盘，经预测这种瓷盘每个涨价1元，其销售量就减少10个，若设艺术瓷盘每个涨价x元（x为整数），请完成如下问题： (1)用含x的代数式表示： ①每个瓷盘的实际利润是______元； ②实际的销售量是______个； (2)为了赚得10000元的利润而义尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少元？ 【答案】(1)①； (2)元 【分析】此题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用，正确得出函数关系式是解题关键． （1）①根据售价进价利润，进而得出答案；②销量减少的销量实际销量进而得出答案； （2）利用总利润，进而得出方程求出答案； 【详解】（1）解：①依题意，设艺术瓷盘每个涨价x元（x为整数），进货单价为30元的艺术瓷盘按40元售出 ∴每个磁盘的实际利润是：（元）； ②∵进货单价为30元的艺术瓷盘按40元售出时，就能卖出600个瓷盘，经预测这种瓷盘每个涨价1元，其销售量就减少10个 ∴实际的销售量是：个； （2）解：设瓷盘每个涨价元能赚得元的利润， 依题意得：， 解得：， 当涨价元时，则实际售价为（元）， 当涨价元时，则实际售价为（元）， 尽量兼顾顾客的利益应定为每个艺术瓷盘为元； 【例题11】工程问题（列分式方程解应用题） 【★例题11】（2025·云南·模拟预测）随着“碳中和”理念普及，校园旧物回收活动愈发火热．某校初三（1）班学生利用课余时间整理可回收废品，发现改进分类方法后，工作效率大幅提高．已知该班同学改进前整理60千克废品所用的时间，与改进后整理90千克废品所用的时间相同，且改进后每小时比改进前多整理15千克废品．请问该班同学改进前每小时整理多少千克废品？ 【答案】该班同学改进前每小时整理千克废品 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据改进前整理60千克废品所用的时间，与改进后整理90千克废品所用的时间相同，且改进后每小时比改进前多整理15千克废品，进行列分式方程，再解得，即可作答． 【详解】解：依题意，设该班同学改进前每小时整理千克废品， ∵改进后每小时比改进前多整理15千克废品． ∴改进后每小时整理千克废品， 依题意，得 解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴该班同学改进前每小时整理千克废品． 【★变式1】（2025·上海·模拟预测）假设有一项工程总量为1，甲独做需10天完成，乙独做需6天完成． 现由甲先做3天乙再加入合作，完成此项工程共需天，对于列方程错误的说法是（　　） A．甲的工作效率为 B．乙总共做了天 C．列方程 D．列方程 【答案】C 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，掌握“利用各部分的工作量之和等于1列方程”是解本题的关键.先得出甲的工作效率为，设完成此项工程需天，则乙总共做了天，甲先做3天完成， 再合作天，完成， 据此列出方程即可. 【详解】解：∵假设有一项工程总量为1，甲独做需10天完成， ∴甲的工作效率为， 故A选项不符合题意； ∵现由甲先做3天乙再加入合作，完成此项工程共需天， ∴乙总共做了天 故B选项不符合题意； 设完成此项工程需天，甲先做3天完成再合作天，完成 由题意得方程：， 故C选项符合题意；D选项不符合题意； 故选：C. 【★变式2】（2025·宁夏吴忠·三模）“为美化校园，某校安排甲、乙两人种植花苗，已知甲种植40棵花苗所用时间是乙种植15棵花苗所用时间的2倍……，求甲、乙两人每小时各种植多少棵花苗．设甲每小时种植x棵花苗，则可得方程 根据此情景，题中用“……”表示的缺失的条件应为 ． 【答案】乙每小时种植花苗的棵数比甲多2棵 【分析】本题考查了分式方程的应用；根据方程知，乙每小时种植棵花苗，则乙每小时种植花苗的棵数比甲多2棵，因此可补上缺失的条件． 【详解】解：由方程知，乙每小时种植棵花苗，则乙每小时种植花苗的棵数比甲多2棵， 故应补上条件：乙每小时种植花苗的棵数比甲多2棵； 故答案为：乙每小时种植花苗的棵数比甲多2棵． 【★变式3】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，某公路局施工队要修建一条公路，已知点周围米范围内为古建筑保护群，在上的点处测得在的北偏东方向上，从A向东走米到达处，测得在点的北偏西方向上．（参考数据：，） (1)是否穿过古建筑保护群？为什么？ (2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高，则原计划每天完成修建多少米公路？ 【答案】(1)不能穿过，理由见解析 (2)米 【分析】本题考查了分式方程的工程问题，方位角问题(解直角三角形的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）设，先分别求得，，再利用解直角三角形求得 ，再根据列出关于的方程求解，通过比较，再得出结论； （2）设原计划每天完成修建a米公路，根据题意列出分式方程求解． 【详解】（1）解：不能穿过，理由如下： 如图，过作于， 设， ，，，， ，， 在中，， 在中，， ， ， ， 解得：(米)(米)， 不会穿过古建筑保护群； （2）设原计划每天完成修建a米公路， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， 答：原计划每天完成修建米公路． 【题型12】行程问题（列分式方程解应用题） 【★例题12】（23-24八年级上·山东滨州·期末）列分式方程解应用题： 刘峰和李明相约周末去野生动物园游玩，根据他们的谈话内容，求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米? 【答案】李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时分别行千米、千米 【分析】本题考查分式方程的应用，根据“路程速度时间”这一等量关系，列出方程解决即可． 【详解】解：设刘峰骑自行车每小时行x千米，则李明乘公交车每小时行千米． 由题意得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 所以． 答：李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时分别行60千米、千米． 10．（2025·山西太原·二模）年低空经济的核心产业（电动垂直起降飞行器）发展火热，其核心技术在于电动化，与燃油直升机相比，大大节约了飞行成本．经过对某款飞行器和燃油直升机对比调查发现飞行器平均每公里航程能源成本是燃油直升机的倍，且飞行器充电费元比燃油直升机燃油费元飞行航程多公里，那么飞行器平均每公里航程的能源成本为多少元？ 【答案】元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，首先设燃油直升机平均每公里航程的飞行成本为元，则飞行器平均每公里航程的能源成本为元，根据飞行器充电费元比燃油直升机燃油费元飞行航程多公里，列分式方程求解即可． 【详解】解：设燃油直升机平均每公里航程的飞行成本为元，则飞行器平均每公里航程的能源成本为元， 根据题意可得：， 解方程得：， 经检验，是分式方程的解， 则， 答：飞行器平均每公里航程的能源成本为元． 【★变式1】（2026·新疆阿克苏·模拟预测）甲、乙两人沿着阿克苏湿地公园总长度为的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设乙的速度为，则甲的速度为，根据时间路程速度结合甲比乙提前12分钟走完全程，即可得出关于x的分式方程，此题得解，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：12分钟， 设乙的速度为，则甲的速度为， 根据题意，得：． 故选：D． 【★变式2】（2025·山东德州·模拟预测）为响应政府“绿色出行”的号召，小张上班由自驾车改为骑自行车．已知小张家距上班地点千米，他骑自行车比自驾车平均每小时少行驶千米，他从家出发到上班地点，骑自行车所用的时间比自驾车所用的时间多小时．设小张骑自行车上班平均每小时行驶千米，那么可列方程为 ． 【答案】 【分析】首先设小张骑自行车上班平均每小时行驶千米，根据题意可得等量关系：骑自行车所用的时间自驾车所用的时间，根据等量关系，列出方程． 此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程． 【详解】解：根据题意列方程得： ， 故答案为：． 【题型13】经济问题（列分式方程解应用题） 【★例题13】（2022·广东中山·三模）某超市销售两款保温杯，已知款保温杯的销售单价比款保温杯多10元，用1200元购买款保温杯的数量与用960元购买款保温杯的数量相同． (1)、两款保温杯销售单价各是多少元？ (2)由于需求量大，、两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且款保温杯的数量不少于款保温杯数量的一半，款保温杯的进价为每个30元，款保温杯的进价为每个35元，若两款保温杯的销售单价不变，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)款保温杯销售单价是40元，款保温杯销售单价是50元； (2)购进款保温杯40个，款保温杯80个，最大利润是1600元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设款保温杯销售单价是元，则款保温杯销售单价是元，根据用1200元购买款保温杯的数量与用960元购买款保温杯的数量相同，进行列式计算，即可作答． （2）先理解款保温杯的数量不少于款保温杯数量的一半，得出，解得，因为款保温杯的进价为每个30元，款保温杯的进价为每个35元，进行列式化简得，结合一次函数的性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：设款保温杯销售单价是元，则款保温杯销售单价是元， 依题意，得 解得， 经检验，是原方程的解， ∴（元） 答：款保温杯销售单价是40元，款保温杯销售单价是50元； （2）解：设这批保温杯的销售利润是元，购进款保温杯个，则购进款保温杯个， 款保温杯的数量不少于款保温杯数量的一半， ． 解得， 依题意，得． ， 随的增大而减小． 时，取最大值，最大值是（元）． 此时， 答：购进款保温杯40个，款保温杯80个，才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是1600元． 【★变式1】（2025·广东广州·三模）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心，发射成功，某火箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型，已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型比“神舟”模型多2个，设“天宫”模型单价为元，则可以列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查分式方程在实际问题中的运用，理解题目中的数量关系，正确列出方程是解题的关键．设“天宫”模型单价为元，则“神舟”模型为元，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设“天宫”模型单价为元，则“神舟”模型为元，根据题意得， 故选：D． 【★变式2】（2024·山东东营·中考真题）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少．设该市去年居民用水价格为，则可列分式方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设该市去年居民用水价格为，则今年居民用水价格为，根据小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少，列出方程即可． 【详解】解：设该市去年居民用水价格为，则今年居民用水价格为，根据题意得： ． 故答案为：． （二）拓展培优 【题型 14】解可化为一元二次方程的分式方程 【★★例题14】（2024九年级下·广东茂名·竞赛）解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、解分式方程、完全平方公式等知识点，利用完全平方公式把方程变形是解题的关键． 先把原方程变为，设，则，解出方程可得或，即可求解． 【详解】解：原方程变为， 设，则， 解得：或，         由 即， 解得， 由 即，此方程无解； 经检验：是原方程的解； 综上所述，原方程的解为． 【★★变式1】（25-26八年级上·广西崇左·月考）用换元法解方程时，若设，则可得到整式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程（化为一元二次），解题关键是掌握解分式方程解法． 通过换元法，设，将原分式方程转化为关于y的整式方程． 【详解】解：∵设， ∴， 原方程化为，即， 两边乘以y得， 移项得． ∴整式方程为， 故选：A． 【★★变式2】（上海市奉贤区2025-2026学年上学期八年级数学期末卷（1月））方程的根是 ． 【答案】和 【分析】本题考查分式方程的解法，关键是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验解是否使原分母不为零． 【详解】解：方程两边同乘，得， 展开得， 移项合并同类项得， 因式分解得，解得或； 检验：当时，，当时，， 故原方程的根为和． 故答案为：和． 【★★变式3】（25-26八年级上·甘肃平凉·期末）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)无解 (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程（化为一元二次），解分式方程（化为一元一次）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先去分母，化为一元二次方程，再计算判别式，根据根的情况再求解即可； （2）先去分母，化为一元一次方程，再求出方程的根后验根． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 即， ， 无实数根， 故原分式方程无解； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 即， 经检验是原方程的增根， 故原分式方程无解． 【题型 15】复杂代数式求值 【★★例题15】（2025·四川南充·一模）若m，n是方程的两个不相等的实数根，则的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用二次方程根与系数的关系，得到 和，并将表达式中的 转化为，从而简化原式． 【详解】解： m，n 是方程 的两个根， ，， ， ， 故选：A． 【★★变式1】（2025·福建·中考真题）设，是方程的两个根，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根的概念和根与系数的关系，将高次项降次后代入求值 【详解】解：， 是方程 的根， ， ，， ， ． 故答案为： ． 【★★变式2】（2025·湖南湘西·模拟预测）若实数a，b满足，，则的值为（    ） A． B．或20 C．2或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，关键是把a、b看作是方程的解，然后根据根与系数的关系解题．分两种情况：当时，直接计算表达式；当时，将a和b视为方程的两个根，利用根与系数关系求和，再化简表达式即可． 【详解】解：①当时： ∵a和b满足，且（因为代入得）， ∴原式； ②当时： ∵a和b是方程的两个根， ∴，， 原式， ∵， ∴分子，分母， ∴原式， 综上所述，原式的值为2或． 故选：C． 【★★变式3】（23-24八年级下·江西赣州·月考）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根为，则 ． 【答案】 【分析】由根与系数的关系得，，所以，则，然后代入即可求解． 【详解】由根与系数的关系得，， 所以， 则， 则 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求值． 【题型 16】含参数代数式配方求最值填空题 【★★例题16】（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）若，满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】已知等式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出，的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：已知等式变形得：， 即， ∵，， ∴，， 解得：，， 则． 故答案为：． 【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【★★变式1】（2025·河北·模拟预测）张伟计划用家里现有的篱笆围建一个矩形羊圈．他计算了一下，如果把10米长的墙作为所围的矩形的一边，则这个矩形的面积是单纯利用篱笆围成的最大矩形面积的2倍．张伟家里现有的篱笆总共长度是（    ） A．20米 B．24米 C．28米 D．32米 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程与几何综合，设现有的篱笆总共长度是米，分别表示出两个矩形的面积，然后列方程求解即可． 【详解】解：设现有的篱笆总共长度是米， ∴把10米长的墙作为所围的矩形的一边，这个矩形的另一边长为，面积为； 设单纯利用篱笆围成的矩形一边长为米，则矩形的另一边长为，面积为， ∴当时，单纯利用篱笆围成的最大矩形面积为， ∴， 解得， 故选：A． 【★★变式2】（2023·北京·一模） 如图，点A的坐标为(1，0)，点B在直线y=－x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为 （ ） A．（0，0） B．（－，） C．（，－） D．（，－） 【答案】D 【详解】∵B在直线y=-x上，∴设B坐标为（a，-a）， 则 所以，当 a=即B（，）时，AB最短,故选D. 【★★变式3】（2024·江苏扬州·一模）在数学课上，老师要求同学们将一个关于字母的二次三项式（、是常数）配成（是常数）的形式，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的运用，二次函数的性质．根据题意得到，先将配方得到，由，进而得到，即可得到，再根据二次函数的性质，求最值即可． 【详解】解：是关于字母的二次三项式， ， ， ， ， ， ， 当时，有最小值，最小值为， 故答案为：． 【题型 17】增根与无解问题 【★★例题17】（25-26八年级上·山东聊城·期中）若关于的方程无解，则的值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，注意方程无解的情况有两种：一是化简后得到矛盾等式；二是解出的根为增根（使分母为零）．将分式方程先化简，得到，分和 两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：移项得：，即， 情况一：当 时，方程变为 ， 分子为，分母不为零时值不可能为零， 方程无解； 情况二：当 时， 方程两边同乘以 得，， 整理得， ， 若此解为增根，则增根为， 令，即，解得； 综上，方程无解时 或 ． 【★★变式1】（24-25八年级上·湖南怀化·期中）关于的分式方程有增根，则它的增根是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根，理解产生增根的原因是解题的关键． 先去分母，然后把分母为0的值代入整式方程，可求的值，则有增根，整式方程不成立，则没有增根． 【详解】解：， 方程两边都乘以去分母得： ， ∵关于的分式方程有增根， ∴或， 当时，， 解得， ∴当时有增根， 当时，不成立， ∴分式方程只有一个增根， 故选择：． 【★★变式2】（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）若关于x的分式方程无解，则满足条件的k值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程无解，理解分式方程无解的含义是解题的关键． 分式方程无解的情况有两种：一是化简后的整式方程无解；二是整式方程的解是增根（使原方程分母为零），分别求解即可． 【详解】解：方程两边同时乘以最简公分母 ，得： 整理得： 移项得： 当 即 时， 方程左边为 ，右边为 ，即 ，矛盾，整式方程无解，故原分式方程无解， 当 时，， 若解为增根，则 或 ， 当 时，，解得 ，即 ，得 ，不成立，无解， 当 时，，解得 ，即 ，整理得 ，所以 ，此时解为增根，故原方程无解， 综上，满足条件的 值为 或 ． 故答案为： 或 ． 【★★变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知关于x的分式方程，若方程的解为，则 ；若方程有增根，则增根为 ， ；若方程的解是正数，则m的取值范围是 ． 【答案】 且 【分析】本题考查了分式解的情况求参数，掌握分式方程无解的情况是解题关键．先将分式方程化为整式方程，求出，再根据根式方程解的情况分别求解即可． 【详解】解：将分式方程化为整式方程， 解得： 若方程的解为，则 解得：； 若方程有增根，则， 即增根为， 此时， 解得：； 若方程的解是正数，则，且， ，且， 即m的取值范围是且， 故答案为：；；；且． 【题型 18】已知分式方程解的情况求参 【★★例题18】（25-26八年级上·四川南充·期末）已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的求解及根据方程解的情况确定参数的取值范围，先将分式方程化为同分母形式，转化为整式方程求解x关于k的表达式，再根据解为正数和分母不为零的条件列不等式求k的取值范围． 【详解】解：∵方程， 又∵， ∴， ∴原方程化为， 左边合并：，即， 两边同乘得：， 解得， ∵解为正数， ∴，即， ∴， 又∵分母， ∴，即， ∴， 综上，且， 故选：D． 【★★变式1】（2024·黑龙江·一模）如果关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数m的和为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则，求得m的取值范围是解本题的关键． 根据已知不等式的解集确定出m的范围，再由分式方程解为正数，确定出m的范围，进而确定出满足题意整数m的值，求出之和即可． 【详解】解：不等式组整理得， 不等式组的解集为， ， 分式方程去分母，得：， 解得：， 分式方程的解为正数， ，且， 解得：且， 且， 符合条件的整数m的值有0，1，3，4这4个， 这4个整数的和为8， 故选：C． 【★★变式2】（2023·湖南长沙·模拟预测）若关于x的分式方程的解是负数，则字母m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程的一般步骤：一化整式方程，二解整式方程，一元一次不等式与实际问题，理解分式方程的解的意义是解题的关键． 根据解分式方程的一般步骤解出方程，再根据题意列出不等式，解不等式即可． 【详解】解： ， 根据分式方程的解为负数得， ， 解得， 当时无意义，即， 解得， 综上，且， 故答案为：且． 【★★变式3】（2025·四川达州·三模）如果关于x的不等式组至多有2个整数解，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式和分式方程，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的一般步骤． 先解于的不等式组，根据不等式组有解且至多有2个整数解，求出的取值范围，再解关于的分式方程，根据分式方程的解为整数且分母不能为0，列出关于的方程，解方程求出，再找出符合条件的的值，并求出它们的和即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ， 关于的不等式组有解且至多有2个整数解， ∴， 解得：， ∵ ∴ ∵关于y的分式方程的解为非负数， ∴且 ∴且 ∴且 ∵a为整数 ∴ ∴整数a的和为． 故答案为：． 【题型 19】一元二次方程、分式方程与一次函数、反比例函数综合 【★★例题20】（2024·河北·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，若将一次函数的图象向上平移个单位长度，与反比例函数图象的一个交点为M，已知点M的纵坐标为． （1）k的值为 ． （2）连接，，则的面积为 ． （3）当时，x的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查的反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征、函数与不等式的关系． （1）先求出平移后的一次函数解析式，然后把M的纵坐标代入，求出M的坐标，最后由待定系数法即可求解； （2）联立方程组，求出A、B的坐标，由，即可求解； （3）观察函数图象即可求解． 【详解】解：（1）一次函数的图象向上平移个单位长度，新函数解析式为， 将代入，解得， ∴， 把代入，得， 解得， 故答案为：； （2）由（1）知， 设直线与y轴相交于点C， 当时，， ∴， ∴， 联立方程组，解得或， ∴，， ∴ ， 故答案为：8； （3）由图象知，当时，x的取值范围是或， 故答案为：或． 【★★变式1】（24-25九年级下·河南·开学考试）当时，一次函数最大值4，则实数m的值为（   ） A．或0 B．0或1 C．或 D．或1 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，以及解一元二次方程，分两种情况，当时和当，根据一次函数性质列出关于m的一元二次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：当即时，一次函数y随x的增大而增大， ∴当时，， 即， 整理得： 解得：或（舍去） 当即时，一次函数y随x的增大而减小， ∴当时，， 即， 整理得： 解得：或（舍去） 综上，或， 故选：A． 【★★变式2】（2025·江苏扬州·三模）已知点A是反比例函数图像上的一点，点是点A关于y轴的对称点，当为直角三角形时，点A的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数问题，关键是根据反比例函数图象上点的坐标特征解答．根据反比例函数的解析式和点在函数的图象上可求出点与点，由于为直角三角形解答即可． 【详解】解：如图： 点是点关于轴的对称点， ∴，， 轴； 因为为直角三角形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 因为点是反比例函数图象上的一点，设点坐标为，点的坐标为， 可得：， 解并检验得，（不合题意舍去） 所以点的坐标为， 故答案为：． 【★★变式3】（2025·广东湛江·二模）反比例函数在第一象限的图象如图所示，过点作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点M，的面积为2． (1)求反比例函数的解析式； (2)设点B的坐标为，其中．若以为一边的正方形有一个顶点在反比例函数的图象上，求t的值． 【答案】(1)； (2)4或． 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的图象和性质等知识．关键在于结合图形找点的坐标． （1）根据的面积为2，可求出点的坐标，即可求解． （2）分情况讨论即可． 【详解】（1）解：的面积为2，反比例函数的图象经过第一象限， ， ， 反比例函数的表达式为． （2）解：设正方形为， 当顶点在反比例函数的图象上时，点与点重合，即． 把代入，得， 点的坐标为， ， ； 当顶点在反比例函数的图象上时，， 点的坐标为， ． 整理，得， 解得，（舍去）， 综上所述，的值为4或． 三.中考真题专练 （一）单选题（10题） 1．（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A 2．（2025·湖南·中考真题）将分式方程去分母后得到的整式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． 将分式方程两边同时乘以最简公分母，消去分母，转化为整式方程． 【详解】解：． 方程两边同时乘以，得：． 故选：A． 3．（2025·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程，首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于的表达式，再结合解为负数及分母不为零的条件确定的范围． 【详解】解：， 得， 得， 解得：， 根据题意，解， 即， 解得：， 分母， 即， 即， 解得：， ， 故选：A． 4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．且 【答案】C 【分析】本题考查分式方程无解，分式方程无解的情况有两种：解为增根或变形后整式方程无解．需将原方程化简，分别讨论这两种情况对应的m值即可． 【详解】解：方程去分母，得：， 整理，得：； ∵原方程无解， ∴①整式方程无解，则：，解得：； ②分式方程有增根，则：，解得：； 把代入，得：，解得：； 综上：或 故选C． 5．（2025·四川广元·中考真题）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程在几何图形面积问题中的应用，解题的关键是根据花卉带宽度相同的条件，正确表示出中间草坪的长和宽，再结合草坪面积与总面积的关系列出方程． 确定矩形总面积：矩形地面长、宽总面积为分析草坪的长和宽：花卉带宽度为且在四周，因此草坪的长需减去左右两侧花卉带宽度（共即草坪的宽需减去上下两侧花卉带宽度（共即列面积关系方程：草坪面积为且等于总面积的，由此确定方程形式． 【详解】解：根据题意，矩形地面的总面积为，草坪面积为总面积的，即草坪面积为． ∵花卉带宽度为，且分布在矩形四周， ∴中间草坪的长应等于原矩形的长减去左右两侧花卉带的总宽度（每侧宽即 草坪的宽应等于原矩形的宽减去上下两侧花卉带的总宽度（每侧宽即． 因此，草坪的面积可表示为结合面积关系可列方程： 故选：D． 6．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 【答案】B 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，解分式方程，先解不等式组，确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后求和即可． 【详解】解： 解①得： 解②得：， ∵关于x的不等式组至少有两个正整数解 ∴不等式组的解集为． ∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数． 当时，解集包含， 此时． 分式方程化简为：， 解得． 要求解为正整数且，则为大于等于2的整数， 即为大于等于6的偶数． ∵， ∴或8， 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 则所有满足条件的整数之和为， 故选：B． 7．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，将，代入变形后的式子求解即可． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：C． 8．（2025·陕西·中考真题）已知二次函数，当时，的值随值的增大而减小，则下列结论正确的是（    ） A． B．该函数图象的顶点位于第四象限 C．方程没有实数根 D．该函数的最大值不小于 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与x轴的交点问题，与y轴的交点问题，顶点坐标，根据当时，的值随值的增大而减小，得出，对称轴为直线，故，即，再分析函数图象的顶点，得出，又因为，故该函数图象的顶点位于第二象限或轴上，则该函数的最大值不小于，再分析，得出，即可作答． 【详解】解：∵二次函数，当时，的值随值的增大而减小， ∴，对称轴为直线， 则， ∵， 即， ∴， 故A选项不符合题意； 该函数图象的顶点为，即， ∵， ∵ ∵， ∴， ∴ ∵， ∴该函数图象的顶点位于第二象限或轴上， 故B选项不符合题意； 当该函数图象的顶点位于轴上， 令，则， ∵ ∴该函数的最大值为， 当该函数图象的顶点位于第二象限， 此时该函数的最大值大于， 综上该函数的最大值不小于， 故D选项符合题意； 依题意，中的， ∵， ∴， 即 ∴方程有两个不相等的实数根 故C选项不符合题意； 故选：D 9．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为，，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定与性质的综合运用，解一元二次方程，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键； 过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N， 由等腰三角形的判定与性质得出，证出由证明，得出，，即可得出B点坐标，代入反比例函数，得到一元二次方程，解方程求解即可． 【详解】解：过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，如图所示： 则， ∴四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， ， 把代入反比例函数的解析式得， ， 双曲线图象在第二象限， ， ，， ，，， ， ，， ， ， 双曲线经过B，则, ， 解得：（舍），， 故选D． 10．（2025·天津·中考真题）四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要查了二次函数的性质，一元二次方程的应用．当时，点M在上，求出，可判断①；当时，点M在上，利用三角形面积公式求出的面积，利用二次函数的性质，可判断②；分两种情况：当点M在上时，点M在上，结合的面积为，列出方程，可判断③． 【详解】解：根据题意得：点M在上的运动时间为，点M在上的运动时间为，点N在上的运动时间为， ①当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴，故①正确； ②当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随t的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 即当时，的最大面积为，故②错误； ③当点M在上时， ∵的面积为， ∴， 解得：（舍去）， ∴当时，的面积为； 当点M在上时， ∵，， ∴，即， 此时， 解得：， ∴当时，的面积为； ∴有两个不同的值满足的面积为，故③正确． 故选：C （二）填空题（6题） 11．（2025·江苏徐州·中考真题）分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是将分式方程化为整式方程求解，最后要检验所得的根是否为增根．通过交叉相乘将分式方程化为整式方程，然后解整式方程，最后检验所得的根． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项：， ∴， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 故答案为：． 12．（2025·四川绵阳·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为 ． 【答案】 5 【分析】本题考查一元二次方程的解，理解方程的解的含义是解题关键． 将方程的根代入原方程中，得到关于a的方程，解这个关于a的方程即可． 【详解】解：将 代入方程 ，得 ，即 ， 解得 ． 故答案为：5． 13．（2025·青海西宁·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，结合一元二次方程的二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴且， ∴k的值可以为（答案不唯一）； 故答案为：（答案不唯一）． 14．（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查解一元二次方程，估算无理数的大小，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用配方法解出的方程后利用夹逼法求得正根在哪两个连续整数之间即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得，， ， ， ， 则， 故答案为：2． 15．（2025·四川成都·中考真题）从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，树状图法或列表法求解概率，根据判别式和一元二次方程的定义可得，则且，再列出表格得到所有等可能性的结果数，接着找到且的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 列表如下： 1 2 1 2 由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中满足且的结果数有，，，共3种， ∴关于x的一元二次方程有实数根的概率为， 故答案为：． 16．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：如果一元二次方程的两根为，，则． 根据根与系数的关系和方程的解得到，，，代入，并再将原式化简为，即可求解． 【详解】解：∵方程的两个根分别是， ∴，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． （三）解答题（4题） 17．（2025·广东·中考真题）在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 【答案】见解析 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时要注意不要漏乘，解完后要检验． 先去分母，化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后进行检验即可． 【详解】解：第一步是去分母，去分母的依据是：等式两边同时乘以一个不为0的数（或式子），等式仍然成立； 小李的解答过程不正确，正确解答如下： ， ， 解得：， 经检验，是增根， ∴原方程无解． 18．（2025·山东威海·中考真题）（1）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上； （2）解分式方程． 【答案】（1），数轴表示见解析；（2） 【分析】本题考查了一元一次不等式组和分式方程的解法，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的方法是解题的关键； （1）先求得不等式组中每个不等式的解集，再取其解集的公共部分即得不等式组的解集，进而在数轴上表示解集即可； （2）分式方程去分母化为整式方程，求得整式方程的解后再检验即得答案． 【详解】解：（1）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 不等式组的解集在数轴上表示为： （2） 去分母，得， 解得：， 经检验：是原方程的解， 所以原方程的解是． 19．（2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及m的值． (2)求证：． 【答案】(1)，； (2)详见解析． 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，方程的解，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． （）把代入方程求出，然后再解一元二次方程即可； （）利用根的判别式，根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：把代入方程得， ∴ ， ∴，即， 解方程得，，， 故，； （2）证明：方程可化为， ∵， ∴原方程有两个不相同实数根， 由根与系数的关系得，， ∵， ∵， ∴． 20．（2025·重庆·中考真题）列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． (1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ (2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 【答案】(1)该厂每天生产的甲文创产品数量为个，乙文创产品数量是个 (2)每天乙文创产品增加的数量是个 【分析】本题考查一元一次方程和分式方程的应用，正确理解题意，根据等量关系列方程是解题的关键． （1）设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，根据题意列一元一次方程解答即可； （2）设该厂每天乙文创产品增加的数量是个，根据“生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天”列分式方程解答即可． 【详解】（1）解：设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，则甲文创产品数量为个． ， 解得：， 则甲文创产品数量为个， 答：该厂每天生产的乙文创产品数量是个，则甲文创产品数量为个． （2）解：设每天乙文创产品增加的数量是个，则甲文创产品增加的数量是个． ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 答：每天乙文创产品增加的数量是个． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $