精品解析：安徽省合肥市2025-2026学年高二上学期数学期末测试卷

安徽省合肥市2025-2026学年高二上学期数学期末测试 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知直线l过、两点,则直线l的倾斜角的大小为（ ） A. 不存在 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两点,求出的直线方程,进而可求倾斜角大小. 【详解】解:由题知直线l过、两点, 所以直线的方程为, 故倾斜角为. 故选:C 2. 已知空间向量，，，若，，共面，则实数m的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据共面向量定理结合题意设，然后将向量的坐标代入列方程可求得结果. 【详解】由题意得，，即， 所以，解得. 故选：D. 3. 已知两平行直线，的距离为，则m的值为（ ） A. 0或-10 B. 0或-20 C. 15或-25 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】化简直线方程得：，利用两条平行线间的距离公式计算可得. 【详解】化简得：， 两平行直线，的距离为： ， ， 或， 故选：B. 【点睛】此题考两条平行线间的距离公式，关键是化简直线方程，使两个直线方程x，y的对应系数相同，属于简单题. 4. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点在圆外以及圆的一般式满足的系数关系即可列不等式求解. 【详解】由于点在圆的外部，故 ，解得， 故选：C 5. 在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，点是正方形的中心，则的值为（ ） A. 不确定 B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算即可求解. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系， 则,0,，,2,，， ,1,， ． 故选：D． 6. 已知椭圆C：（且），直线与椭圆C相交于A，B两点，若是线段的中点，则椭圆的焦距为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点差法求解中点弦问题求解即可. 【详解】设，，则， 将A，B的坐标代入椭圆方程得：，， 两式相减，得：， 变形为， 又直线的斜率为，所以，即， 因此椭圆的焦距为， 故选：B. 7. 台风中心从地以每小时的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（ ） A. 1小时 B. 小时 C. 小时 D. 2小时 【答案】B 【解析】 【分析】建立直角坐标系，数形结合求直线与圆相交的弦长，进而可得城市处于危险区内的时长. 【详解】 如图所示，以点为坐标原点建立直角坐标系，则， 以为圆心，为半径作圆， 则圆的方程为， 当台风进入圆内，则城市处于危险区， 又台风的运动轨迹为， 设直线与圆的交点为，， 圆心到直线的距离， 则， 所以时间， 故选：B. 8. 已知点P在椭圆C：上（点P不是椭圆的顶点），，分别为椭圆C的左、右焦点，交y轴于点G，且，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，结合椭圆上点到同侧焦点和准线的距离比为离心率得，根据角平分线的性质有，列方程求，即可得结果. 【详解】根据对称，不妨设，. 由题意得，，，，则离心率， 左准线方程为，所以， 因为，所以由角平分线定理得， 即，解得，所以. 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，，若，的夹角是钝角，则的可能取值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意分析得，再去除共线的情况即可. 【详解】由题意得，再去掉其共线反方向的情况， 则，解得，当，共线时，解得， 故且，对照选项知AC正确，BD错误. 故选：AC. 10. 已知椭圆C：的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是A，B，M是椭圆C上的一个动点（不与A，B重合），则（ ） A. 离心率 B. 的周长与点M的位置无关 C. D. 直线与直线的斜率之积为定值 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆方程得到、、，即可求出离心率，从而判断A，根据椭圆的定义判断B，根据椭圆的性质判断C，设，表示出斜率，即可判断D. 【详解】因为椭圆C：，则，，，则离心率，故A错误； ∵M是椭圆C上的动点（不与A，B重合）， ∴，故B正确； 因为，即，故C正确； 不妨设，，，则， 所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知点在圆：上，点是直线：上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，又设直线分别交，轴于，两点，则（ ） A. 的最小值为 B. 直线必过定点 C. 满足的点有两个 D. 过点作圆的切线，切线方程为或 【答案】BCD 【解析】 【分析】A：将问题转化为求的最小值，由此可解；B：根据是以为直径的圆与圆相交所得到的公共弦，由此求出方程并分析是否过定点；C：分析以为直径的圆与圆的位置关系，由此可判断结果；D：设出切线方程，根据相切时圆心到直线的距离等于半径求解出结果. 【详解】A：因为，当最小时，取最小值， 取最小值时即为到直线的距离，所以最小值为， 所以的最小值为，故A错误； B：设，，所以中点坐标为，， 以为直径的圆的方程为， 又圆，两圆方程相减可得， 即为 令，解得， 所以公共弦所在直线过定点，故B正确； 对于C：对于， 令，则，所以， 令，则，所以， 所以中点的坐标为，， 故以为直径的圆的方程为， 又因为，且， 所以圆与圆相交，所以满足的点有两个，故C正确； 对于D：如图所示，不妨设切线方程为，即， 因为与圆相切，所以，所以，解得， 所以切线方程为或，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题：（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知圆C过，两点，且圆心C在直线上，则该圆的半径为_________. 【答案】 【解析】 【分析】求得线段垂直平分线方程并与直线可得圆心为，即可得半径为. 【详解】由题意得的中点为，， 则线段的垂直平分线为，即， 联立，解得，即圆心， 所以该圆的半径为. 故答案为： 13. 直线过点，且与以、为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】作出图形，求出、，观察直线与线段的交点运动的过程中，直线的倾斜角的变化，可得出直线的取值范围. 【详解】如下图所示：设过点且与轴垂直的直线交线段于点，设直线的斜率为， 且，， 当点从点移动到点（不包括点）的过程中，直线的倾斜角为锐角， 此时，； 当点从点（不包括点）移动到点的过程中，直线的倾斜角为钝角， 此时，. 综上所述，直线的斜率的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知椭圆：，，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件列方程，求得的取值范围，由此列不等式，由此求得离心率的取值范围. 【详解】，即， ， 当且仅当时等号成立. ， 由于，所以当或时， 有最小值为， 所以，则，即， 即，解得. 故答案为： 【点睛】关键点睛： 椭圆焦点和离心率的应用：通过利用椭圆的焦半径和离心率关系，结合椭圆上的点条件，推导出离心率的范围，这是解题的关键步骤. 不等式解的准确性：通过解不等式，得出离心率的范围，确保计算过程中的符号处理正确，是确保结论正确的关键. 四、解答题：（本题共5小题，共77分） 15. 已知直线过点，求满足下列条件的直线的方程. （1）与直线：垂直； （2）两坐标轴上截距相反. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）由两条直线垂直求出所求直线的斜率，再由点斜式求出直线方程即可； （2）分截距为零和截距不为零两大类进行讨论求解即可. 【小问1详解】 因为，，所以， 则直线的方程为，即. 【小问2详解】 当两坐标轴上截距为0时，设直线的方程为， 将代入，得，解得， ∴，即. 当两坐标轴上截距不为0时，设直线的方程为， 将代入，得，解得，∴，即. 综上，直线的方程为或. 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，分别为棱，的中点. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） ∵、分别为，的中点，∴， ∵为正方形， ∴，则 ， ∵平面，平面， ∴平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）构建空间直角坐标系，然后根据空间向量求解直线与法向量的夹角的余弦值即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题知平面，， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，， ∴，，， 设平面ADNM的一个法向量为， 则 令，则，， ∴. 设直线与平面所成的角为， ∴， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知过点的直线与圆O：相交于A，B两点. （1）若弦的长度为，求直线的方程； （2）在x轴正半轴上是否存在定点Q，无论直线如何运动，x轴都平分?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）或. （2）存在， 【解析】 【分析】（1）分斜率存在与否进行分析，结合弦长公式.列方程求解，可得答案； （2）分斜率存在与否进行分析，联立方程，利用韦达定理，结合斜率与倾斜角的关系，可得答案. 【小问1详解】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 不妨得，，则，与题意不符，舍去. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 由弦长公式得圆心到直线的距离为， 所以，解得， 故直线的方程为或. 【小问2详解】 当直线轴时，直线的方程为， 不妨得，，此时x轴平分. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，. 联立，得，， 所以，. 若x轴平分，则，即， 即，则，即， 解得. 综上，当点Q为时，能使得x轴平分恒成立. 18. 如图（1）所示中，，．分别为中点．将沿向平面上方翻折至图（2）所示的位置，使得．连接得到四棱锥．记的中点为，连接． （1）证明：平面； （2）点在线段上且，连接，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：取AB中点M，连接NM，CM． 则，即四边形AMCD为平行四边形， 所以， 又因为，所以， 由，，即， 又，，平面, 所以平面，又平面，故， 又因为，则， 又，平面 所以平面，又平面，所以， 又在中，且， 在中，且， 则，又为中点，所以， 又，平面,所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间中的垂直关系的转化，结合线面垂直的判定即可求证， （2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解平面的夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，，则， 即，又，， 故以为坐标原点，以所在直线x分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 故，，因为， 所以，， 设平面的法向量，平面的法向量， 则，取，解得， 易知平面，即， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 19. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，短轴长为4. （1）求E的标准方程； （2）过点的直线交E于P，Q两点，若以为直径的圆过E的右焦点，求直线的方程； （3）两条不同的直线，的交点为E的左焦点，直线，分别交E于点A，B和点C，D，点G，H分别是线段和的中点，，的斜率分别为，，且，求面积的最大值（O为坐标原点）. 【答案】（1） （2）或. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据离心率与短轴长，结合的关系式，建立方程组，可得答案； （2）分直线斜率是否存在进行分析，设出直线方程，联立方程，利用韦达定理与圆的性质，可得答案； （3）设出直线方程，联立方程，利用韦达定理，结合三角形面积公式，可得答案. 【小问1详解】 由题意得，，所以. 因为短轴长为4，所以，解得，所以， 所以E的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，. 当直线的斜率不存在时，则，， 此时以为直径的圆的圆心为，半径为，而， 则以为直径的圆不经过点，不符合题意，因此直线的斜率必存在. 设直线的方程为，，， 联立，消去y得，， ，且，. 因为以为直径的圆经过点，所以. 所以，即， 所以， 整理得， 即， 化简得，即， 即直线的方程为或. 【小问3详解】 由（1）知，，则直线的方程为，直线的方程为， 设，，，， 联立，消去得，， 由，所以， 所以，， 即，同理可得， 因为，所以，则， 记的中点为，则. 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的面积最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省合肥市2025-2026学年高二上学期数学期末测试 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知直线l过、两点,则直线l的倾斜角的大小为（ ） A. 不存在 B. C. D. 2. 已知空间向量，，，若，，共面，则实数m的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 3. 已知两平行直线，的距离为，则m的值为（ ） A. 0或-10 B. 0或-20 C. 15或-25 D. 0 4. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，点是正方形的中心，则的值为（ ） A. 不确定 B. 2 C. D. 4 6. 已知椭圆C：（且），直线与椭圆C相交于A，B两点，若是线段的中点，则椭圆的焦距为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 7. 台风中心从地以每小时的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（ ） A. 1小时 B. 小时 C. 小时 D. 2小时 8. 已知点P在椭圆C：上（点P不是椭圆的顶点），，分别为椭圆C的左、右焦点，交y轴于点G，且，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，，若，的夹角是钝角，则的可能取值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 10. 已知椭圆C：的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是A，B，M是椭圆C上的一个动点（不与A，B重合），则（ ） A. 离心率 B. 的周长与点M的位置无关 C. D. 直线与直线的斜率之积为定值 11. 已知点在圆：上，点是直线：上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，又设直线分别交，轴于，两点，则（ ） A. 的最小值为 B. 直线必过定点 C. 满足的点有两个 D. 过点作圆的切线，切线方程为或 三、填空题：（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知圆C过，两点，且圆心C在直线上，则该圆的半径为_________. 13. 直线过点，且与以、为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是__________． 14. 已知椭圆：，，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为_________. 四、解答题：（本题共5小题，共77分） 15. 已知直线过点，求满足下列条件的直线的方程. （1）与直线：垂直； （2）两坐标轴上截距相反. 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，分别为棱，的中点. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知过点的直线与圆O：相交于A，B两点. （1）若弦的长度为，求直线的方程； （2）在x轴正半轴上是否存在定点Q，无论直线如何运动，x轴都平分?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 18. 如图（1）所示中，，．分别为中点．将沿向平面上方翻折至图（2）所示的位置，使得．连接得到四棱锥．记的中点为，连接． （1）证明：平面； （2）点在线段上且，连接，求平面与平面的夹角的余弦值． 19. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，短轴长为4. （1）求E的标准方程； （2）过点的直线交E于P，Q两点，若以为直径的圆过E的右焦点，求直线的方程； （3）两条不同的直线，的交点为E的左焦点，直线，分别交E于点A，B和点C，D，点G，H分别是线段和的中点，，的斜率分别为，，且，求面积的最大值（O为坐标原点）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $