广东省广州市天河区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

九年级数学参考答案 说明： 1.本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，各题组可根据试题的主要 考查内容比照评分标准制订相应的评分细则， 2.对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续 部分的解答有较严重的错误，就不再给分！ 3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 一、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 2 3 5 6 7 8 9 10 答案 D D A C D B A B C 二、填空题（本题有6个小题， 每小题3分，共18分) 题号 11 12 13 14 15 16 答案 (-3,5) 60πcm2 y=-(x-7)2+4 16 2024 108° 注：第11题没写括号扣1分；第13题可以写成一般式y=一x2+14x一45；不写单位不扣分. 三、解答题 17.(本题满分4分) 解：x2-6x+8=0 法1： 法2： 法3： (x-3)2=1 …2分 (x-2)0x-4)=0…2分 △=(-6)2-4×8=4…1分 6±V46±2 x-3=±1 …3分 x-2=0或x一4=0…3分 x= …3分 2×12 x1=4,x2=2 …4分 x1=4,x2=2 …4分 x1=4,x2=2 …4分 (改编自课本第6页探究) 18.（本题满分4分)（改编自课本第60页例） 解：(1)如图即为所求…3分（画图正确即给满分） （2)B2的坐标为（一2，一4）， …4分 第18题图 1 19.(本题满分6分)（改编自课本第47页第4题） 解：(1)法1：，对称轴为x=2 -5=2,.m=-4. ，…2分 把（3,0)代入y=x2-4x+n得 0=32-4×3+n,∴.n=3 …3分 ∴.这条抛物线的解析式为y=x2一4x+3 …4分 法2：.对称轴为=2 .设抛物线的解析式为y=(x一2)+k. …2分 把（3,0)代入y=x-2)2+k得 0=(3-2)2+k,∴.=-1 …3分 ∴.这条抛物线的解析式为y=(x一2)2一1 …4分 法3：.对称轴为x=2,与x轴的其中一个交点为(3,0) ∴.与x轴的另一个交点为（1,0) …2分 ∴.y=(x-1)x-3) …3分 ∴.这条抛物线的解析式为y=x2-4x+3 …4分 (2)-1≤y≤3…6分 20.（本题满分6分)（改编自课本第140页第3题） 解：(1) 3…1分 (2)“种植”“陶艺”“木工”三门实践类课程分别记为A、B、C. 小河 A B C 小天 A (A,A) (B,A) (C,A) B (A,B) (B,B) (C,B) (A,C) (B,C) (C,C) (说明：此处可以画树状图，或者直接列出所有结果) …3分 由表可以看出，小天和小河从这三门课程中随机选择一门进行学习， 共有9种等可能结果， …4分 其中至少有一人选中“木工”的结果有5种， 即(A,C),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C). …5分 :P(至少有一人选中“木工)) …6分 21.（本题满分8分)（改编自课本第19页探究1） 解：(1)设每周使用云端错题本的学生人数的平均增长率为x …1分 由题知，200(1+x)2=242 …3分 2 解得，x1=0.1,x2=一2.1（舍) …5分 答：每周使用云端错题本的学生人数的平均增长率为10%： …6分 (2)242×(1+0.1)=266.2≈266（人）即第四周使用该工具的学生人数约为266人.…8分 22.(本题满分10分) (改编自课本第102页第12题) (1)连接OC ,AC平分∠BAD D .∠CAD=∠CAB …1分 又，OA=OC ∴.∠CAO=∠OCA …2分 ∴.∠CAD=∠OCA B .AD∥OC …3分 ∴.∠0CD=180°-∠D=90° .OC⊥CD …4分 又0C为半径 ∴.直线CD是⊙O的切线 …5分 (2)法1： 连接BE交OC于点F D ,AB为⊙O的直径 .:∠AEB=∠ACB=90° E .AD∥OC ∴.∠OFB=∠AEB=90° .∴.OC⊥BE …1分 ∴.EF=BF …2分 在Rt△4BC中，BC=VAB2-AC2=V102-82=6 设OF为x,则CF为5一x 52-x2=62-(5-x)}23分 解得，x1.4 …4分 又.'OA=OE ∴AE=20F=2.8 …5分 法2：连接BE交OC于点F ,AB为⊙O的直径 .:∠AEB=∠ACB=90° .AD∥OC D .∠OFB=∠AEB=90° ∴.OC⊥BE …1分 ..EF=BF …2分 过点C作CG⊥AB于点G B 1 1 :SAABC-5AC·BC=5CG·AB 2 2 24 ..CG= …3分 5 3 .OB=OC ∴.BF=CG= 24 …4分 BE-2BF-48 在Rt△ABE中，AE=√AB2-BE2 48 14 …5分 5 5 23.（本题满分10分)（改编自教师用书第103页目标检测设计第2题） (I)依题意得AB=DE=x,BC=FE=y,CD=x一y,…1分 得x+y+x-y+x+y=24（可用平移法求2x+x+y=24) 解得y=24-3x …3分 （2)则S=2AB·FE=2y=2x(24一3x)=48x一6x2 …3分 (3)法1：令S=90,则48x-6x2=90,即x2-8+15=0…1分 解得x1=3,x2-5 …2分 又.AB>BC ∴.x>24-3x,即x>6 …3分 ∴.花圃面积不能达到围成90平方米 …4分 (说明：只求出△>0不得分；把两组x和y值都求出，然后通过比较x和y的大小来得到 正确判断亦可得满分) 法2：S=48x-6x2=-6x-4)2+96 …1分 又：AB>BC ∴.x>24-3x 即x>6 …2分 .当x>6时，S随着x的增大而减少，且当x=6时，S=723分 ∴.S<72,即花圃面积不能达到围成90平方米…4分 24.（本题满分12分) （1)解：把(m,n)代入y=-x+4,得：n=-m+4,m+n=4...1分 故抛物线的对称轴为x=m+”=2 即点P横坐标为2 …2分 2 (2)y=x2-(m+n）x+mn=x2-4x+m(4-m) .1分 把(0,2)代入，得：m(4-m)=2, 解得m=2+√2，m,=2-√2 .3分 m≤n,即m≤4-m,m≤2 .4分 m的值应为2-√2 .5分 (2)①由已知可得：Mm,0),Nn,0),设点A坐标为a,(a-ma-m), AM解析式为y=ar+t,得：(a一m(a一n)=ak+t,0=mk+t, 解得：k=a一n,t=一m(a-n) ∴.AM解析式为y=(a-n)x-m(a一n) …2分 4 当x=0时，y=-m(a-n,∴.C0,-m(a-n》 ∴.OC=lm(a-nl …3分 .AB⊥x轴，B(a,O) ∴.BN=|a-nl M .OC=BN ∴.lm(a-n川=|a-nl…4分 ∴.a≠n ∴.lml=1 .m<0∴.m=-1 …5分 此题还可以拓展CD的中点T的与AE的中点K的坐标的最值：由①可得m=一1， n=4一m=5,故抛物线解析式为y=x2-4x-5,C(0,a一5)，设点E的横坐标为e,则同理 可得D0,e-5), 六00的中点坐标为02+0），联立r-松5与)=2功 得：x2-4x-5=2x+b, 整理可得：x2-6x-5-b=0,x=a和x=e是该方程的两个根， 故a+e=6, ∴.CD的中点T的坐标为(0，一2)为定点。AE的中点K的坐标为 a+e 2a+b+2e+b 、2 即(3,6+b),在直线x=3上运动，所以当TK与直线x=3垂直时， 2 TK=3最小，此时6+b=-2,解得：b=-8。 25.（本题满分为12分) (1)设CE=x,则CD=AD=2x, ∴.AE=BC=3x ,AB为直径， ∴.∠ACB=90° …1分 AC2十BC2=AB2, 即(4x)2+(3x)2=102 解得x=2, ∴.BC=3x=6 …2分 (2)法一：连接AG,作CH⊥BD,垂足为H,AI⊥EF,交EF延长线于点I .'∠DEF+∠CDB=∠CBD+∠CDB=9O° ∴.∠DEF=∠CBD …1分 又，'AE=BC,∠AIE=∠CHB=90° ∴.△EAI≌△BCH …2分 ∴.A=CH B AB为直径 .∠AGD=∠CHD=90° .'AD=CD,∠ADG=∠CDH 5 ∴.△ADG≌△CDH 3分 ..AG=CH ∴.AG=AI ∴.AF平分∠GFI …4分 ∴.∠GFA=45° ∴.∠AFB=135° …5分 法二：作△ADF的外接圆，交EF的延长线于K点，连接AK,DK ∴.∠DFK=90°，∴.∠DAK=90°=∠C 1分 ,'∠DEF+∠CDB=∠CBD+∠CDB=9O° ∴.∠DEF=∠CBD …2分 E G .AE=BC D ∴.△EAK≌△BCD …3分 ∴.AK=CD=AD B ∴.△ADK为等腰直角三角形 ∴.∠DFA=∠DKA=45° …4分 ∴.∠AFB=1359 …5分 (3)过C作BD的平行线，交AG延长线于M,则AG=MG 作ON⊥CM于N,交BG于P…1分 则OP⊥BG,四边形MGPN为矩形， ∴.MG=NP=AG P为BG中点 E G 0r4= :0N=0P+p=P=号4G2分 3 B .直线CM与⊙O必有交点C 圆心O到直线CM的距离ON≤半径OA,即ON≤AB,ON≤5 …3分 .当N与C重合，即CM与圆相切时，OW取得最大值为5 AG的最大值为O=94分 3 ,∠AFG=45°，∴.在等腰直角三角形AGF中，AF=√2AG, 4F的最大值为10W2 5分 3 62025学年第一学期学业水平调研 九年级数学 本试卷共6页，满分120分.调研时间120分钟. 注意事项： 1,答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和 考号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答策标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案：不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答策必须写在答题卡各题目指定区战 内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔或涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有 一个是正确的.) 1.下列图形中，属于中心对称图形的是（)· B D. 66 2.已知⊙0的半径为4cm,点P在⊙0外，则OP的长可能是（). A.1cm B.4cm C.2cm D.8cm 3.已知方程x2-5x+2=0的两个根分别是x,x2,则名+x的值是（). A.5 B.-5 C.2 D.-2 4.如图，A,B,C为⊙O上的点，且∠ACB=50°，则∠AOB=( A.40° B.50° C.100° D.130° 5.对于二次函数y=-x2+6x-5的图象，下列说法不正确的是（)· 第4题图 A.与y轴的交点是(0，-5) B.开口向下 C.对称轴是直线x=-3 D.当x<3时，y随x的增大而增大 九年级数学学业水平调研第1页（共6页） 6.某区为了解初中生近视情况，对全区初中生开展视力随机抽查，结果如下表.根据抽测 结果，下列对该区初中生近视的概率估计，最合理的选项是（ 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.400 0.401 0.413 0.409 0.410 A.0.423 B.0.400 C.0.413 D.0.410 7.如图①是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图②所示是一条圆弧B，圆弧的半径 OA=40cm,圆心角∠AOB=90°，则AB的长为（). A.40元cm B.20元cm C.10元cm D.30元cm 图① 图② 第7题图 第8题图 第9题图 8.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE,其中点D恰好落在BC边上，则 ∠EDC的度数为( ) A.40° B.50° C.55 D.60° 9.如图是二次函数y=a2+bx+c和一次函数y=mr+n的图象，当m+n≥m2+bx+c 时，x的取值范围是(). A.x>0 B.-2≤x≤1 C.x≤-2或x≥1 D.x≤1 10.某商场销售某种纪念品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为扩大销售，商场采 取了降价措施.假设在一定范围内，纪念品的单价每降1元，商场平均每天可多售出2 件.如果降价后商场销售这批纪念品每天盈利1250元，那么纪念品的单价降了多少元？ 设纪念品的单价降了x元，则x满足的方程为( ) A.(20+x)(40-2x)=1250 B.20(40-x)=1250 C.(20+2x)(40-x)=1250 D.40(20+2x)=1250 九年级数学学业水平调研 第2页（共6页） 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分.) 11.在平面直角坐标系中，点P(3,-5)关于原点对称的点的坐标是 12.已知圆锥的底面半径为5cm,母线长为12cm,则这个圆锥的侧面积是 13.将抛物线y=-（x-2)+1向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到新抛 物线的解析式为 14.在一个盒子中，装有若干个形状、大小相同的白球和黄球，如果袋中有4个黄球且摸到 黄球的概率为亏，那么袋中白球的个数为 15.若x=3是关于x的一元二次方程m2-bx=3的解，则代数式2025-3a+b的值为. 16.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=18°，在BC A 下方有-点D,∠D8C42,且BD号4C,则∠BDC 的度数为 D 第16题图 三、解答题（本大题有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤.) 17.(本题满分4分) 解方程：x2一6+8=0. 18.（本题满分4分) （1)在平面直角坐标系内，画出△AB0关于点O中心 对称的△A1B1O: (2)若点B坐标为(4，一2)，填空：点B绕点O顺 时针旋转90°的对应点B2的坐标为 第18题图 九年级数学学业水平调研第3页（共6页） 19.（本题满分6分) 已知抛物线yx2+m+n的对称轴为直线x=2,与x轴的其中一个交点为（3,0)· (1)求这条抛物线的解析式： (2)填空：当1≤x≤4时，y的取值范围为 20.（本题满分6分) 在深入贯彻德智体美劳全面发展的育人理念下，某校在劳动教育课程体系中开设了“种植” “陶艺”“木工”三门实践类课程。小天和小河从这三门课程中随机选择一门进行学习，每门 课程被选中的可能性相同， (1)填空：小河恰好选中“木工”课程的概率为 (2)用列举法求至少一人选中“木工”课程的概率. 21.(本题满分8分) 为提升初三学生的数字化学习效率，学校上线了云端错题本工具，学生可自主上传错题、 生成个性化错题卷.开学第一周，全年级使用该工具的学生有200人.经过两周的推广与同学 的分享，第三周使用云端错题本的学生数量增长至242人. (1)求每周使用云端错题本的学生人数的平均增长率. (2)按照(1)中的平均增长率，估算第四周使用该工具的学生人数. 九年级数学学业水平调研第4页（共6页) 22.（本题满分10分) 如图，四边形ABCD中，∠D=90°，AC平分∠DAB.以AB为直径的⊙O经过C点， 与AD的另一交点为E. (1)证明：直线CD是⊙O的切线： (2)若AB=10,AC=8,求AE的长， E A B 第22题图 23. (本题满分10分) 小天利用一面墙（长度不限)用长为24米的篱笆进行花圃园林设计，设计图由五段篱笆 组成，如图①所示，每一段篱笆所在的直线与墙平行或垂直.已知整体设计图（图②）可以分 割成两个矩形图案(AB>BC),且其中一个矩形可以由另一个矩形绕某一点旋转得到，设 AB=x,FE=y. (1)求y与x的函数关系式： (2)求这个设计图花圃面积S与x的函数关系式： (3)小河认为小天设计的花圃面积不能达到90平方米，试通过计算判断小河的结论是否正确， B 第23题图① 第23题图② 九年级数学学业水平调研 第5页（共6页） 24.（本题满分12分) 在平面直角坐标系xOy中，点(m,n)(m≤m在直线y=-x+4上.抛物线y=(x-m)(x-n) 的顶点为P,与x轴交点为M,N(点M在点N的左边)，与y轴交于点2 (1)求点P的横坐标： (2)当点2的坐标为(0,2)时，求m的值： (3)点A为抛物线上任意一点（不与M,N重合），过A作x轴的垂线，垂足为B,直线MA 与y轴交于点C.若m<0,且OC与BN始终相等，求m的值. 25.（本题满分12分) 如图，半圆O的直径AB=10,点C是半圆弧上一点，点D为AC的中点，延长BD交 ⊙O于点G.在射线AC上取一点E,使得AE-BC (1)当点E为CD中点时，求BC的长： (2)过点E作直线BD的垂线，垂足为F,连接AF.证明∠FG-45°，并求AF的最大值， C G E D B B 0 O 第25题图 备用图 九年级数学学业水平调研第6页（共6页）