山东省烟台第二中学2025届高三上学期第一次模拟考试检测数学试题

2025届第一学期第一次模拟考试检测 高三数学参考答案 1.c 【分析】根据并集的定义求出AUB,即可得到元素个数， 【详解】由题意知，AUB={1,1,3},故AUB中有3个元素. 故选：C 2.A 【分析】根据a,b,c的关系式以及双曲线的离心率求得正确答案. 【详解】设双曲线C的半焦距为c, 则2b=b c -1=5 2a a 故选：A 3.C 【分析】利用复数模的运算，共轭运算，除法运算来求解即可， 【1品，少兰- 2 故选：C 4.C 【分析】通过题目数据计算频数、极差、中位数、平均值，逐项分析即可」 【详解】根据表中数据，这400根棉花纤维的长度的极差估计值为65-23=42m,不满足选 项A中大于42mm'的要求，故A错误； 、纤维长度低于44mm的棉花纤维数占比为0+060-书<敌B销错误； 由于纤维长度小于44m的纤维数量为130，纤维长度不低于51的纤维数量为150， 可知这400根棉花纤维的长度的中位数估计值介于44m至51m之间，故C正确： 方法一：400根棉花纤维的长度的平均值估计值为 ×(30x265+40x3.5+60x40.5+120x47.5+100x54.5+50x615)=46975,故D错误， 400 故选：C 5.B C分析】由恩意计算出周期，再由周期求ω，又因为)在区间。 上单调， 所以列出不等式，计算出0<o≤12，判断即可. 【详解】由题意知， 吾（君)-0e列.则7 4π 3(2k+1) 因为r= ,所以0=32k+1 2π 2,又因为f)在区间匹加上单调， 2 6’24 答案第1页，共14页 以246年，解得0<®≤12，则@的最大值为 所以π亚sT, 2 故选：B. 6.B 【分析】将问题转化为函数h(x)=nx与g(x)=x+2图象的交点个数问题，利用导数求出点 (O,2)的直线与y=lnx相切的直线的斜率，结合图象，即可得答案. 【详解】因为f(x)血x-x-2, 令h(x)lnx|,8(x)=x+2, 将函数y=f(x)的零点转化为函数y=h(x)与y=g(x)图象的交点个数问题， Inx,x >1 因为=n{仁nx0x≤1：g6=c+2过定点0.2， 作出函数h(x)=lnx,8(x)=x+2的图象，如图所示： 3° y=g(x) y=h(x) 当k≤0时，函数y=h(x)与y=8(x)图象至多有2个交点，不符合题意： 当k>0时，g(x)=x+2与y=-nx必有一个交点， 所以g(x)=a+2与y=nx必有2个交点， 设过点(0,2)的直线与y=lnx相切于点(x。,nx), 因为y=1 1 所以切线的斜率为 1_lhx。-2 即有x。 解得x=e, 所以切线的斜率为 e 71 所以ke0,。) 故选：B. 7.B 【分析】记圆台OO2的上、下底面半径分别为5，半圆环的内、外半径分别为R,R, 由于侧面展开图是半个圆环则R=2,R,=2,,再结合面积为4π化简得到-=2，则 S2-S=π(2-2)=2π. 答案第2页，共14页 【详解】记圆台OO2的上、下底面半径分别为，5，半圆环的内、外半径分别为R,R2, 则21=πR,即R=21,同理可得R2=22, 由题可得(R-R)=（45-4)=4π，即-=2 则S,-S=π(5-)=2π. 故选：B 8.A 【分析】连接EE,根据给定条件，在△MBE,中利用正弦定理求出MB1,再在△SME,中利 用余弦定理求解即得。 【详解】连接B只，在A如，中，识=强=R,又出S5,-号则，月是正三角形， EE=R, 由∠，M-∠M-相∠Bg,M-子R,M- 12 EM EE 在△E,E中，∠E,ME=正，由正弦定理 4 sin 元，则EM=2 4 2 在△SM匹中，由余弦定理得 5 R23R2√4.2R≈2.1h 故选：A M Eo 9.BD 【分析】对A,举反例当焦点F的直线与x轴垂直时判断即可：对B,作出图形，由抛物线 的性质可得B正确；对C,令A上，y 4 由抛物线焦点弦的性质可得 答案第3页，共14页 2=-p=4,再结合中点坐标公式可验证C错误；对D,当AB⊥OF时，可得 44 y=-y2 再取特殊值A(1,2),B(,-2),计算可得D正确 【详解】由题意知，焦点F(1,0),准线方程为直线x=-1, 对于A,当过焦点F的直线为x=1时，设A为上交点，易得A(1,2),B(1,-2),此时AB=4, 故A错误； 对于B,设AB的中点为E,过A,B,E分别作准线的垂线，垂足分别为M,N,Q,如图，则 Q=0AM+BND=50A+BFD=A1,mAB04+1o81,所以 1BO水K0OA+OBD,故B正确. VA 对于C,由抛物线的性质可知yy2=-p=-4①. 若存在弦AB,使得AB中点的坐标为 y+y2=6 [=2y=4 则+-5解得 4或 以=2都不满足①式，故c错误， 44 对于D,当AB⊥OF时， 44解得 为=2 y=-y2 =-2' 由对称性，不妨取A(1,2),B1,-2),则OA=OB=V5,所以OA||OB=5,故D正确. 故选：BD 10.AB 【分析】利用等比数列的基本量运算判断A,利用等比数列前项和公式判断B,利用等比 数列的性质判断C,利用等比数列的性质并结合等差数列的求和公式判断D即可. 【详解)对于A,由题意得+a=4a+a)=g=8,则g=2,故A正确； 4+44+a2 对于B,由41+a2=3,可得4+2a=3,解得41=1， 答案第4页，共14页 由等比数列前n项和公式得8=1-2)=2-1， 1-2 得到g-263-9,放B正确， S,2-17 对于C,由等比数列性质得S,S。-S,S,-S成等比数列， 且S=7,S6-S=56,得到S,-S=56×8=448, 即a,+ag+4,=S,-S。=448,故C错误； 对于D,由等比数列性质得a,=a·q-1=21, 则aa4…a4=2-=2，赦D错误 故选：AB, 11.BCD 【分析】利用假设法即可判断A,利用线面平行的判定即可判断B,利用棱锥体积公式即可 判断C,求出外接球半径，找到球心位置即可判断D. 【详解】对A,由A,C,E,F四点共面，得CF/IAE,则DF=BE, 若E不是棱BB,的中点，则BE≠DF,故A错误， 对B,当E是棱BB的中点时，取AC的中点G,连接GE,BD,则G为BD的中点 因为E为BB的中点，则GE/BD 因为GB1平面ACE,BD文平面ACE,所以BD/平面ACE,则B正确. 根据长方体性质知BB,/CC,且CC,C平面ACC,BBa平面ACC, 所以BB1I1平面ACC,同理可得DD//平面ACC, 则点E,F到平面ACC的距离为定值， 又因为△ACC的面积为定值，所以三棱锥E-ACC和三棱锥F-ACC1的体积都为定值， 则四棱锥C-AECF的体积为定值，故C正确， 取棱CC的中点O,由题中数据可得CE=CE=2√2，CC=4, 则CE2+CE2=CC2,所以△CCE为等腰直角三角形，所以O是△CCE外接圆的圆心， △CCE外接圆的半径r=2.设三棱锥E-ACC,的外按球的球心为O, 答案第5页，共14页 半径为R,设O0=d,则R2=d2+r2=OB+(AB,-d)2=8+(2-d)2, 即d2+4=8+(2-d)2,解得d=2,则R2=8,此时O点位于DD中点， 从而三棱锥E-ACC的外接球的表面积是4πR2=32π，故D正确. 故选：BCD 12.0 【分析】根据向量数量积的运算得到 AE.ED= 西+cc-西c栖0，最后代入数搭即可 【详解】如图所示： A征=通+BC,历-c+=0-而， 所以AEED= 6+c〔2c--c栖0， 故答案为：0 13.e2 【分折1由题意可得580=2900n1+M580x11=290n1,M M,+的 ,计算可求得M+, 值. 【详解】依题意，580=2900ln +4,580x11=2900hn1+M 答案第6页，共14页 1+以 即c-1+4,e=1+4,则+% +%1+西c, o 故答案为：e2. 14.0 【分析】利用三次函数的性质，可依题意设函数f(x)=(x-a(x-b)(a≠b),从而求导可得 零点，然后根据题意分析这三个零点取值，最后可确定一种情形来求函数的极大值， 【详解】由题意可知，设f(x)有且只有两个不同的零点a,b,则f(x)=(x-a(x-b)(a≠b), 2a+b 即fx)=(x-b)2+2(x-a(x-b)=3(x-b)x 3 令f)=0,得x=2a+b, 3，x=b, 山于a2e1,-中，Ha*b, 分折：由于20eBl-3,可知2a-b包3-9， 又由于a,b∈{3,1，-3}，且a≠b,所以零点a,b的组合不能是{1,3}或1，-3}， 故a6的组合只能是任头，这样积能是a=3,0:3,可计京得2，满足恶意， 此时f(x)=(x-3)(x+3)2,f'(x)=3(x+3)(x-1). 令f(x)=0,得x=-3或x=1, 当x∈(-3,1)时，'()<0，则f(x)=(x-3)x+3)2在(-3,1)上单调递减， 当x∈(-∞，-3)U(1,+∞)时，∫"()>0，则f(x)=(x-3)x+3)2在(-o,-3),(1,+∞)上单调递增， 则由单调性可知，f(x)的极大值为f(-3)=0. 故答案为：0 15.(1)y=0.06x+2.4 白分布列见解析。号 【分析】(1)根据最小二乘法即可求解， (2)根据超级几何概率公式求解概率，即可由期望公式求解. 【详解】（1)依冠盒，-号×0+30+40+60+80+90+10)=60， 少-(62+4+48+6+73+745+925)=6， 答案第7页，共14页 6.g-i 2976-7×60×60.06, 空烟 32800-7×3600 a=y-bx=6-0.06×60=2.4, 所以y关于x的线性回归方程为y=0.06x+2.4. (2)由题意，7个年收入的附加额与投入额的比值大于0.1的有3个， 所以X的可能取值为0,1,2,3， P(~))-Cici P(X=0)=CC=4 C35 x=器号x-动是京 X的分布列如下： X 0 1 2 3 4 18 12 1 35 35 35 所以x伯即胆是)0药182行55号 35 16.(1)证明见解析 (2)4.=21-1 【分析】(1)由已知等式变形得出a,=,-S1=√⑤+√S1,化简得出VS-√S1=1,结 合等差数列的定义可证得结论成立： (2)结合(1)中的结论可得出数列{√S}的通项公式，由此可求得数列{a}的通项公式： 3)由参变量分离法得出≤2+日儿+分)（门日》令 aa08 分析数列免}的单调性，即可求得实数t的取值范围. 【详解】(1)因为各项均为正数的数列{a}的前n项和为Sn,则对任意的neN,Sn>0, 当n≥2时，a=S-Sn1=√+VS1, 答案第8页，共14页 即(S-VS)(S+VS)=VS+VS,所以，VSn-√S=1, 因此，数列{S}是等差数列，且其首项为√S=1,公差为1. (2)由(1)可得VS.=1+n-1=n,则当n≥2时，a=VS,+√S=n+n-1=21-1, a=1也满足a.=2n-1,故neN*,a。=2n-1. a::}0aae)可得 +) s安 则6，>0 1+ 2n+12n+2」 (2n+2)2 4n2+82+4 >1,即bn+1>ba, V2n+322+1V(2n+3)2n+1) V4n2+8n+3 所以，数列b}为单调递增数列， 2_2W3 则0<ts6=万3 因此，t的取值范围是 0. 2W3 3 17.(1)答案见详解 6 【分析】(1)根据面面垂直的判定定理证明； (2)建立空间直角坐标系，并求出平面AOE与平面DBC的夹角的余弦值，得到h和a的 h 关系式即可求出二的值 【详解】(1)连接AC、DE, ,O,E分别为AC的中点和CD的中点， OE∥AD, :AD∥AD,OE∥AD, 答案第9页，共14页 四点O、E、A、D共面， :AD⊥CD,AD⊥D,D,且D,D∩DC=D,DD、DCC平面CDDC, AD文平面CDD,C, .AD⊥平面CDD,C, ,ADc平面AOE, .平面AOE⊥平面CDD,C, D (2)分别以DA、DC、DD所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， D(0,0,),B(aV3a,0),c(o,v3a,0), 则04= 经a,o厘-(g0,c-aa小.E-aa, 设平面AOE的法向量=（飞，y,二），则 OA=0 0E2=0 a.3 Γ2%+e,=0 =0 DC.n=0 设平面DBC的法向量h2=(x2,y2,22),则 DB.n=0 即 V3a,-hz,=0 +Va,-e,=0'令4=h,则，=0，=V5a,∴%=(0，h5a, 小o,片 h +3d 2 2W5 h++ 3 答案第10页，共14页 2025届第一学期第一次模拟考试检测 高三数学 考生注意: 1. 本试卷分选择题和非选择题两部分 。满分 150 分,考试时间 120分钟。 2. 答题前,考生务必用直径 0. 5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3. 考生作答时,请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径 0. 5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效 , 在试题卷、草稿纸上作答无效。 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 4. 本卷命题范围:高考范围。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．已知集合，则中元素的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知双曲线的离心率为2，则的虚轴长与实轴长之比等于 A． B． C． D． 3．已知复数，则 A． B． C． D． 4．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标.在一批棉花中随机抽测了400根棉花纤维的长度（单位：mm），整理得到下表数据： 纤维长度（mm） 频数 30 40 60 120 100 50 根据表中数据，关于对样本数据的分析，下列结论中正确的是 A．棉花纤维的长度的极差估计值大于 B．棉花纤维中，其长度低于的棉花纤维数占三分之一 C．棉花纤维的长度的中位数估计值介于至之间 D．棉花纤维的长度的平均值估计值介于至之间 5．已知函数（，），，，且在区间上单调，则的最大值为 A． B． C． D． 6．已知函数，若函数有3个零点，则k的取值范围是 A． B． C． D． 7．已知圆台的侧面展开图是面积为的半个圆环（如图所示），记圆台的上、下底面面积分别为，若，则 A． B． C． D． 8．早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径．假设一种理想状态：地球E 和某小行星M 绕太阳S 在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示．地球在位置时，测出；行星M 绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了位置，测出，．若地球的轨道半径为R，则下列选项中与行星M 的轨道半径最接近的是（参考数据：） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知抛物线，过焦点的直线与交于A，B 两点，为坐标原点，则下列说法正确的有 A．弦的最小值为8 B．弦的中点到准线的距离小于 C．存在弦，使得的中点坐标为 D．当时， 10．已知等比数列的公比为q，前n项和为，，，则下列说法正确的是 A． B． C． D． 11．如图，在长方体中，，，是棱上的一点，点在棱上，则下列结论正确的是 A．若，，，四点共面，则 B．存在点，使得平面 C．若，，，四点共面，则四棱锥的体积为定值 D．若为的中点，则三棱锥的外接球的表面积是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知矩形，是的中点，则 ． 13．马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值．在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）与燃料的质量（单位：）和飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．已知质量为的飞行器所处高空的音速为，若燃料的质量分别为和时，最大速度对应的马赫数分别为1和11，则 ． 14．已知，是的导函数，若有且只有两个不同的零点，且和的零点均在集合中，则的极大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分） 某企业响应国家“强芯固基”号召，为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金．为 了解研发资金的投入额x（单位：千万元）对年收入的附加额y（单位：千万元）的影响，对2017年至2023年研发资金的投入额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 投入额 10 30 40 60 80 90 110 年收入的附加额 7．30 (Ⅰ) 求y关于x的线性回归方程； (Ⅱ) 若年收入的附加额与投入额的比值大于，则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份中任意取3个，记X表示这三个年份为“优”的个数，求X的分布列及数学期望． 参考数据：，，． 附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 16.（15分） 已知各项均为正数的数列的前项和为，，且. (Ⅰ) 证明：数列是等差数列； (Ⅱ) 求数列的通项公式； (Ⅲ) 若，求的取值范围. 17.（15分） 如图，在直四棱柱中，底面为矩形，，高为，O，E分别为底面的中心和的中点． (Ⅰ) 求证：平面平面； (Ⅱ) 若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值． 18.（17分） 已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆Γ的离心率为，短轴长为 (Ⅰ) 求椭圆Γ的标准方程； (Ⅱ) 不重合的两直线，过点且分别与椭圆Γ交于A，B 和C，D 两点，，不与坐标轴平行或重合，并满足． ①试判断两直线，的斜率关系并写出证明过程； ②若两直线，的斜率正负号相同，M，N 分别为线段AB 和CD 的中点，求证：MN 过定点． 19.（17分） 已知函数． (Ⅰ) 若，，求在处的切线方程； (Ⅱ) 若，且在定义域内有三个零点，，（），求的取值范围； (Ⅲ) 在(Ⅱ) 的条件下，请找出与的关系，并证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $