四川省绵阳市游仙区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

九年级数学参考答案 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1—5.BADCB 6—10. AACCB 11-12. DB 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分 13. x1=0，x2=-2 14. k＜2 15. 12 16. 5 17. 8 18. 三、解答题：本大题共7个小题，共90分。 19. 解：（1）2y2-3y=1． 移项得2y2-3y-1=0． ∵a=2，b=-3，c=-1， （2分） ∴Δ=b2-4ac=（-3）2-4×2×（-1）=17＞0， （2分） （4分） （2）B1（-2，1），C1（-1，4）；理由如下： 如图，△AB1C1即为所求， 由图可知，B1（-2，1），C1（-1，4）； ∵A（0，0），B（1，2）， （5分） （3分） 20. 解：（1）画树状图如下： （3分） 共有6种等可能的结果总数， 即（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）； （3分） （2）由（1）可知，共有6种等可能的结果，其中A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院开展献爱心活动的结果有2种，即（1，1），（2，2）， （3分） ∴A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率P==． （ 3分） 21. 解：（1）依题意得：W1=（x-6）（-x+26）-80=-x2+32x-236， ∴这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式为 W1=-x2+32x-236； （3分） （2）由题意得：20=-x2+32x-236， 解得：x=16， 答：该产品第一年的售价是16元； （3分） （3）由题意得：14≤x≤16， W2=（x-5）（-x+26）-20=-x2+31x-150， ∵14≤x≤16， （3分） ∴抛物线的对称轴为直线x=15.5， 又∵14≤x≤16， 当x=14时，W2有最小值，最小值为：-142+31×14-150=88 （万元）， 答：该公司第二年的利润W2至少为88万元． （3分） 22.解：（1）∵△ABC是等边三角形，D为BC的中点， ∴BD=CD，∠ABC=60°，AD⊥BC， （3分） 由旋转可得△ABD≌△FBE， ∴∠ABD=∠FBE=60°，BD=BE， ∵EC∥BF， ∴∠BEC+∠FBE=180°， ∴∠BEC=120°； （3分） （2）如图，过点C作CH⊥BE于H， ∵∠BEC=120°， ∴∠CEH=60°， ∵CH⊥BE， ∴∠ECH=30°， ∴CE=2EH， （3分） （3分） 23. （4分） （2分） （3）在坐标平面内存在一点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形；理由如下： ∵点P在反比例函数图象上，且点P的横坐标为-4， ∴点P的纵坐标为y=2 ∴P（-4，2）， （42分） 设点Q（c,n），以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形时，分以下几种情况讨论： 当AB为对角线时，AB与PQ互相平分， （2分） ∴Q（-10，8）； 综上所述，在坐标平面内存在一点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形；满足条件的点Q的坐标为（6，0）或（2，-4）或（-10，8）． （2分） 24.（1）解：当选择①时； ∵已知△ABC内接于圆O，AD平分∠BAC交圆O于点D，AB=AC， ∴AE⊥BC，BE=EC，∠BAD=∠CAD， ∴， ∴AD是直径， ∵AM=2ME=2DE， ∴ME=DE，AM=DM， ∴点M是圆心，且四边形BDCM是平行四边形， ∵BM=CM， ∴四边形BDCM是菱形， ∴BM=BD=DM=CD=MC， ∴△BDM，△CDM都为等边三角形， ∴∠BDM=∠CDM=60°， ∴∠BDC=120°； （2分） 若选择②； ∵已知△ABC内接于圆O，AD平分∠BAC交圆O于点D，AB=AC， ∴AE⊥BC，∠BAD=∠CAD， 由∠MBC=∠MBA=2∠BAD可设∠BAD=α，则有∠MBC=∠MBA=2α=∠BAC， ∴∠BMD=∠MBA+∠BAD=3α， ∵∠MEB=90°， ∴∠MBC+∠BME=90°，即2α+3α=90°， ∴α=18°， ∴∠BAC=2α=36°， ∵四边形ABDC内接于圆O， ∴∠BDC=180°-∠BAC=144°， （2分） 故答案为：①（或②）； （2）解：已知△ABC内接于圆O，AD平分∠BAC交圆O于点D， ∴∠BAD=∠CAD， ∵∠ADB=∠ACE， ∴△ABD∽△AEC， （2分） ∵AB=c,AE=m,AC=b, （2分） （3）证明：已知△ABC内接于圆O，AD平分∠BAC交圆O于点D， ∴∠BAD=∠CAD， ∵∠MBC=∠MCA=∠MAB， ∴∠MBC=∠MCA=∠MAB=∠CAD， ∴∠BMD=∠BAM+∠ABM=∠ABM+∠MBC=∠ABC， ∵∠BDM=∠ACB， ∴△ABC∽△BMD， （2分） ∵∠DMC=∠CAD+∠ACM=2∠CAD， ∴∠BAC=∠DMC， ∵∠ABC=∠MDC， ∴△ABC∽△MDC， ∴BC2=AB•AC． （2分） 25. 解：（1）∵抛物线的顶点为D（1，4）， ∴设y=a（x-1）2+4（a≠0）， ∵抛物线经过点A（-1，0）， ∴4a+4=0， ∴a=-1，y=-（x-1）2+4=-x2+2x+3， 当y=0时， -（x-1）2+4=0， 解得x=-1（舍去）或x=3， 当x=0时，y=3， ∴B（3，0），C（0，3）； （2分） （2）设直线BC的解析式为y=kx+d, 将点B（3，0），C（0，3）代入， ∴y=-x+3， （2分） 设对称轴交直线EF于点H，交直线BC于T， 则DH⊥EF，EH=HF， ①如图， （2分） 当x=1时，y=-1+3=2， ∴T（1，2）， ∵H（1，t）， ∴t＜2， ∵FG=3GE， ∴HG=GE， ∵G（3-t,t）， ∴HG=3-t-1=2-t, ∴HE=4-2t, 故E（5-2t,t）， 代入抛物线解析式得-（5-2t）2+2（5-2t）+3=t, （2分） ②如图， 当t＜0时， ∵FG=3EG， ∵FE=2EG， 故HE=EG， ∵H（1，t），G（3-t,t）， ∴HG=3-t-1=2-t, （2分） （3）①如图，当m＞0时，连接CD，设对称轴交x轴于P，过D作DN⊥y轴于N， 则CN=DN=1， 故∠DCN=45°， ∵∠OCB=45°， ∴∠DCB=90°， 即点M与D重合时，△BCM是直角三角形， 此时m=4， 当∠CM1B=90°时， 过M1作M1L⊥y轴于L， ∴∠BM1P+∠CM1P=∠CM1L+∠CM1P=90°， ∴∠BM1P=∠CM1L， ∴∠M1PB=∠M1LC=90°， ∴△M1PB∽△M1LC． （2分） ②如图，当m＜0时，当∠CM2B=90°时，过M2作M2K⊥y轴于K， ∵∠M2PB=∠M2KC=90°，∠BM2P=∠CM2K， ∴△M2PB∽△M2KC， （2分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九年级上册期末教学质量监测试卷 （九年级数学） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1． 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2.下列事件中，属于必然事件的是（　　） A．13个人中至少有两个人出生月份相同 B．掷一枚骰子，向上一面的点数一定大于3 C．射击运动员射击一次，命中靶心 D．2025年有366天 3.将抛物线y=2x2向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则得到的抛物线解析式是（　　） A．y=2（x+3）2-2 B．y=2（x+3）2+2 C．y=2（x-3）2-2 D．y=2（x-3）2+2 4.若关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，则ax2+bx+c=0必有一根为（　　） A．9 B．-9 C．3 D．-3 5.如图，△ABC中，∠B=90°，点O在AC上，⊙O过点A，且与BC相切于点D，连接AD．若AD=CD，OA=3，则AB的长为（　　） A．6 B．4.5 C．3 D．2 6.抛物线y=ax2+2ax-4（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（-3，0），则它与x轴的另外一个交点的坐标为（　　） A．（1，0） B．（-1，0） C．（2，0） D．（0，1） 7.如图，一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为-1，则不等式k1x+b＜的解集是（　　） A．-1＜x＜0或x＞2 B．x＜-1或0＜x＜2 C．x＜-1或x＞2 D．-1＜x＜2 8.正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形ABCDEF，点O是正六边形的中心，则BF的长为（　　） A．12 B． C． D． 9．一个两位数等于它个位上的数的平方，且个位上的数字比十位上的数大3，则这个两位数是（　　） A．25 B．36 C．25或36 D．无法确定 10.唐代李皋发明了“桨轮船”，他设计的桨轮船在船的舷侧或尾部装有带有桨叶的桨轮，通过人力踩动桨轮轴来推动船体前进．这种船的桨轮下半部浸入水中，上半部露出水面，因其推进方式类似车轮，故又被称为“明轮船”或“轮船”．如图，该桨轮船的轮子被水面截得线段AB为8m,轮子的吃水深度为2m,则该桨轮船轮子半径为（　　） A．4m B．5m C．6m D．7m 11.如图，圆锥的底面半径R=3dm,母线l=5cm,AB为底面直径，C为底面圆周上一点，∠COB=150°，D为VB上一点，VD=cm,现在有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到点D，则蚂蚁爬行的最短路程是（　　） A．3dm B．dm C．dm D．2dm 12.如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第n行有n个点…，前n行的点数和不能是以下哪个结果（　　） A．55 B．95 C．78 D．120 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分。把答案填写在答题卡的横线上。 13． 求方程x（x+3）=x的解为 ． 14．反比例函数y= 图象的每一支曲线上，y随着x的增大而增大，则k的取值范围是 ． 15.一个不透明口袋中装有8个白球和若干个黑球，这些球除颜色外其余均相同，在不允许将球倒出来的前提下，为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出1个球记下颜色后放回摇匀，不断重复上述过程多次，发现摸到黑球的频率稳定在0.6，根据上述数据，可估计口袋中大约有 个黑球． 16.如图，过的中点C作CD⊥AB，垂足为D，AD=4，CD=2，则所在圆的半径长是 ． 17．从水平面开始竖直向上抛小球，小球的高度h（米）关于运动时间t（秒）的函数表达式为h=at2+bt（a≠0），其图象如图所示．若小球在抛出后第2秒与第6秒时的高度相等，则小球从抛出到回到水平面共需的时间为 秒． 18.如图，点P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，OP交⊙O于点B，点M，N分别为线段OP，AP上的动点，若PA=4，PB=2，则AM+MN的最小值为 ． 三、解答题：本大题共7个小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．(16分)（1）解方程：2y2-3y=1． （2）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点的坐标为A（0，0），B（1，2），C（4，1），将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB1C1，其中点B与点B1对应，点C与点C1对应，请直接写出点B1和点C1的坐标，并求边AB扫过形成扇形的弧长． 20. (12分)九年级某班学生计划到甲，乙两个敬老院开展献爱心活动，老师把该班学生分成A，B两个小组，通过游戏方式确定去哪个敬老院． 游戏规则如下：在一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2的两张卡片（除数字外，都相同），班长先从这个箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为x.在另一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2，3的三张卡片（除数字外，都相同），班长再从该箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为y.若x=y,则A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院；若x≠y,则A组学生到乙敬老院，B组学生到甲敬老院． （1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求（x,y）所有可能出现的结果总数； （2）求A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率P． 21. (12分)某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y=-x+26． （1）求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式； （2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？ （3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元． 22. (12分)等边△ABC的边长为4，D为BC的中点，△ABD绕点B顺时针旋转得到△FBE，点A的对应点为F，点D的对应点为E，连接EC，EC∥BF． （1）求∠BEC的度数； （2）求EC的长度． 23. (12分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y= (k) 的图象交于A（4，-2），B（-2，m）两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）请直接写出不等式ax+b的解集； （3）若点P在反比例函数图象上，且点P的横坐标为-4，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标． 24. (12分)已知△ABC内接于圆O，AD平分∠BAC交圆O于点D，交BC于点E，M是AD上一点． （1）若AB=AC， ，求∠BDC的度数． ①AM=2ME=2DE；②∠MBC=∠MBA=2∠BAD． （作答第（1）题时，先选择①或②填写在横线处，使题目完整，然后求解∠BDC的度数．） （2）若AB=c,AE=m,AC=b,求DE的长． （3）若∠MBC=∠MCA=∠MAB，求证：BC2=AB•AC． 25. (14分)如图（1），抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B两点，与y轴交于C，顶点D（1，4）． （1）写出抛物线的解析式，点B，点C的坐标； （2）直线y=t交抛物线于点E，F（点E在点F的右边），交直线BC于点G，若FG=3GE，求t的值： （3）如图（2），点M是抛物线对称轴上一点，且点M的纵坐标为m,当△MBC是锐角三角形时，求m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $