2026届江苏省南京、盐城高三数学一模函数压轴题深度解析 讲义

该高中数学高考复习讲义聚焦函数与导数压轴题，覆盖导数几何意义、不等式证明、方程根估计等核心考点，按基础运算、多解探究、深度分析的逻辑递进，通过考点梳理、方法指导、真题解析等环节，帮助学生构建知识网络，突破难点。 资料以一题多解（如单调性法、凹凸性法）和化归思想（变量代换化无限为有限）为特色，渗透高等数学背景，培养学生数学思维与数学眼光。设置分层练习与即时反馈，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

2026南京盐城高三一模函数压轴题深度解析 1 问题提出 在高考数学压轴题中，指数函数与三角函数的乘积模型因其丰富的性质与综合的考查维度而备受青睐。考虑如下问题（2026南京盐城高三一模第19题）： 题目：设函数，其导函数记为. （1）求曲线在处的切线方程； （2）当 时，求证：; （3）设是在区间内的根，其中，求证： . 评析：本题结构精巧，三问之间逻辑连贯、层层递进，全面考查了导数的几何意义、利用导数证明不等式、方程根的性质与估计等核心知识，同时涉及函数与方程、化归转化、放缩法等核心数学思想。下文将进行多维度解析与推广研究。 2 多解探究与深度分析 2.1 第（1）问：基础考查 第（1）问旨在考查基础运算能力。 由，利用乘积求导法则可得： ，故. 计算得,，所以切线方程为. 此问虽简单，但为后续问题中不等式的符号分析（特别是在上）埋下伏笔。 2.2 第（2）问：不等式证明的三种视角 第（2）问是不等式证明，其结构具有鲜明的几何背景（一阶泰勒展开）。下面给出三种解法，体现通法与巧法的结合。 解法一（通法——构造函数，利用单调性）： 当时，. 当 时，由于，，原不等式等价于证明： ， 求导得：，在给定区间上，，可证。 故单调递增，从而，不等式得证。 解法二（巧法——利用函数的凹凸性）： 计算，。在区间上，，，故且，函数为单调递减的上凸函数。 对于凸函数，其图像在任意一点处的切线下方，即有： 取，并利用，立即得到： 此法简洁，深刻揭示了函数切线不等式与函数凹凸性的本质联系。 解法三（几何直观——线性逼近的视角）： 不等式左侧可视为函数在处的线性近似在处的值。由于（同解法2可知），函数增长速率（导数）递减，上凸函数的一阶泰勒估计是上界，即，这与解法二一致。此视角有助于学生建立直观理解。 三种解法的比较：解法一为通性通法，逻辑清晰，对运算能力要求较高；解法二高屋建瓴，体现了对函数凹凸性的深刻洞察，计算量小；解法三侧重于几何解释，有助于形结合。教学中可引导学生从解法一入手，再通过解法二、三领悟本质，提升思维层次。 2.3 第（3）问：方程根的估计与化归思想 第（3）问难度较大，需综合运用前两问的结论，并巧妙进行化归与放缩。 第一步：变量代换，化无限为有限。 注意到函数结构中，指数部分非周期，但三角部分周期为。令，则，且由周期性及可得： 这一代换将分布于无穷多个区间上的根，映射到同一个有限区间内研究，是解决问题的关键。 第二步：应用不等式，建立基本关系。 由（2）知，对有： 代入，并注意到在区间内 ，整理得： .(1) 第三步：分析导数单调性，进行比较放缩。 在区间内，由（2）知：，故在区间内单调递减。设（时的根），则。由于，单调递减。由可得。结合递减，有。对于负数，有。代入 (1) 式即得： .(2) 第四步：代数变形，完成证明。 计算。利用解得 ，代入 (2) 式并化简：. 还原变量，，即得所证： 本问的核心思想：① 化归思想：通过平移变换将复杂问题化归为已知区间上的问题；② 放缩思想：两次利用单调性进行比较放缩（比较与的大小，比较 与的大小）；③ 整体代换：利用进行整体代换，简化表达式。这是处理周期函数与指数函数复合方程根的典型方法。 3 高等数学背景与推广展望 3.1 上凸函数的“切线不等式” （上凸函数的“切线不等式”）若是区间上的可微上凸函数，则经过点的切线一定在曲线的上方，即成立不等式 又若为严格上凸函数，则上述不等式成立等号的充分必要条件是. 简证：将上述不等式的右边移项到左边，应用拉格朗日中值定理有： 其中. 又是区间上的可微上凸函数， 则在上为减函数；则， 又，则 即： 若为严格上凸函数，则在上严格单调减少。 因此，当且仅当时，等号成立。 给出定义：若函数在区间I上可导，即存在，且导函数在区间I上也可导，则称在区间I上存在二阶导函数.记，若在区间I上恒成立，则称在区间I上为上凸函数；若在区间I上恒成立，则称在区间I上为下凸函数. 对于任意，其中，，若在区间I上为上凸函数，则有;若在区间I上为下凸函数, 则有. 已知，且， 则______(填“>”、“<”或“=”); 若在上恒成立，则的最小值为________ 问题【参考答案】 （1） ；（2）的最小值为： 命题思路：由上述定理——上凸函数的“切线不等式”，可知：经过点的切线一定在曲线的上方。 即：据此，命制第（2）问。 3.2 微分方程背景 令，则满足简谐振动方程。原函数 满足二阶线性常系数齐次微分方程： 该方程的特征根为，这解释了为何呈“指数增长×三角振荡”的形式。从微分方程角度看，第（2）问的不等式反映了该方程解在一定区间内的凸性性质。 （图像） 3.3 泰勒展开背景 第（2）问的不等式实质是上凸函数的一阶泰勒不等式。更一般地，若函数在区间上满足，则对任意，有。这为不等式证明提供了一种普适性的思路。 3.4 渐近行为的进一步研究 第（3）问的结论给出了偏差的上界。事实上，还可以证明渐近极限： 4 教学启示 1. 夯实“四基”，强调理解：教学中必须强化基础知识和基本技能（如求导法则、三角函数的图像与性质），更要注重对基本思想（如化归、数形结合）和基本活动经验（如代数变形、放缩尝试）的积累。要引导学生理解每一步运算和推理的依据，而非机械套用。 2.重视思维过程，规范表达书写：教师应展示完整的思维过程，特别是如何从复杂条件中寻找突破口。同时，要严格规范学生的数学表达，强调每一步推理的严谨性（如注明单调性前提、说明不等式变形条件）。 3.渗透高等观点，开阔数学视野：对于学有余力的学生，可适当揭示问题的上凸函数的切线不等式、微分方程、泰勒展开等高等数学背景。这不仅能激发兴趣，更能帮助他们建立中学数学与高等数学的联系，形成统一的数学观。 4.倡导“一题多解”与“多题一解”：对本题进行多角度解析（如单调性法、凹凸性法），有助于学生融会贯通。进一步，引导学生总结此类问题的通法（如“证明形如 的不等式，可考虑构造原函数或分析凹凸性”），实现从“解题”到“解决问题”的飞跃。 5 命题思考与评价 本题是一道优秀的高考压轴题范例，其优点在于： 1. 层次性与综合性：三问难度梯度合理，覆盖了从基础到高阶的能力考查。知识上融合了函数、导数、三角函数、不等式；能力上考查了运算、推理、转化与估算。 2. 内在联系与逻辑性：后问的解决紧密依托前问的结论，形成一个有机整体，检验了学生运用已有结论推进新问题的能力。 3. 深刻的数学本质：题目源于经典的函数模型，背后蕴含丰富的数学思想（化归、放缩）和高等数学背景（凸函数、微分方程），具有很好的教育价值。 4. 良好的区分度：各问能有效区分不同数学素养层次的学生。 命题中此类问题的设计，应坚持“重本质、重思维、重联系”的原则，避免偏、怪、繁的计算，引导教学从“解题训练”转向“思维培养”。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $