精品解析：北京市第一零一中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题

北京一零一中2025－2026学年度第一学期期末考试 高二数学 （本试卷满分120分，考试时间100分钟） 命题：高二数学备课组 审核：贺丽珍 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 抛物线准线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列中，，，则公差等于（ ） A. －5 B. 2 C. 2 D. 5 3. 在平面直角坐标系中，过坐标原点的直线与圆有且只有一个公共点，则线段的长为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 4. 已知，当到直线的距离取得最大值时，直线的斜率为（ ） A. 2 B. C. D. 5. 设椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于两点，则的值是 A. 2 B. C. 4 D. 6. 已知分别是双曲线的左、右焦点，是以线段为直径的圆与该双曲线的一个交点，且，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线被圆所截的弦长不小于2，则下列曲线中与直线一定有公共点的是（ ） A. B. C. D. 8. 设是公比为的无穷等比数列，为其前n项和，，则“”是“存在最小值”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 如图1，取边长为6的正方形纸板，分别为三边的中点，先将等腰直角三角形沿虚线段裁去，再将剩下的五边形沿线段折起，连接，就得到了一个《九章算术》中所载的“刍甍”五面体（如图2）．若棱的长为5，则该五面体的体积为（ ） A. B. C. D. 30 10. 在平面直角坐标系中，已知曲线的方程为，则下列关于曲线的判断错误的是（ ） A. 曲线与直线交于3个不同的点，且这三个点的横坐标可以构成等差数列 B. 曲线经过5个整点（横、纵坐标都是整数点） C. 曲线上存在一点，使得点到两坐标轴距离之和大于2 D. 曲线上任意两点之间的最大距离为 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 设双曲线渐近线方程为，则该双曲线的焦距为___________． 12. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若，则的面积为_____． 13. 如图，在棱长为4的正方体中．点是棱的中点，动点在面内，包括边界），若平面，则线段长度的取值范围是_____． 14. 已知数列的前项和为，点在函数的图象上，则数列的通项公式为_____；若数列满足，则的最小项的值为_____． 15. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A，F分别为椭圆C：(a＞b＞0)的右顶点和右焦点，过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，若Q，F，M三点共线，则椭圆C的离心率为_______． 16. 已知数列满足，给出下列四个结论： ①，数列均不为常数列； ②存在，使得数列单调递减； ③若，则存在，使得当时，； ④若，则存在，使得对任意，都有． 其中，所有正确结论的序号为_____． 三、解答题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17. 已知是首项为1，公差为2的等差数列；是各项均为正数的等比数列，其前项和为． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的通项公式及的前项和． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，． （1）求证：平面； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知． ①求二面角大小； ②棱上是否存在点，使得直线与平面所成角为?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 条件①：； 条件②：平面． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19. 已知椭圆其上、下顶点分别为，左、右焦点分别为，，四边形是面积为8的正方形．过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点． （1）求椭圆的方程； （2）设直线的斜率分别为，求的值； （3）过点且平行于的直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 20. 已知数列，如果对任意的且，都有，则称为凸数列． （1）直接判断数列和是否为凸数列； （2）若是一个凸数列，证明：当，且时，有； （3）已知项数为的数列是一个凸数列，，且的所有项的和等于，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京一零一中2025－2026学年度第一学期期末考试 高二数学 （本试卷满分120分，考试时间100分钟） 命题：高二数学备课组 审核：贺丽珍 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的准线方程直接写出即可. 【详解】由，抛物线焦点在轴负半轴，且，即， 所以准线方程为. 故选：B. 2. 已知等差数列中，，，则公差等于（ ） A. －5 B. 2 C. 2 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式求解. 【详解】设等差数列的公差为， 则，， 所以， 故选：D 3. 在平面直角坐标系中，过坐标原点的直线与圆有且只有一个公共点，则线段的长为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定圆心和半径，利用切线长公式可求答案. 【详解】化为标准型为，圆心为，半径为； 由题意可知与圆相切，所以， 故选：D 4. 已知，当到直线的距离取得最大值时，直线的斜率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用已知条件求出直线恒过定点，再根据点到直线的位置关系得出距离取得最大值时，求出直线的斜率，进而求出直线的斜率． 【详解】直线，则， 直线恒过点， 设点到直线的距离为，直线恒过点，则当时，取最大值，最大值为， 所在直线方程的斜率为， 设直线斜率为， 当时，取最大值， ，解得，故A正确． 故选：A． 5. 设椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于两点，则的值是 A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：设椭圆的右焦点为连接则四边形是平行四边形，根据椭圆的定义得到=2a得解. 详解：设椭圆的右焦点为连接 因为OA=OB,OF=O,所以四边形是平行四边形. 所以, 所以=|AF|+=2a=4, 故答案为:C 点睛：（1）本题主要考查椭圆的几何性质，意在考查学生对椭圆基础知识的掌握能力. (2)解答本题的关键是能观察到对称性，得到四边形是平行四边形，这一点观察到了，后面就迎刃而解了. 6. 已知分别是双曲线的左、右焦点，是以线段为直径的圆与该双曲线的一个交点，且，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用圆的性质和三角形内角和定理求出，进而得到.再结合双曲线的定义和直角三角形的性质求出与的关系，最后根据双曲线的离心率公式求解. 【详解】因为是为直径的圆与双曲线的一个交点，所以，故， 由已知，所以，. 在中，，，所以. 利用勾股定理可以得到. 根据双曲线的定义即， 所以. 故选：A. 7. 已知直线被圆所截的弦长不小于2，则下列曲线中与直线一定有公共点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据圆的弦长确定圆心到直线的距离范围，再结合各选项中曲线的性质，判断直线与曲线是否一定有公共点即可. 【详解】因为圆的方程为，所以圆心，半径， 设圆心到直线距离为，则（其中为弦长）， 因为弦长不小于，所以，即， 两边同时平方可得，移项可得，即. 选项A： 抛物线的焦点为，准线方程为， 当直线为时，圆心到直线的距离， 满足，但直线与抛物线无公共点，A错误； 选项B：圆的圆心为，半径为， 当直线为时，直线与圆无公共点，B错误； 选项C：当直线为时，到圆心的距离，满足弦长条件， 将代入双曲线方程，得，， 则方程无实数解，所以直线与双曲线没有公共点，C错误. 选项D：椭圆，原点在椭圆内部，该椭圆上的点到中心距离的范围为 则直线一定过椭圆内部或椭圆上的点， 所以直线与椭圆一定有公共点，D正确. 故选：D. 8. 设是公比为的无穷等比数列，为其前n项和，，则“”是“存在最小值”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】假设，借助等比数列性质可得其充分性，举出反例可得其必要性不成立，即可得解. 【详解】若，由，则， 故必有最小值，故“”是“存在最小值”的充分条件； 当，时，有， 则有最小值， 故“”不是“存在最小值”的必要条件； 即“”是“存在最小值”的充分而不必要条件. 故选：A. 9. 如图1，取边长为6的正方形纸板，分别为三边的中点，先将等腰直角三角形沿虚线段裁去，再将剩下的五边形沿线段折起，连接，就得到了一个《九章算术》中所载的“刍甍”五面体（如图2）．若棱的长为5，则该五面体的体积为（ ） A. B. C. D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】使用补形的方法将五面体的体积转化成三棱柱的体积减去三棱锥的体积即可. 【详解】将五面体补回三棱柱，由题得底面， 五面体的体积可以看作是三棱柱的体积减去三棱锥的体积. 过点向作垂线，交BC于点H，则有， 在四边形中，且，则四边形为平行四边形， 故，所以， 在中，， 则，进而， 在中，，所以， 所以， 则，， 最终有. 故选：C. 10. 在平面直角坐标系中，已知曲线的方程为，则下列关于曲线的判断错误的是（ ） A. 曲线与直线交于3个不同的点，且这三个点的横坐标可以构成等差数列 B. 曲线经过5个整点（横、纵坐标都是整数的点） C. 曲线上存在一点，使得点到两坐标轴的距离之和大于2 D. 曲线上任意两点之间的最大距离为 【答案】C 【解析】 【分析】先求出交点坐标，再判断其横坐标成等差数列求解A；设曲线上点到原点的距离为，结合基本不等式和不等式的解法求得，再由曲线的对称性，可判定D；由D得到的取值范围即可分析求解整点的个数判定B；设出的坐标，再利用平方法结合基本不等式求解C即可. 【详解】对于A，联立方程组 解得或或， 则交点为，，， 而，故A正确， 对于D，设曲线上点到原点的距离为， 因为，所以，当且仅当时取等号， 又因为， 所以，解得，所以， 用代换，代换，方程不变，所以曲线关于原点对称， 所以曲线上两点的距离不超过，即曲线上任意两点之间最大距离为，故D正确， 对于B，由D得，所以， 又点满足曲线的方程， 所以曲线经过点，共计5个整点，故B正确， 对于C，由已知得，即， 设，则点到两坐标轴的距离之和为， 而， 由基本不等式得，当且仅当时取等， 则，即， 可得，故C错误. 故选：C 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 设双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的焦距为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】由给定的双曲线方程及渐近线方程求出，进而求出焦距. 【详解】双曲线的渐近线为，则，解得， 因此该双曲线半焦距，所以该双曲线的焦距为4. 故答案为：4 12. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若，则的面积为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】利用抛物线的定义和性质求出点的坐标，进而求出直线的方程，从而求出，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】 抛物线的焦点为， 焦点，准线为， 设点，则，解得， ，解得， 或， 横坐标相同， 轴，故直线的方程为，故点， ，解得， 或， ， ． 故答案为：2． 13. 如图，在棱长为4的正方体中．点是棱的中点，动点在面内，包括边界），若平面，则线段长度的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】通过构造面面平行的方法，判断出点的轨迹，从而求得的取值范围. 【详解】设分别是的中点，连接. 根据正方体的性质可知， 由于平面，平面， 所以平面， 又因，可得，则得， 由于平面，平面，所以平面， 由于平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面， 而平面，平面，平面平面， 故点的轨迹即线段. ， 三角形是等腰三角形，底边上的高为， 所以的取值范围是. 故答案为： 14. 已知数列的前项和为，点在函数的图象上，则数列的通项公式为_____；若数列满足，则的最小项的值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先由点在函数图象上得到前项和的表达式，再分和求出数列的通项公式；接着代入的表达式，计算前几项并通过作商判断时数列的单调性，从而确定最小项. 【详解】因为点在函数的图象上，故. 当时，. 当时，. 因此. 对于数列，，故. 当时，. ，，. 当时，. 由得，即，解得，故当时，单调递增. 比较，，，得的最小项为. 故答案为：；. 15. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A，F分别为椭圆C：(a＞b＞0)的右顶点和右焦点，过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，若Q，F，M三点共线，则椭圆C的离心率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设点B为椭圆的左顶点，由题得，化简即得解. 【详解】设点B为椭圆的左顶点，由题意知AM∥BQ，且AM＝BQ, ∴，则 求得a＝3c，即e＝． 故答案为 【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质和离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 16. 已知数列满足，给出下列四个结论： ①，数列均不为常数列； ②存在，使得数列单调递减； ③若，则存在，使得当时，； ④若，则存在，使得对任意，都有． 其中，所有正确结论的序号为_____． 【答案】②③ 【解析】 【分析】对于①，通过假设数列为常数数列，推出矛盾判断；对于②，分析数列的递推公式，判断是否存在满足条件的使数列单调递减；对于③，根据递推公式判断数列的单调性和取值范围；对于④，根据递推公式判断是否有界. 【详解】对于①，假设数列为常数数列，则， 那么可化为，所以，解得， 当时，， 以此类推，，此时数列为常数数列，所以①错误； 对于②，若数列单调递减，则， 由可得，即， 当时，恒成立，所以存在，使得数列单调递减，所以②正确； 对于③，当时，，则， 由，，可得，又，即， 所以数列从第二项开始是单调递减， 又因为，所以随着的增大越来越接近， 根据对勾函数性质，存在，使得当时，，所以③正确； 对于④，当时，易证对所有都有， 此时， 由累差法可得， 当时，，故，数列无界，故④错误； 故答案为：②③ 三、解答题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17. 已知是首项为1，公差为2的等差数列；是各项均为正数的等比数列，其前项和为． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的通项公式及的前项和． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式求出；根据等比数列的基本量运算求出，得解； （2）由（1）求出通项；再根据分组求和求得. 【小问1详解】 由题，，公差，故； 设等比数列的公比为，由，， 则，解得或，又，即， 故，则. 【小问2详解】 由（1），； . 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，． （1）求证：平面； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知． ①求二面角的大小； ②棱上是否存在点，使得直线与平面所成角为?若存在，求出长；若不存在，说明理由． 条件①：； 条件②：平面． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②存在点，且.​ 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理（一条直线垂直于平面内两条相交直线，则线面垂直）即可； （2）合理建立空间直角坐标系，①求两个平面的法向量，计算法向量夹角；②设在上的参数坐标，利用线面角公式列方程求解. 【小问1详解】 连接，因平面，、平面， 则且，即为直角三角形， 又，，则由勾股定理得， 在中，，且， 所以，为等腰直角三角形，也就是， 又因为，所以得平面. 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系（以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴，为与轴的交点）， 所以得，，，，. 由条件①：，，，可得 由条件②：平面，得，又因为，所以，也可得. 向量，，设， 有：，代入向量坐标：，取. 向量，，设， 同理列方程：，代入向量坐标：，取. 法向量夹角. 故二面角的大小为（即）. 设的坐标，则， 所以， 化简得，解得有效. 因此， 故存在点，且 19. 已知椭圆其上、下顶点分别为，左、右焦点分别为，，四边形是面积为8的正方形．过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点． （1）求椭圆的方程； （2）设直线的斜率分别为，求的值； （3）过点且平行于的直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 【答案】（1）. （2） （3）点Q在定直线上 【解析】 【分析】（1）利用正方形对角线相等且面积为8计算出b，c，进而求出椭圆C的方程. （2）根据点设出直线斜截式后联立化简即可求解 （3）根据已知条件对和的关系进行先猜后证，再联立两直线方程后即可求解. 【小问1详解】 由四边形是面积为8的正方形得：，解得， 由，解得. 综上，椭圆C的方程为：. 【小问2详解】 由直线MN过点，故设直线MN：，，，且有， 联立，化简得，其中， 由（1）得，则，， 则. 综上，的值为. 【小问3详解】 由（2）中韦达定理得，，， 根据形式先猜后证：，即，进而得，证明成立. 设过P平行于BM的直线方程为，直线AN的方程为， 联立，得，代入，得，代入直线AN的方程得. 综上，点Q在定直线上. 【点睛】根据复杂的条件形式进行先猜后证是解决圆锥曲线压轴题的常用方法，要仔细观察条件之间可能存在的系数关系. 20. 已知数列，如果对任意的且，都有，则称为凸数列． （1）直接判断数列和是否为凸数列； （2）若是一个凸数列，证明：当，且时，有； （3）已知项数为的数列是一个凸数列，，且的所有项的和等于，求的最大值． 【答案】（1）为凸数列；不是凸数列 （2）证明见解析 （3）2 【解析】 【分析】（1）根据凸数列的定义和通项公式进行验证即可判断结果； （2）利用凸数列可得，累加求和，结合中间值可比较大小； （3）先判断为凸数列，结合凸数列的特点得出，根据的为，放缩可求答案. 【小问1详解】 ，所以，. ，而， 因为，即，所以为凸数列. ，则，所以， 而，因为，即，所以不是凸数列. 【小问2详解】 因为是一个凸数列，所以对任意的且，都有，即， 当时，有， 所以，故. 又，故. 因为，所以. 【小问3详解】 因为数列是凸数列，所以， ，当且仅当时，等号成立， 即为凸数列，所以，所以， 所以； 因为的所有项的和等于，所以， 所以，当且仅当时取等号，此时数列为等差数列；而中等号成立要求为常数列. 设，则，由所有项的和为得，解得；故当时，取最大值2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $