第七章 一元一次不等式—— 一元一次不等式组求参问题 课件 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

第七章 一元一次不等式 学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 合作探究 课堂小结 随堂演测 一元一次不等式组求参问题 互动设计 1 一、知识梳理 1.1 基本概念 一元一次不等式组：由两个或两个以上含有相同未知数的一元一次不等式组成的不等式组。 参数：不等式组中除了未知数外，用字母表示的数，这些字母的值需要根据条件确定。 1.2 不等式组的解集 设不等式组的解集为各不等式解集的交集： - 若解集为空集，则不等式组无解 - 若解集为非空集合，则需根据参数条件讨论 1.3 基本步骤 分别解出每个不等式的解集 确定不等式组的解集（数轴法或口诀法） 根据解集特征建立关于参数的方程或不等式 解出参数的取值范围或具体值 二、核心题型与解题方法 2.1 题型一：已知不等式组的解集，求参数值 解题思路：先求出含参数的不等式解集，再与已知解集对比，建立方程。 例1：已知不等式组 x + 2a > 4 2x - b < 5 的解集为 1 < x ≤ 2，求a的值。 解： 1. 解第一个不等式：x > 4 - 2a 2. 解第二个不等式：x < (5 + b)/2 3. 解集为：4 - 2a < x < (5 + b)/2 4. 已知解集为 0 < x < 2 5. 建立方程组： 4 - 2a = 0 (5 + b)/2 = 2 6. 解得：a = 2，b = -1 2.2 题型二：已知不等式组有解/无解，求参数范围 核心思路： 1. 先解：将不等式组中不含参数的不等式解出来，得到一个确定的解集（如 x < m 或 x ≥ n）。 2. 含参处理：将含有参数的不等式解出来，解集通常表示为 x > a 或 x < a（其中 a 是参数）。 3. 数轴分析（关键）：在脑海中或草稿上画出数轴，标出确定解集的范围，然后分析含参解集的位置如何变化，才能满足题目要求的“有解”或“无解”条件。 4. 判断端点：特别注意参数 a 的边界值（等号能否取到），这往往是易错点。。 例2.已知关于x的不等式组 若不等式无解，求a的取值范围 情况一：a - 2 > 0，即 a > 2。 此时，第一个不等式两边除以正数 (a-2)，不等号方向不变：x > 。 不等式组为： 要使其无解，则 x > K 与 x < 1 无公共部分，需 K ≥ 1。即 4/(a-2) ≥ 1。 解 ≥ 1，结合 a>2，得 2 < a ≤ 6。 情况二：a - 2 < 0，即 a < 2。 此时，第一个不等式两边除以负数 (a-2)，不等号方向改变：x < 。 注意：因为 a<2，所以 是一个负数。 不等式组为“同小”，不会空 情况三：a - 2 = 0，即 a = 2。 第一个不等式变为 0 ，x > 4，即 0 > 4，这是一个永假不等式。因此，第一个不等式无解，导致整个不等式组无解。 答案：最终范围是 2 ≤ a 2.3 题型三：已知不等式组的整数解个数，求参数范围 解题思路：先确定不含参数的不等式解集，再根据整数解个数确定参数的临界值。 例3：已知关于x的不等式组 3x + 2 > 2(x - 1) x + 8 > 4x + m 有且只有两个整数解，求m的取值范围。 解： 1. 解第一个不等式：3x + 2 > 2x - 2 → x > -4 2. 解第二个不等式：x + 8 > 4x + m → 3x < 8 - m → x < (8 - m)/3 3. 综合得：-4 < x < (8 - m)/3 4. 整数解为：-3，-2（只有两个） 5. 分析：-2 < (8 - m)/3 ≤ -1？ 不对，重新分析：要使整数解为-3，-2，需要： -3和-2在解集中，-1不在解集中 6. 即：-2 < (8 - m)/3 ≤ -1？不对 应该是：-2 < (8 - m)/3 且 (8 - m)/3 ≤ -1？不对 正确分析：要使整数解为-3，-2，则： -1不在解集中，即(8 - m)/3 ≤ -1 -3在解集中，即(8 - m)/3 > -4（自动满足） 7. ∴ (8 - m)/3 ≤ -1 且 (8 - m)/3 > -2 8. 解：8 - m ≤ -3 且 8 - m > -6 → m ≥ 11 且 m < 14 → 11 ≤ m < 14 2.4 题型四：含双参数的不等式组问题 解题思路：分别解不等式，根据解集关系建立关于参数的方程组。 例4：若不等式组 2x - a < 1 x - 2b > 3 的解集为 -1 < x < 1，求(a + 1)(b - 1)的值。 解： 1. 解第一个不等式：2x < a + 1 → x < (a + 1)/2 2. 解第二个不等式：x > 3 + 2b 3. 解集为：3 + 2b < x < (a + 1)/2 4. 已知解集为：-1 < x < 1 5. 建立方程组： 3 + 2b = -1 (a + 1)/2 = 1 6. 解得：b = -2，a = 1 7. ∴ (a + 1)(b - 1) = (1 + 1)(-2 - 1) = 2 × (-3) = -6 三、易错点与注意事项 3.1 易错点总结 端点值取舍：注意”≤“与”<“的区别，取等号的情况需要单独验证 参数位置：参数可能在系数位置，也可能在常数位置，解法不同 方向改变：当不等式两边乘以或除以负数时，不等号方向要改变 整数解理解：“有3个整数解”与”只有3个整数解”含义不同 3.2 解题技巧 数轴辅助法：在数轴上标出解集，直观判断参数范围 端点验证法：对于临界值，代入验证是否满足题意 分类讨论法：当参数情况不确定时，按不同情况分别讨论 整体代入法：有时将参数表达式看作整体更简便 四、综合训练题 础题 若不等式组 x > m x < 5 有解，求m的取值范围。 答案：m < 5 解析：要使 x > m 且 x < 5 有解，必须 m < 5。当 m = 5 时，解集为空集。 1.关于x的不等式组 > 1 2x - a < 0 的整数解共有3个，求a的取值范围。 答案：-4 ≤ a < -2 解析：解第一个不等式得 x > 1。解第二个不等式得 x < a/2。综合得 1 < x < a/2。整数解有3个，即为2, 3, 4。所以 4 < a/2 ≤ 5？不对，应该是 4 < a/2 ≤ 5？重新分析： 整数解为2, 3, 4，则 a/2 在4和5之间，即 4 < a/2 ≤ 5？不对，应该是 4 ≤ a/2 < 5？也不对。 正确分析：整数解为2, 3, 4，那么 a/2 应该大于4且小于等于5，即 4 < a/2 ≤ 5。解得 8 < a ≤ 10。 检查：当 8 < a ≤ 10 时，解集为 1 < x < a/2，a/2 在4到5之间，整数解确实为2, 3, 4。 修正：原解第二个不等式 2x - a < 0 得 x < a/2，所以解集为 1 < x < a/2。 整数解有3个，即2, 3, 4，那么需要 4 < a/2 ≤ 5，解得 8 < a ≤ 10。 合 作 探 究 师生合作探究是一种以学生为中心的教学方法，强调师生共同参与学习过程，通过合作解决问题、探索知识。其核心在于师生平等互动，教师不再是单纯的知识传授者，而是引导者和协作者，学生则主动参与知识的构建。 返回主页 已知不等式组 2x - 1 > 3 x < a 的解集为 x > 2，求a的取值范围。 答案：a > 2 解析：解第一个不等式得 x > 2。要使不等式组的解集为 x > 2，必须有 a > 2。如果 a ≤ 2，则解集为 2 < x < a 或无解。 2.已知关于x的不等式组 x - a ≤ 0 2x + 3 > 1 的整数解之和为-5，求a的取值范围。 答案：-3 < a ≤ -2 解析：解第一个不等式得 x ≤ a。解第二个不等式得 2x > -2 → x > -1。 综合得 -1 < x ≤ a。整数解之和为-5。 可能的整数解组合： 只有0时，和为0，不符合 只有-1？但-1不在解集中 0和-5？和为-5，但-5不在-1到a之间 -2和-3？和为-5 所以整数解为-2和-3。 那么解集需要包含-3和-2，但不包含-1和-4。 即 a ≥ -2 且 a < -1，同时要包含-3，所以 a > -4。 综合得 -3 < a ≤ -2。 课 堂 小 结 课堂小结是教学过程中不可或缺的环节，它不仅帮助学生巩固知识、提升学习效果，还能促进教师反思教学、优化课堂设计。通过有效的课堂小结，师生可以共同实现教学目标，提高教学效率和学习质量。 返回主页 1 2 3 4 认真领会 通过本专题的学习，希望你能掌握一元一次不等式组求参问题的基本方法和技巧。在解题时，务必注意数形结合，仔细分析端点值的取舍，加强练习以提高解题能力。 30 $