精品解析：四川省合江县马街中学校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025年秋期马街中学九年级数学学科期末试卷 全卷满分为150分；考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号和座位号填写在答题卡上． 2．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上无效． 3．每小题答案选出后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案． 一、单选题（共48分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 年月天问一号成功观测到星际天体阿特拉斯，观测时距离该天体约万千米，用科学记数法表示约万为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的情况一定有13次 B. “湖北某地明天降雨的概率为0.6”表示该地明天一定降雨 C. “随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数”是随机事件 D. “太阳东升西落”是不可能事件 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解一元二次方程，可变形为（    ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. 60 D. 7. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(　　) A. B. C. D. 8. 某位教育家曾说过：“让学生变聪明的方法，不是补课，而是阅读、阅读、再阅读．”嘉琪统计了某校九年级（1）班五位同学每周课外阅读的平均时间，其中四位同学每周课外阅读时间分别是5小时、8小时、10小时、4小时，第五位同学每周的课外阅读时间既是这五位同学每周课外阅读时间的中位数，又是众数，则第五位同学每周课外阅读时间是（　　） A. 5小时 B. 8小时 C. 5或8小时 D. 5或8或10小时 9. 某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率，第3年的销售量为台，则关于的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的直径，是上一点，是另一侧半圆的中点，若，，则的长为（） A. B. C. D. 11. 如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（ ） A. B. C. D. 12. 如图是函数的图象，直线轴且过点，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 二、填空题（共20分） 13. 因式分解__________. 14. 若一元二次方程两根分别为，则______； 15. 若点与点B关于y轴对称，则点B的坐标是______． 16. 将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是_____cm2． 17. 如图，在等边中，，半径为1的在等边内平移可以与该三角形的相切），则点到上的点的距离最大值为 ____． 三、解答题（共82分） 18. 计算． 19. 计算：． 20. 某校秉持“好事办好尽职责，托管服务暖人心”的宗旨，多措并举推进“双减”落地，努力办好人民满意的教育，该校体育组开展了四项活动，分别为：A．篮球；B．乒乓球；C．羽毛球；D．足球．每位学生只能选择其中的一项．为了更加有效、有序地搞好托管工作，调查组在全校范围内随机抽取了若干名学生进行调查，得到如下的统计图表．根据所给信息解答下列问题： 调查学生体育活动统计表 活动 频数 频率 A m B 60 p C n D 48 调查学生体育活动扇形统计图 （1）直接写出表中m，n，p的值； （2）B所在扇形的圆心角的度数是 ； （3）如果全校有2400人，估计选羽毛球的人数是多少？ （4）请用画树状图或列表的方法说明学生小明与小亮选择同一项活动的概率． 21. 某超市以每件元的价格购进一种文具，经过市场调查发现，该文具的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价元 每天销售数量件 （1）求与之间的函数关系式； （2）若该超市每天销售这种文具获利元，则销售单价为多少元？ （3）设销售这种文具每天获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 23. 如图，甲，乙两艘巡逻艇在某海域处时，收到指令要分别途经海上观测点和，并最终到达处正北方向200海里的处执行任务．观测点在出发点的西北方向且在目的地的西南方向，观测点在出发点的北偏东方向且在目的地的北偏东方向．（参考数据：） （1）求AC的距离．（结果保留根号） （2）在本次任务执行中，甲巡逻艇选择途经观测点，乙巡逻艇选择途经观测点，已知甲巡逻艇的速度为每小时20海里，乙巡逻艇的速度比甲巡逻艇的速度每小时快10海里，请通过计算说明甲、乙巡逻艇谁先到达目的地D．（结果精确到0.1） 24. 如图，在中，，以为直径作，为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：直线与相切； （2）若，，求的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线过点A和点C，与x轴交于点B． （1）求这个二次函数的表达式； （2）抛物线对称轴与直线交于点D，若P是直线上方抛物线上的一个动点（点P不与点A，C重合），求面积的最大值； （3）点M是抛物线对称轴上的一动点，x轴上方的抛物线上是否存在点N，使得是以为直角边的等腰直角三角形；若存在，请直接写出点N坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期马街中学九年级数学学科期末试卷 全卷满分为150分；考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号和座位号填写在答题卡上． 2．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上无效． 3．每小题答案选出后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案． 一、单选题（共48分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某一点旋转后，能够与原图形完全重合，那么这个图形就是中心对称图形． 根据中心对称图形的概念和各个图形的特点即可求解． 【详解】解：A、符合中心对称图形的概念； B、不符合中心对称图形的概念； C、不符合中心对称图形的概念； D、不符合中心对称图形的概念； 故选：A． 2. 年月天问一号成功观测到星际天体阿特拉斯，观测时距离该天体约万千米，用科学记数法表示约万为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的运用，正确确定a，n的值是关键. 科学记数法的表示形式为，确定值的方法：当原数的绝对值大于等于时，把原数变为时，小数点向左移动位数 即为的值；当原数的绝对值小于时，小数点向右移动位数的相反数即为的值，由此即可求解． 【详解】解：∵万， ∴ 故选：B． 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的情况一定有13次 B. “湖北某地明天降雨的概率为0.6”表示该地明天一定降雨 C. “随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数”是随机事件 D. “太阳东升西落”是不可能事件 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、随机事件、不可能事件的判断，掌握必然事件、随机事件、不可能事件的定义是解此题的关键．根据必然事件、随机事件、不可能事件的定义逐一分析即可． 【详解】解：A．任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的情况有13次是随机事件，故本选项错误； B．“湖北某地明天降雨的概率为0.6”表示该地明天降雨是随机事件，故本选项错误； C．“随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数”是随机事件，故本选项正确； D．“太阳东升西落”是必然事件，故本选项错误． 故选：C． 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘及合并同类项，熟知以上知识是解题的关键．分别根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、与不是同类项，不能合并，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 故选：B． 5. 用配方法解一元二次方程，可变形为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．通过移项和配方，将方程转化为完全平方形式，再对比选项得出答案． 【详解】解：∵ ， 移项，得 ， 配方，得 ， 即 ． 故选：B． 6. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. 60 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是解题的关键． 根据圆锥侧面展开式扇形，由扇形面积的计算方法“扇形弧长扇形半径”即可求解． 【详解】解：圆锥的底面半径为， ∴底面圆的周长为， ∴圆锥侧面展开图的扇形弧长为， ∴扇形面积， 故选：B ． 7. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）．根据一元二次方程的定义解答． 【详解】解：A. ，时不是一元二次方程，故此选项错误； B. ，含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项错误； C. ，化简后方程为，是一元二次方程，此选项正确； D. ，化简后方程为，是一元一次方程，故此选项错误． 故选：C． 8. 某位教育家曾说过：“让学生变聪明的方法，不是补课，而是阅读、阅读、再阅读．”嘉琪统计了某校九年级（1）班五位同学每周课外阅读的平均时间，其中四位同学每周课外阅读时间分别是5小时、8小时、10小时、4小时，第五位同学每周的课外阅读时间既是这五位同学每周课外阅读时间的中位数，又是众数，则第五位同学每周课外阅读时间是（　　） A. 5小时 B. 8小时 C. 5或8小时 D. 5或8或10小时 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数、众数的定义等知识点、理解中位数、众数的定义是解题的关键． 分别将各选项时间代入，然后运用中位数和众数的定义分析判断即可． 【详解】解：当第五位同学的课外阅读时间为4小时时，此时五个数据为4，4，5，8，10，众数为4，中位数为5，不合题意； 当第五位同学的课外阅读时间为5小时时，此时五个数据为4，5，5，8，10，众数为5，中位数为5，符合题意； 当第五位同学的课外阅读时间为8小时时，此时五个数据为4，5，8，8，10，众数为8，中位数为8，符合题意； 当第五位同学的课外阅读时间为10小时时，此时五个数据为4，5，8，10，10，众数为10，中位数为8，不合题意； 故第五位同学的每周课外阅读时间为5或8小时． 故选C． 9. 某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率，第3年的销售量为台，则关于的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据增长率问题的计算公式解答． 【详解】解：第2年的销售量为， 第3年的销售量为， 故选：B． 【点睛】此题考查了增长率问题的计算公式，a是前量，b是后量，x是增长率，熟记公式中各字母的意义是解题的关键． 10. 如图，是的直径，是上一点，是另一侧半圆的中点，若，，则的长为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查圆的性质，，勾股定理，圆周角定理，掌握定理以及性质是解题的关键． 过作，连接，，由圆周角定理可得，进而得到，再根据是另一侧半圆的中点，得到，继而得到，进而得到，再由，即可得到，即可求． 【详解】解：过作，连接，， 是的直径， ， ，， ，， 是另一侧半圆的中点， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ，解得， ， ， ，即，解得， ． 故选：C． 11. 如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x,根据特殊角三角函数可得高为,由此得出面积y是x的二次函数,直到重合面积固定,再往右移动重叠部分的边长变为(4－x),同时可得 【详解】C点移动到F点,重叠部分三角形的边长为x,由于是等边三角形,则高为,面积为y=x··=, B点移动到F点,重叠部分三角形的边长为(4－x),高为,面积为 y=(4－x)··=, 两个三角形重合时面积正好为. 由二次函数图象的性质可判断答案为A, 故选A. 【点睛】本题考查三角形运动面积和二次函数图像性质,关键在于通过三角形面积公式结合二次函数图形得出结论. 12. 如图是函数的图象，直线轴且过点，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则M的范围可知. 【详解】解：如图1所示， ∵， ∴顶点坐标为， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴当时， ， ∴此时最大值为0，最小值为； 如图2所示，当时， 此时最小值为，最大值为1． 综上所述：， 故选C． 【点睛】 此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的m的值为解题关键． 二、填空题（共20分） 13. 因式分解__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据提公因式法和公式法分解因式. 【详解】解： 故答案为. 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法.因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止. 14. 若一元二次方程两根分别为，则______； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；由题意易得，然后代入进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为． 15. 若点与点B关于y轴对称，则点B的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可解答． 【详解】解：点关于y轴对称的点B的横坐标是2，纵坐标不变，仍为1， 因此点B的坐标为， 故答案为． 16. 将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是_____cm2． 【答案】 【解析】 【详解】∵等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′， ∵∠CAC′=15°， ∴∠C′AB=∠CAB﹣∠CAC′=45°﹣15°=30°，AC′=AC=5， ∴阴影部分的面积=×5×tan30°×5=． 故答案为：． 17. 如图，在等边中，，半径为1的在等边内平移可以与该三角形的相切），则点到上的点的距离最大值为 ____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点到圆的距离，圆外一点到圆上的点的最短距离和最长距离都在此圆外的点与圆心的连线所在的直线上，记圆外的点为，圆上的点为，圆心为，记，圆的半径为，则当，，共线时，若在线段之间，则取最小值，若在线段之间，则取最大值． 【详解】解：当与、相切时，如图，连接，，延长交于， ∵是等边三角形，半径为1 ∴， 根据勾股定理可得， ， ， ， 点到上的点的距离的最大值为． 故答案为：． 三、解答题（共82分） 18. 计算． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算涉及零指数幂、负整数指数幂、算术平方根，乘方等概念，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据实数混合运算法则计算即可解答． 【详解】解：原式 ． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式的混合运算．先计算括号内的减法，再计算分式的除法即可． 【详解】解： 20. 某校秉持“好事办好尽职责，托管服务暖人心”的宗旨，多措并举推进“双减”落地，努力办好人民满意的教育，该校体育组开展了四项活动，分别为：A．篮球；B．乒乓球；C．羽毛球；D．足球．每位学生只能选择其中的一项．为了更加有效、有序地搞好托管工作，调查组在全校范围内随机抽取了若干名学生进行调查，得到如下的统计图表．根据所给信息解答下列问题： 调查学生体育活动统计表 活动 频数 频率 A m B 60 p C n D 48 调查学生体育活动扇形统计图 （1）直接写出表中m，n，p的值； （2）B所在扇形的圆心角的度数是 ； （3）如果全校有2400人，估计选羽毛球的人数是多少？ （4）请用画树状图或列表的方法说明学生小明与小亮选择同一项活动的概率． 【答案】（1），， （2） （3）估计选羽毛球的人数约是960人 （4） 【解析】 【分析】（1）由的频数除以频率得出抽取的学生人数，即可解决问题； （2）由乘以所占的比例即可； （3）由全校人数乘以选羽毛球的人数的频率即可； （4）画树状图，共有16种等可能的结果，其中学生小明与小亮选择同一项活动的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：抽取的学生人数为：（人， ，，； 【小问2详解】 解：所在扇形的圆心角的度数是：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：（人， 答：如果全校有2400人，估计选羽毛球的人数约是960人； 【小问4详解】 解：画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中学生小明与小亮选择同一项活动的结果有4种， 学生小明与小亮选择同一项活动的概率为． 【点睛】本题考查了树状图法求概率以及频数分布表和扇形统计图等知识，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 21. 某超市以每件元的价格购进一种文具，经过市场调查发现，该文具的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价元 每天销售数量件 （1）求与之间的函数关系式； （2）若该超市每天销售这种文具获利元，则销售单价为多少元？ （3）设销售这种文具每天获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）； （2）销售单价应为元或元； （3）当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是根据利润单件利润销售量列出函数解析式． （1）设与之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式； （2）依据利润单件利润销售量列出方程，解答即可； （3）根据利润单件利润销售量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值． 【小问1详解】 设与之间的函数关系式为， 由所给函数图象可知：， 解得：， 故与的函数关系式为； 【小问2详解】 根据题意得： ， 解得：，， 答：销售单价应为元或元； 【小问3详解】 由题意可知： ， ， 抛物线开口向下， 对称轴为直线， 当时，有最大值，． 答：当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 23. 如图，甲，乙两艘巡逻艇在某海域处时，收到指令要分别途经海上观测点和，并最终到达处正北方向200海里的处执行任务．观测点在出发点的西北方向且在目的地的西南方向，观测点在出发点的北偏东方向且在目的地的北偏东方向．（参考数据：） （1）求AC的距离．（结果保留根号） （2）在本次任务执行中，甲巡逻艇选择途经观测点，乙巡逻艇选择途经观测点，已知甲巡逻艇的速度为每小时20海里，乙巡逻艇的速度比甲巡逻艇的速度每小时快10海里，请通过计算说明甲、乙巡逻艇谁先到达目的地D．（结果精确到0.1） 【答案】（1）海里 （2） 解：中，， ． ， ． ． 甲巡逻艇用时为小时． 由（1）知 ． 海里． 乙巡逻艇用时为小时． ， 乙巡逻艇先到达目的地． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，涉及锐角三角函数，本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．有公共直角边的先求这条直角边． （1）过点作，垂足为，先求得，由，求得，在中，，再求解即可； （2）先求得，再由，可得，从而得出，可得出甲巡逻艇用时为小时，再求得，得出海里，再比较可得出结论． 【小问1详解】 解：如图，过点作，垂足为． 由题意，得，在中，， ． ， ． 在中，． 海里． 【小问2详解】 略 24. 如图，在中，，以为直径作，为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：直线与相切； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）连接，证明 即可求证； （）设， 则，利用勾股定理可得，得到，，又设，则，利用勾股定理得，即得，再利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵为上一点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又为的半径； ∴直线与相切； 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线过点A和点C，与x轴交于点B． （1）求这个二次函数的表达式； （2）抛物线对称轴与直线交于点D，若P是直线上方抛物线上的一个动点（点P不与点A，C重合），求面积的最大值； （3）点M是抛物线对称轴上的一动点，x轴上方的抛物线上是否存在点N，使得是以为直角边的等腰直角三角形；若存在，请直接写出点N坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）面积的最大值是 （3）点N坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）先求得点A，C的坐标，再用待定系数法可得； （2）过作轴交于，求出的对称轴直线，，设，则，利用三角形面积公式可得关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可； （3）设，分，和，，两种情况列方程可解得答案． 【小问1详解】 解：对于直线，令，则；令，则；∴，，把，代入得： ， 解得， ； 【小问2详解】 解：过作轴交于，如图： 在中，对称轴为直线， 当时，， ， 设，则， ， ∴ ， ， 当时，取最大值为5； ∴面积的最大值为5； 【小问3详解】 解：∵，对称轴为直线， 设， 当，，过点N作轴的平行线交对称轴于点，过点A作轴的平行线交于点，如图， ∴， ∴， ∴，， ∴， 整理得， 解得， ∴点N坐标为或； 当，，过点N作轴的垂线交轴于点，对称轴直线交轴于点，如图， 同理，则，即， 整理得， 解得， ∴点N坐标为或； 综上，点N坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形性质及应用等，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $