四川省绵阳市高中2025-2026学年高三第二次诊断性考试数学试卷 A

绵阳市高中2023级第二次诊断性考试 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．D 2．C 3．A 4．B 5．C 6．D 7．B 8．A 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．BD 10．ABD 11．ABD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12．60◦； 13．6； 14．2 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）由正弦定理得：， 2分 又∵， 3分 ∴， 4分 ∴， 5分 ∴， 6分 又sinB， ∴； 7分 （2）由余弦定理：， 9分 ∴， 11分 ∵△ABC的周长为8， ∴， 12分 ∴c=2，则． 13分 16．解：（1）∵， 2分 ∴，又， 4分 ∴所求切线方程为：， 6分 （2）∵， 8分 所以由，得的单调递增区间为：(2，3)，(6，+∞)； 9分 由得的单调递减区间为：(3，6)， 10分 ∵，， 12分 ∵，则， 14分 所以的最小值为． 15分 17．解：（1）证明：∵，， ∴两式相减得， 2分 即， 4分 又∵， ∴数列是首项为2，公比为2的等比数列； 6分 （2）由（1）易得，， 7分 ，， ∴两式相加得， 8分 即，， 9分 当时，满足上式， ∴数列是首项为4，公差为4的等差数列，易得， 11分 ∴ ，解得， 13分 ∴ 14分 ． 15分 18．解：（1）将点代入椭圆方程可得：，， 1分 解得：，， 2分 ∴椭圆方程为：； 3分 （2）方法一：设，，， ∴，， 由，则，即， 4分 代入椭圆方程可得：， 整理得：， 5分 又，在椭圆上，则，， 代入上式可得：，平方可得：， 6分 ∵直线OA的方程为：， ∴点到直线OA的距离， 7分 ∴△OAB的面积：， 8分 ∴ ， 9分 ∴△OAB的面积为定值； 10分 （2）方法二：设，，， ∴，， 由，则，即， 4分 代入椭圆方程可得：， 整理得：， 5分 又，在椭圆上，则，， 代入上式可得：， 又，在直线上， 故，则， 整理得到：……（*） 6分 联立方程：，整理得到：， 由， 由韦达定理：代入（*）式，得：， 7分 此时： ， 8分 O(0，0)到直线的距离：， 9分 所以△OAB的面积：； 10分 （3）设，，，， ∵直线AB与直线DE平行，则直线AB与直线DE的斜率均为， 由平行关系，可设，即，， 11分 由，则， ∴， 12分 同理，由可得：， 又，在椭圆上，故，， 相减可得：， 13分 ∴，则……③ 14分 同理：，则……④ 15分 ③+④可得：， 16分 ∴，又，故m=2n． 17分 19．解：（1）证明：由题意，可知， 1分 如解图1，取PE中点H，连接HF，HG， 则HF⊥PE，GH⊥PE，结合HF，HG平面HGF， 故PA⊥平面HGF， 2分 又∵FG平面HGF，故PA⊥FG； （2）设AC与BD的交点为O， ∵平面PAC，平面PAC平面EBD = EO， 结合PC∥平面EBD，故PC∥EO， 4分 ∵E为PA的中点，故O为AC的中点， 如解图2所示，建立空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，P(0，0，2)，， 设，，AC中点O(1，0，0)， 则有，∵， 故， 得，同理可得， 5分 不妨设，，其中，， ∵BD过O(1，0，0)，从而， 由，， 得，则， 6分 设平面PAB与平面PAD的法向量分别为，， 从而有，即，可得， 同理可得， 7分 故 ， 8分 且易知，满足θ为钝角， 而，当且仅当，时取等， 故， 二面角B-AP-D的平面角的余弦值的最大值为； 10分 （3）∵BD//FG，且PA⊥FG， 故PA⊥BD，结合PC⊥平面ABD，则可得PC⊥BD， 因此BD⊥平面PAC，故BD⊥AC， 由（2）知，， 故B，D关于平面PAC对称， 设，则，其中且， 设△ABD的外心为S，显然S应在x轴上， 设，∵|SB|=|SA|， 故有，整理得， 12分 同时PA在平面PAC中的垂直平分线恰为CE， 因此球心T即为过S且垂直于平面ABD的直线与CE的交点， 故， 13分 令，则且，代入及表达式， 得， 因此，令， 故，且， 14分 且给定该球的半径时，三棱锥P-BCD的体积有3个可能的值， 等价于有3个不同的解，即有3个不同的解， ①当时，关于w的方程， 在区间上有唯一解， 此时关于v的方程仅在区间(‒2，0)有一解，不满足题意； 15分 ②当时，关于w的方程恰有两解， ，方程在区间(‒2，0)有1解，有唯一解．故共有2组解，不满足题意； 16分 ③当时，关于w的方程在，分别有一解. 此时关于v的方程在区间(‒2，0)有一解，在有2解，共3解，符合题意， 因此，即， 综上所述，该球半径的取值范围是； 17分 思路二：令，则且， 代入的表达式为：， 则，结合，后同解法一的讨论． 方法二：（3）∵BD//FG，且PA⊥FG，故PA⊥BD，结合PC⊥平面ABD，则可得PC⊥BD， 因此BD⊥平面PAC，故BD⊥AC，由（2）知，， 故B，D关于平面PAC对称，设，则，其中且， 设球心，则， ∴ 化简整理得：，且，故， 下同方法一． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $秘密★启用前【考试时间：2026年1月21日15：00一17：00】 高中2023级第二次诊断性考试 数学 注意事项： 1.考生领到答题卡后，须在规定区域填写本人的姓名、考号和班级。 2.考生回答选择题时，选出每小题答案后，须用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案 标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。考生回答非选择题时，须 用0.5mm黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上。选择题和非选择题的答案写在试卷或草 稿纸上无效。 3.考生不得将答题卡带离考场，考试结束后由监考员收回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的， 1.已知复数1-i的共轭复数为z,则z= A.-2i B.0 C.-2 D.2 2.若直线l1:+y1=0与直线2：ocy+2=0(k∈R)垂直，则= A.-1 B.0 C.1 D.2 3.已知集合A={x-1<x<1},B={xlx<1},则AUB= A.(-1,e) B.(-1,0) C.(0,1) D.(0,e) 4.已知直线m,平面a,B,若ma,则“a⊥B”是“m⊥B”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 Q 1 5.已知tan n2=2,则sina- A.3 3 B. C. 数学试题第1页（共4页） 6.已知□ABCD的两条对角线相交于点O,M为CD的中点，若OA=a,OB=b,则 OM- A.atb B.、 2a+3b 2 C.at 2 D.0 7.体积为6√3π的圆柱的底面直径和高都等于球O的直径，则球O的表面积为 A.23n B.12π C.6π D.4N5元 8.已知抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点F在x轴上，且经过点A(2,2√2)，直线 AF交C于另一点B,直线AO交C的准线于点D,则|BD= A月 B.√2 C.2 D.22 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知函数f)=si血x+5sin(行-习，则 A.f(π)=V3 B.f(x)的最小值为-2 C.f(x)的最小正周期为π D.f5-)=f 10.已知函数f(x)=x3+e-e*,则 A.f(x)是奇函数 B.f(x)在(-2，-1)上有零点 C.f(x)在(-1,1)上单调递增 D.f(x)有4个极值点 11.已知双曲线C的实轴长为2，左，右焦点分别为F(-2,0),F2(2,0),P,9分别是 半径都为2的⊙F1,⊙F2上的动点，且满足线段PF2的垂直平分线m与直线PF1相交 于点M,线段QF1的垂直平分线n与直线2F2相交于点N,O为坐标原点，则 A.C的离心率为2 B.M,N的轨迹都是双曲线C C.m与C有2个公共点 D.若n与C的两条渐近线分别交于A,B两点，则△AOB的面积为√5 数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知a=2,b=1,若b⊥(a-b),则a与b的夹角为 13.已知等差数列a,}的首项a=分，公差d=号，前m项和，=-2，则n= 14.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=120°，AC=BCAA=2,M为AA1的中点，若平 面BCM与平面B1CM的交线为l,则点B到直线I的距离为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3 acos B=3c-b. (1)求cosA; (2)若2b=3c,且△ABC的周长为8，求a. 16. (15分) 己知函数f闪=x-2-3nx. (1)求曲线y=f(x)在点(3，f(3)处的切线方程； (2)求f(x)的单调区间及最小值. 17.(15分) 己知数列{an}，{bn}满足a1=3，b=1，an=a-1-b-+2n,bn=b-1-an-1+2n, (n≥2). (1)证明：数列{an-bn}是等比数列： (2)求{an}的通项公式，并求{an}的前n项和Sn. 18.(17分) 已知椭圆C: +京=1(a>b>0)经过220)，2,1)两点. x2,y2 (1)求C的标准方程； (2)直线：y=c+t交C于A,B两点. 数学试题第3页（共4页） ()若C上存在异于A,B的一点P,满足2A亚=OB(O为坐标原点)，试探究△ OAB的面积是否为定值？若是，请求出该值，若不是，请说明理由： (ii)已知点Q(m,n)在C的内部，延长AQ,BQ分别交C于D,E两点，且 DEAB,若k≤，求m,n满足的关系式！ 19.(17分) 如图所示，已知四棱锥P-ABCD,PC⊥平面ABCD.点E为PA的中点，EF⊥PB,EG ⊥PD,垂足分别为F,G,PC=2,P4=2√2，EF=EG=1. D (1)证明：PA⊥FG; (2)若PC∥平面EBD,设二面角B-AP-D的平面角 E 为0，且0为钝角，求cos0的最大值； (3)若BDIIFG,点P,A,B,D都在同一个球面上， A-- 且给定该球的半径时，三棱锥P-BCD的体积有3个可能 的值，求该球半径的取值范围. B 数学试题第4页（共4页)