湖南省株洲市2025-2026学年高三上学期教学质量统一检测数学试题

株洲市2026届高三年级教学质量统一检测 数学参考答案 第I卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是 正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.) 题号 1 2 3 4 5 6 7 P 答案 C B A C D A D B 二、 选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.) 题号 9 10 11 答案 BC BC ABD 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.) 12.1:13.a2:14.2W6 3 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.解(1)根据题意得：(0.005×2+a+0.02×2+0.04)×10=1, 解得a=0.01…(4分) (2)设样本中居民的运动时长的平均数为x, x=15×0.05+25×0.1+35×0.2+45×0.4+55×0.2+65×0.05=42.5 所以估计该社区全体居民的每日平均运动时长为42.5分钟…(8分) (3)从该社区居民中随机抽取一名居民，根据直方图中的信息，估计每日运动时长在在50分 钟以上的餐率子随机交址X服从二项分布，XB4宁，K-4×子1…13分) 16.解(1)sin(C-B)=sin2 B cosA,又C=π-(A+B), ∴.sin[元-(A+2B)]=sin2 BcosA .sin(A+2B)=sin2 BcosA…(2分) .'.sin A cos 2B+sin 2B cos A=sin 2B cos A .sin Acos:2B=0…（5分) A∈(0，)，∴sinA>0. c0s2B=0,又：B为脱角，2B-号B= ,…(7分) 4 (2)∠ABC= ∠ABD=2∠CBD, 4 ·∠ABD=T 12…(8分) ∠CBD= 数学答案第1页共4页 在△ABC中， BC AC BC AC① sinA sin∠ABC sinA sin- 4 BC CD BC CD 在△BCD中， sin∠3DC sin∠CBD sin(+")sin 6 12 BC AC② sin(+ ）2sin元 6 12 sin(A+万）2sin元 由①和②，得 6二 12,…(13分) sin A π sin 4 sin(=2sinsin4. 2 6 12 2cosA+V6sinA=2(v6-2)sinA,v2cos4=(V6-2v)sinA, tanA=-2-V3.…(15分) 17.解(1)如图(I),设DM的中点为Q,连接QG,QE, Q,G分别为DM,CM的中点， QG/LDC. =2 又~EH∥DC, =2 四边形EQGH为平行四边形. .GH∥EQ. 又~GH工平面DEM,EQ≤平面DEM, M 图(I) ∴.GH∥平面DEM.…（5分) (2)如图(I),设K的线段DM的中点，以HM,HF,HK为x,y,z轴建立空间直角 坐标系H一xz,如图所示.不妨设EF=2,则 00.00,MW3.0,0,r01,0,co2,g0,-10D0,-12,G93 0=6l-.质-=90.D-0-l.6分) 设平面DGH的法向量为n=(x,y,z),则 LHG n.HG=0 D nLHD n.HD=0 「3.1 2+2+2=0 -y+2z=0 令z=√3，则y=25,x=-4. 则=（←4,23,5）…(8分) 设直线CM与平面DGH所成的角为B,则 图（Ⅱ） 数学答案第2页共4页 sin=|cos<CM,n= CM.n= |V3×(4)+(1)×2W3+(-2)×5 1 CMI32+(←1)2+（-←2）2×V-4)2+(232+(W5) 2W186 31 ∴直线CM与平面DGH所成的角的正弦值为 2W186 …（10分) 31 (3)设点F，,M到平面DGH的距离分别为d,d2, HF=(0,1,0),HM=(N3,0,0), d=丽川cos<n=HF.m_23 n n 4=iI川cos<M,-1Hi_4V5 Inl n N=4,:N=1 MWd,’"MN2 的值 FN …（15分) MN 2 x2=2y 18.解(1)联立 x=0 x2+(0y-1)2=1 =0 得： 所以抛物线E与圆F只有唯一交点(0,0)，即抛物线E与圆F的交点个数为1.(4分) (2)设AB,AC的方程分别为y-y。=k(x-x),y-=k(-x), 直线：y-。=k(x-x)与圆F:x2+y-1)2=1相切， y。-。-1=1,…(7分) V1+k2 化简得：(x2-1)k2+2x1-y)k+,2-2y。=0① 于是么，k为0式的两个根，飞+k=2,卫，k,=公2业②…(8分) x02-1 x2-1 ~5620,c6x20. 生点1=，G+护-E …(9分) kk, 1kk 把②代入，可化简得：1BC1=2。= 2 -212(0%>2. BC的取值范围为(2，+o),…(11分) (3)设△ABC的周长为l,因为圆F为△ABC的内切圆（该内切圆的半径r=1), 所以，h=SA4Bc,∴1=|BC|, 2 2 1=22 …(15分) %-2 令6-2=t,“y=t+2(t>0), 数学答案第3页共4页 1=2x+2y=2x+4+4=2+4+426, t t 当t=2即y。=4时，取等号. .△ABC周长的最小值为16.…(17分) 19.解(1)依题易知：f'(x)=g'(化)，即c0s3x。=c0s4· 3%,+4,=2kπ或3x=4,+2k元，又x,(0,,=2或4或红.…4分) 7 7 7 (2)y=f(x)=cos3x=cos(2x+x)=cos 2xcosx-sin 2xsinx =(2cos2x-1)cosx-2sin2 x cosx =(2cos2x-1)cosx-2(1-cos2x)cosx =4cosx-3cosx y=4t3-3t.…（7分) y2=8'(x)=c0s4x=2cos22x-1=2(cos2x-1)2-1 =8cosx-8cos2x+1 y2=8t4-8t2+1.…(10分) （3).6r+7=2元，cos0ro 8 7=Cos .…(11分) 4c0s2π-3c0s 7 25-8o25cw91 令cos2亚=X,(0,1D,则飞，是方程8-42-8x2+3x+1=0的根.…(12分) 7 又.8x4-4x3-8x2+3x+1=(x-1)(8x3+4x2-4x-1), ,是函数h(x)=8x3+4x2-4x-1的零点.…(13分) )=4K6+2x-D,由)=0，解得5=-1V7 6,x,s-1+√7 6 ∴(x)在(-n,x),(x2,+o)上单调递增，在(k,x)上单调递减. h(0)=-1<0,当x∈(0，x,)时，h(x)<0,h(x)没有零点. 于是x,必在区间(x2,+0)上.…(14分) 又沿h)在0的上单满猫增，…5分) 50'10 且n动=g20,哈-器0.16分 503 专点存在定理可知：E(30即3<c0红←7 …(17分) 50 710 数学答案第4页共4页株洲市2026届高三年级教学质量统一检测 数学 本试卷分第】卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 班级： 姓名： 准考证号： (本试卷共4页，19题，考试用时120分钟，全卷满分150分) 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标 号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3,非选择题的作答：，用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，将答题卡上交。 第I卷 一、 选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上，) 1. 3-4i A 53 B.4+3 55 C.-43 2.已知全集U=R,M={x|x≤1}，P={xx≥2}，则Cu(MUP)= A.{xx≤2} B.{x1<x<2 C.{xx≤1或x≥2D.{xx≥1} 3.已知f(x)是奇函数，g()是偶函数，其定义域均为R,且f(x)+g(x)=x(x+1),则f)-g()= A.0 B.2 C.-2 D.1 4.已知椭圆C的焦点为F,E,一个短轴顶点为B,且离心率为cos50°，则∠FBR= A.40° B.50° C.80° D.100° 5.已知向量OA=(cosB,siB),将向量OA绕坐标原点0逆时针旋转0角得到向量 OB(0°<0<180)，则下列说法正确的是 A.IAB|<√2 B.|OA+OB1≥|OA-OB C.|OA+OB|≥1 D.(OA+OB)⊥(OA-OB) 6.某AI公司每天维护1000个训练任务节点，每星期一有A,B两种数据更新方案可选.统计显 示，凡是在星期一选择A方案来维护训练任务节点，下星期一有20%会改用B方案；而选择B 方案来维护训练任务节点，下星期一有30%会改用A方案.用a。,b,分别表示在第n个星期的 星期一选择A方案和选择B方案来维护训练任务节点的个数，若a,=600,则a1与an的关系 可以表示为 2 A. a.1=20,+30 B.ant= .+360 1 1 C.a1-30.+60 D.a=50.+60 数学试题卷第1页共4页 1。已知平面直角坐标系中三个点[（任（怎0小 若函数f(x)=sin@x的图象恰好只经 过上面三个点中的两个，则o的值不可能为 A.10 B.14 C.18 D.22 8.有一个正方形，其四个顶点均在曲线y=x-上，则该正方形的面积为 A.2W2 B.4 C.4v2 D.8 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.) 9.下列关于双曲线C:x2-y2=2的说法，正确的是 A.双曲线C的焦距为2 B.双曲线C的两条渐近线相互垂直 C.双曲线C的离心率为√2 D.存在一条直线，与双曲线C有三个交点 10.设等差数列{an}的前n项和为Sn，设a。=fm),Sn=g(n),在同一个坐标系中，f(n),g() 的部分图象如图所示，则下列推断正确的是 fn(g(n) 0.7 0 -0.4 -0.8 A.a,=0.7 B.Sg=0.4 C.Sn≤S4 D.nSn≤6S6 11.某电脑程序每次等概率随机输出1,2，.，10中的一个数，X,和Yn分别表示输出的前n个数 中的最大值和最小值.已知每次输出都是独立的，且可以重复输出同一个数.则下列命题正确 的是 B.PK=3)=19 处 1 A.P(X,=1)=PY=1)= 10 1000 757 C.P(Y=3)= D.PX4≤6Y3)=6 1000 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.(3-Vx)°展开式中，含x4项的系数为 B.从集合w=y,xR中取两个不同的数Q,b组成一个新的数1合1会，则1的 取值范围为 14.棱长为1的正方体ABCD一4B,CD,的各顶点均在过点A的平面a的同侧，若AB,和AD,与平 面a所成的角的大小均为雪，则点G到平面a的距离为 数学试题卷第2页共4页 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(本小题满分13分)从某社区1万余名居民中随机调查了部分居民，获得了他们的每日运动时 长数据，整理得到如下频率分布直方图 频率 组距 0.04 0.02 a 0.005-- 0WWW0203040506070时长（分 (1)求a的值； (2)假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该社区全体居民的每日平均运动时 长； (3)若用样本的频率估计总体的概率，现从该社区居民中随机抽取4人，用X表示每日运动时 长在50分钟以上的居民人数，求随机变量X的数学期望E(X)· 16.(本小题满分15分)在△ABC中，角B为锐角，sin(C-B)=sin2 BcosA. (1)求角B的大小： (2)若点D为边AC的中点，且∠ABD=2∠CBD,求tanA的值. 17.(本小题满分15分)如图①，在平面内，正方形CDEF的边DE,CF分别为两等腰直角△ADE, △BCF的腰.将△ADE,△BCF分别沿DE,CF折起，使A,B两点重合，记为点M,得 到一个四棱锥M一CDEF,点G,H分别是线段CM,EF的中点，如图② (1)求证：GH∥平面DEM; (2)求直线CM与平面DGH所成的角的正弦值； (3)若MFn平面DGH=N,求W的值. W D E M 图① 图② 数学试题卷第3页共4页 18.(本小题满分17分）已知抛物线E:x2=2y,圆F:x2+0y-1)2=1,点A(xy)(其中%>2) 为抛物线E上一动点，过点A作圆F的两条切线分别与x轴交于点B，C, (1)判断抛物线E与圆F的交点个数，并说明理由： (2)求|BC1的取值范围； (3)求△ABC周长的最小值. 19.(本小题满分17分)已知函数f倒-9m3x,g)=子血4，x∈0，网. (1)若函数y=f()图象在点(xo,f(x,)处的切线与函数y=g(x)图象在点(x,g(x)处的切线 平行，求x的值； (2)设cosx=t,用t表示函数y=f"(x)和y=g(x); (3)求证：3<c0s2r< 50 710 数学试题卷第4页共4页