4.3 探索三角形全等的条件（八大题型）2025-2026学年北师大版数学七年级下册

4.3 探索三角形全等的条件 题型一 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 1．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走有一棵树C，继续前行到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得的长为那么，河的宽度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的应用，将题目中的实际问题转化为数学问题，是本题求解的关键． 首先根据已知条件，证明和全等，得到，进而得到答案． 【详解】解：由题意知，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴河的宽度是米． 故选：B． 2．如图，在中，，，过点作的垂线，垂足为，点在上，且，过点作的垂线交的延长线于点．若，则的 ． 【答案】/厘米 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先通过垂直关系推出角相等，再结合已知边相等，证明三角形全等，从而得到对应边相等，最后通过线段的和差求出的长度． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 3．如图，与相交于点，，，求证：． 【答案】见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用“”证明即可，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：在和中， ， ∴． 题型二 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 4．如图，，．，，垂足分别是点D、E，，，则的长是（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质；根据已知条件可以得出，进而得出，就可以得出，就可以求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∴． 故选：A． 5．如图，在中，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动 s时，． 【答案】7或3 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点．由为边上的高，得到，再结合，证明，得到，再根据的位置分情况讨论，分别求出的长，最后结合速度求时间即可． 【详解】解：在中，为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴有以下两种情况： 当点E在的延长线上时，如图1所示： ， ∴点E运动的时间为：， 当点E在的延长线上时，如图2所示： ， ∴点E运动的时间为：， 综上所述：当点E运动7或时，． 故答案为：7或3． 6．如图，三点共线，三点共线，，于点，． (1)求证：是的中点； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）过作的延长线于点，可证，得到，再证明，得到，即可求证； （）由全等三角形的性质得，，即得，，进而即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：过作的延长线于点， ∵于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的中点； （2）证明：由（）得，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 题型三 用SAS证明三角形全等（SAS） 7．如图所示的的正方形网格中，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键，根据全等三角形的判定与性质得到，则有，同理可证，，，从而得到答案． 【详解】解：由题可得：如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可证：，， ∴， 故选：B． 8．如图，AD是的角平分线，，点E在边AC上，且，连接DE．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关内容是解题的关键． 先根据角平分线性质得到角的关系，再通过全等三角形判定证明全等，进而得出对应角相等，最后利用补角性质求出所求角的度数． 【详解】解：∵， ， ∴． ∵AD是的角平分线， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， ∴； 故答案为：． 9．如图，在和中，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的证明，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题关键； 先通过角度的和差关系得到，再通过即可证得三角形全等． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴． 题型四 用SAS间接证明三角形全等（SAS） 10．如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，的长度就是A，B间的距离．那么判定和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用掌握全等三角形判定的“”方法是解题的关键． 由题意知、，由于，根据“”即可证明． 【详解】解：由题意知、， 在和中， ∴． 故选：B． 11．如图，在中，，平分．点，分别是，上的动点，若的面积为6，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查最短路线问题，解答中涉及垂线段最短，能够根据相关知识得到的最小值为的长是解题的关键． 在上截取，连接，，证明，得到，由此得到，当点G，F，共线时，最小，即为的长，此时，过点C作交于点F，根据面积求出的长即可解决问题． 【详解】解：在上截取，连接，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴当点G，F，共线时，最小，即为的长，此时， 如图，过点C作交于点， ∵，， ∴. 解得， ∴的最小值为， 故答案为：. 12．如图，点，，，在同一直线上，，，．试说明． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，证明，，根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 题型五 全等的性质和SAS综合（SAS） 13．如图，为了测量池塘两岸AB的距离，小林在池塘外的开阔地选了一点O，测得的度数，在OB的另一侧取一点C，使，，且测得BC的长为5m，则A，B之间的距离为（    ） A．2.5m B．5m C．7.5m D．10m 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握 全等判定定理及全等三角形对应边相等是解题的关键． 根据已知条件，寻找能证明三角形全等的要素，通过证明与全等，利用全等三角形的对应边相等，得出的长度． 【详解】解：在和中： ∴ ∴ ∵， ∴． 故选：B． 14．如图，已知，垂足为点，，垂足为点，若，，则 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先结合，，，，证明，则，即，故． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，在中，，D是BC上一点（不与点B，C重合）．以AD为一边在AD的右侧作，使，，连接CE． (1)①试说明：； ②若，求的度数． (2)设，，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 【答案】(1)①说明见解析；② (2) 【分析】（1）①通过角的等量关系得到，再结合已知边相等，利用判定； ②先由全等得到角的关系，结合等腰直角三角形的性质推导的度数． （2）通过全等三角形的角的关系，结合三角形内角和，推导与的数量关系． 【详解】（1）解：①∵， ∴，即：． 在 和中： ∴． ②∵，， ∴． 由①知，， ∴． ∴． （2）解：由①知，，则． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． 题型六 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 16．如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了四块，现要到玻璃店去配一块大小、形状完全相同的玻璃，那么他可以（   ） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带④去 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，根据全等三角形的判定方法，在打碎的四块中可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案． 【详解】解：第①②③块，仅保留了原三角形的一部分边，不符合全等三角形的判定方法； 第④块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定，所以可以拿这块去． 故选：D． 17．如图，已知，，，则图中共有 对全等三角形． 【答案】3 【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质，由平行线的性质可得，再利用全等三角形的判定与性质证明即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， 综上所述，图中共有对全等三角形， 故答案为：． 18．如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据，，得，再根据平分得，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）连接，根据点是的中点得，依据“”判定和全等得，由此即可得出的面积． 【详解】（1）根据，， 得， 平分， ， ， 在和中， ， ， ； （2）连接，如图所示： 点是的中点，， ， 在△和△中， ， ， ， ． 题型七 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 19．如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和全等三角形的判定定理． 通过尺规作图操作得出相等的边，然后利用边边边证出两个三角形全等，利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：通过尺规作图操作可得， 又， ∴， ∠ADC=∠B=49°， 故选：B． 20．如图，已知点P在直线l外，按以下步骤作图：①在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；②以点P为圆心，以PA的长为半径作弧；③以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C，作直线PC．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】通过作图步骤得到线段相等关系，可以证明三角形全等，进而利用全等三角形对应角相等以及三角形内角和定理求解的度数即可； 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】如图，连接AC，由作图可得，， ∴在和中 ∴ ∴， ∵． ∴， ． 21．如图，图1、图2均为由边长为1的小正方形组成的的方格网络，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点之上，像这样的三角形叫格点三角形，试在方格纸上按下列要求画格点三角形： (1)在图1中画一个格点三角形与全等且有1个公共点； (2)在图2中画一个格点三角形与全等且有1条公共边； 【答案】(1)图见解析，答案不唯一 (2)图见解析，答案不唯一 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，明确全等三角形的判定定理是关键； （1）如果公共点为B，取格点E、F，使，，可得出格点三角形即为所求作； （2）以为公共边，是小方格的对角线，可画出，连接，就可得出即为所求作． 【详解】（1）解：即为所求作（答案不唯一）； （2）解：即为所求作（答案不唯一）． 题型八 利用全等图形求正方形网络中角度之和（全等图形） 22．如图是一个的正方形网格，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．如图，先根据判定，可得，然后可得，同理，，，，进一步即可求出答案． 【详解】解：如图，在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 同理，，， ， ∴， 故选：A． 23．如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由证明三角形全等得出是解题的关键． 通过证明三角形全等得出再根据即可得出答案． 【详解】解：如图所示， 由题意得，在和中， 故答案为：. 24．如图，△ABC的三个顶点均在格点处． (1)过点B画AC的垂线BD； (2)过点A画BC的平行线AE．（请用黑水笔描清楚） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)过点B作格点直角三角形与以AC为斜边的直角格点三角形全等，即可画得； (2)过点A画正方形的对角线，即可画得． 【详解】（1）解：画图如下： （2）解：画图如下： 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3 探索三角形全等的条件 题型一 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 1．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走有一棵树C，继续前行到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得的长为那么，河的宽度是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，过点作的垂线，垂足为，点在上，且，过点作的垂线交的延长线于点．若，则的 ． 3．如图，与相交于点，，，求证：． 题型二 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 4．如图，，．，，垂足分别是点D、E，，，则的长是（   ） A． B． C．3 D．2 5．如图，在中，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动 s时，． 6．如图，三点共线，三点共线，，于点，． (1)求证：是的中点； (2)求证：． 题型三 用SAS证明三角形全等（SAS） 7．如图所示的的正方形网格中，的值是（   ） A． B． C． D． 8．如图，AD是的角平分线，，点E在边AC上，且，连接DE．若，则的度数为 ． 9．如图，在和中，，，．求证：． 题型四 用SAS间接证明三角形全等（SAS） 10．如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，的长度就是A，B间的距离．那么判定和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 11．如图，在中，，平分．点，分别是，上的动点，若的面积为6，则的最小值为 ． 12．如图，点，，，在同一直线上，，，．试说明． 题型五 全等的性质和SAS综合（SAS） 13．如图，为了测量池塘两岸AB的距离，小林在池塘外的开阔地选了一点O，测得的度数，在OB的另一侧取一点C，使，，且测得BC的长为5m，则A，B之间的距离为（    ） A．2.5m B．5m C．7.5m D．10m 14．如图，已知，垂足为点，，垂足为点，若，，则 ． 15．如图，在中，，D是BC上一点（不与点B，C重合）．以AD为一边在AD的右侧作，使，，连接CE． (1)①试说明：； ②若，求的度数． (2)设，，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 题型六 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 16．如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了四块，现要到玻璃店去配一块大小、形状完全相同的玻璃，那么他可以（   ） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带④去 17．如图，已知，，，则图中共有 对全等三角形． 18．如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 题型七 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 19．如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 20．如图，已知点P在直线l外，按以下步骤作图：①在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；②以点P为圆心，以PA的长为半径作弧；③以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C，作直线PC．若，则的度数为 ． 21．如图，图1、图2均为由边长为1的小正方形组成的的方格网络，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点之上，像这样的三角形叫格点三角形，试在方格纸上按下列要求画格点三角形： (1)在图1中画一个格点三角形与全等且有1个公共点； (2)在图2中画一个格点三角形与全等且有1条公共边； 题型八 利用全等图形求正方形网络中角度之和（全等图形） 22．如图是一个的正方形网格，则等于（   ） A． B． C． D． 23．如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为 ． 24．如图，△ABC的三个顶点均在格点处． (1)过点B画AC的垂线BD； (2)过点A画BC的平行线AE．（请用黑水笔描清楚） 1 学科网（北京）股份有限公司 $