4.1 认识三角形（八大题型）2025-2026学年北师大版数学七年级下册

4.1 认识三角形 题型一 等腰三角形的定义 1．已知等腰三角形的一边长为，周长为，则另两边长为（   ） A． ， B． ， C． ， D． ，或， 2．若一个等腰三角形的两边长分别是和，则这个三角形的周长是 ． 3．现有a、b、c三个有理数，且，． (1)求a、b、c的值； (2)若a、b、c分别是三条边的长度， ①判断形状，并说明理由； ②求出此时的周长． 题型二 画三角形的高 4．下列四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知于点，于点，与交于点，的边上的高为 . 6．如图，在中，是钝角，完成下列作图题． (1)作的高线、中线与的延长线交于点F； (2)连接，请写出以为高的三角形． 题型三 三角形角平分线的定义 7．如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．如图，是的角平分线，则平分 ， ，且点在边上． 9．如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 题型四 重心的概念 10．如图，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，若使其能够在支点上保持平衡，则薄板与支点的接触点应该是（   ）    A．三角形匀质薄板三边垂直平分线的交点 B．三角形匀质薄板三边中线的交点 C．三角形匀质薄板三条角平分线的交点 D．三角形匀质薄板三边上高的交点 11．如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，则 ． 12．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出的重心． (2)在已知网格中找出所有格点，使点与的面积相等． 题型五 三角形三边关系的应用 13．已知等腰三角形的周长为21，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为（   ） A．11 B．8 C．5 D．11或5 14．一个三角形三条边长均为整数，其中的两边长分别为、，若第三边长为奇数，则该三角形的周长是 ． 15．已知的三边长分别为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c为偶数，求的周长； (2)化简：． 题型六 与三角形的高有关的计算问题 16．若一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则其面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 17．如图所示，一个大长方形被两条线段、分成四个小长方形．如果其中图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为7、4、6，那么阴影部分的面积和为 ． 18．如图，已知中，，，，的高交于点O． (1)求； (2)请你猜想与的关系，并简述理由． 题型七 利用网络求三角形的面积 19．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分的面积是（    ） A．16 B．10 C．9 D．8 20．如图，边长为的三个正方形顺次排列，则三角形的面积是 ． 21．如图，每个小正方形的边长为1个单位． (1)画出的边上的高，垂足为D； (2)求的面积． 题型八 重心的有关性质 22．如图，的两条中线，相交于点．若的面积为1，则的面积为（　　） A．3 B．2 C． D．1 23．如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若的面积是2．则四边形的面积是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 认识三角形 题型一 等腰三角形的定义 1．已知等腰三角形的一边长为，周长为，则另两边长为（   ） A． ， B． ， C． ， D． ，或， 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；首先根据等腰三角形的性质可分为两种情况讨论：当8为腰或者当8为一条腰长． 【详解】解：当8是腰时，底边是，即另外两边是8，4，能构成三角形； 当底边是8时，腰长是，即另外两边是6，6，能构成三角形． 故选：D． 2．若一个等腰三角形的两边长分别是和，则这个三角形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形定义、构成三角形的三边关系等知识，熟记等腰三角形的定义及三角形三边关系是解决问题的关键． 先由等腰三角形的定义分类：和，再根据三角形三边关系判断是否构成三角形即可得到答案． 【详解】解：一个等腰三角形的两边长分别是和， 等腰三角形三边长分两类：和， 当等腰三角形三边长为时，，不满足三角形三边关系，故不能构成三角形，舍去； 当等腰三角形三边长为时，满足三角形三边关系，能构成三角形， 则其周长为； 故答案为：． 3．现有a、b、c三个有理数，且，． (1)求a、b、c的值； (2)若a、b、c分别是三条边的长度， ①判断形状，并说明理由； ②求出此时的周长． 【答案】(1)或 (2)①等腰三角形，理由见解析；②7 【分析】本题考查了乘方，绝对值，等腰三角形的判定，正确求得a、b、c的值是解题的关键． （1）利用偶次方的非负性，绝对值方程，可得a、b、c的值； （2）① 分情况讨论可得时，无法组成，可得，此时为等腰三角形； ②根据①求出的周长即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 或； （2）解：①等腰三角形，理由如下： 当时， ，即 此时无法组成三角形， a、b、c是三条边的长度时，， ， 是等腰三角形； ②此时的周长为． 题型二 画三角形的高 4．下列四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形中的高线，根据三角形的高的定义，依次对选项中的图形进行判断即可得出答案． 【详解】解：选项A：线段是的高，选项不符合题意； 选项B：线段是的高，选项不符合题意； 选项C：线段是的高，选项不符合题意； 选项D：线段是的高，选项符合题意； 故选：D． 5．如图，已知于点，于点，与交于点，的边上的高为 . 【答案】/ 【分析】由三角形高的含义可得答案．本题考查的是三角形高的含义，熟记三角形的高的定义并能识别图形中三角形的高是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴的边上的高为 故答案为：． 6．如图，在中，是钝角，完成下列作图题． (1)作的高线、中线与的延长线交于点F； (2)连接，请写出以为高的三角形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】题目主要考查三角形的高线、中线画法，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． （1）根据题意画出图形即可； （2）结合图形，找出以为高的三角形即可． 【详解】（1）解：如图所示即为所求； （2）根据图形得：为以为高的三角形． 题型三 三角形角平分线的定义 7．如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出． 【详解】解：是的角平分线，， ， 是的角平分线， ． 故选：A． 8．如图，是的角平分线，则平分 ， ，且点在边上． 【答案】 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义，熟练掌握三角形角平分线的定义是解题的关键． 根据三角形角平分线的定义即可直接得出答案． 【详解】解：是的角平分线，则平分，，且点在边上， 故答案为：，，． 9．如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查的知识点是角平分线的定义、等角的余角相等、三角形面积计算公式，解题关键是熟练掌握角平分线的定义． （1）先根据角平分线的定义得到，再根据等角的余角相等得到，然后利用得到； （2）利用等面积法计算的长． 【详解】（1）证明：平分， ， 是的高， ， ， ，， ， ， ； （2）解：， ，， ， ． 即的长度为． 题型四 重心的概念 10．如图，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，若使其能够在支点上保持平衡，则薄板与支点的接触点应该是（   ）    A．三角形匀质薄板三边垂直平分线的交点 B．三角形匀质薄板三边中线的交点 C．三角形匀质薄板三条角平分线的交点 D．三角形匀质薄板三边上高的交点 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的重心的概念和性质，掌握数学知识在实际生活中的应用是解题的关键． 支点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心，据此即可作答． 【详解】解：能使三角形保持平衡的支点是重心，而三角形的重心是三边中线的交点． 故选：B． 11．如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查三角形的重心，根据三角形的重心是三角形的三条中线的交点，得到分别为的中点，进而得到，即可得出结果． 【详解】解∶∵点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E． ∴，， ∴． 故答案为：5． 12．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出的重心． (2)在已知网格中找出所有格点，使点与的面积相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了重心，等高模型，掌握重心的定义和画图方法是解题关键． （1）重心是三角形的中线的交点，作的中线，交于点，点即为所求； （2）根据等高模型解决问题即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， （2）解：如图，点，即为所求， 题型五 三角形三边关系的应用 13．已知等腰三角形的周长为21，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为（   ） A．11 B．8 C．5 D．11或5 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系．根据等腰三角形的性质，设腰长为a，底边长为b，则周长为，已知一边长为5，需分情况讨论5是腰或底，结合三角形两边之和大于第三边的不等式，判断是否成立，即可作答． 【详解】解：依题意，设腰长为a，底边长为b， ∵等腰三角形的周长为21， ∴， ∵其中一边长为5， ∴当时，则，解得， 则，此时不符合三角形三边关系，故舍去； ∴当时，则，解得， 则，此时符合三角形三边关系， 综上：该等腰三角形的底边长为5， 故选：C． 14．一个三角形三条边长均为整数，其中的两边长分别为、，若第三边长为奇数，则该三角形的周长是 ． 【答案】 16 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形三边关系，第三边应大于两边之差且小于两边之和，结合奇偶性确定第三边长度，进而计算周长即可. 【详解】解：设第三边长为，且为奇数； 由三角形三边关系，得 ，即 ； 因此的可能整数取值为 6、7、8； 又因为为奇数，故； 故周长为 ； 故答案为 ：16 15．已知的三边长分别为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c为偶数，求的周长； (2)化简：． 【答案】(1)的周长为9 (2) 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，绝对值的化简，整式的加减混合运算，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边是解题的关键． （1）先根据三角形的三边关系得出的取值范围，再由为偶数即可得出的值，进而可得出答案； （2）根据三角形的三边关系得出，，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：，， ，即． 又为偶数， ． ． （2），， ，． ． 题型六 与三角形的高有关的计算问题 16．若一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则其面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的面积计算，直角三角形的面积等于其两直角边乘积的一半，据此求解即可． 【详解】解：∵一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4， ∴该三角形的面积为， 故选：C． 17．如图所示，一个大长方形被两条线段、分成四个小长方形．如果其中图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为7、4、6，那么阴影部分的面积和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形面积，掌握等长的长方形面积比等于宽的比是解题的关键． 设长方形面积为S，则阴影部分面积为，由Ⅱ、Ⅲ的面积分别为4、6，可得 ，根据Ⅰ的面积为7，知 ，然后求解即可． 【详解】解：如图： 设长方形面积为S，则阴影部分面积为， ∵Ⅱ、Ⅲ的面积分别为4、6， ∴ ， ∵Ⅰ的面积为7， ∴，解得：， ∴，即阴影部分面积为． 故答案为． 18．如图，已知中，，，，的高交于点O． (1)求； (2)请你猜想与的关系，并简述理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形的面积公式，四边形的内角和以及平角的定义，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式，利用等面积法可得，由此求解即可； （2）由为的高和四边形的内角和可得出，再利用平角的定义与等量代换即可求解． 【详解】（1）解：，，， 为的高， ， 即 解得， 则的长为； （2），理由如下： 为的高， ， 在四边形中，， 又， ． 题型七 利用网络求三角形的面积 19．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分的面积是（    ） A．16 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了利用网格求三角形面积，找出网格中图形的面积关系是解题关键．根据图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积求解即可得． 【详解】解：因为图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积， 所以图中阴影部分的面积是， 故选：B． 20．如图，边长为的三个正方形顺次排列，则三角形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求阴影部分面积，由，然后代入即可求解，掌握三角形面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图， 由 ， 故答案为：． 21．如图，每个小正方形的边长为1个单位． (1)画出的边上的高，垂足为D； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)的面积为． 【分析】本题考查画三角形的高，求格点三角形的面积，解题的关键是会用割补法求面积． （1）延长，过点作延长线的垂线即可； （2）用割补法，借助网格，即可求得三角形的面积． 【详解】（1）解：如图，延长，过点作延长线的垂线，垂足为，线段即为的边上的高． （2）解：∵每个小正方形的边长为1个单位， ∴ 答：的面积为． 题型八 重心的有关性质 22．如图，的两条中线，相交于点．若的面积为1，则的面积为（　　） A．3 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了三角形重心的性质．根据的两条中线，相交于点，得到点O是的重心，即，然后表示出，即可得解． 【详解】解：∵的两条中线，相交于点， ∴点O是的重心， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 23．如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若的面积是2．则四边形的面积是 ． 【答案】4 【分析】连接，并延长交于点F，根据三角形的重心可得，从而有，，，进而求得，于是即可求得四边形的面积． 【详解】解：连接，并延长交于点F， ∵点O是的重心， ∴， ∴，， ∴即， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $