2.2一元一次不等式讲义 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

本讲义聚焦一元一次不等式的概念、解法及应用，承接一元一次方程知识，通过类比方程概念和解法构建知识联系，为后续不等式组学习奠定基础，形成从相等关系到不等关系的学习支架。 资料设计注重概念辨析与实际应用结合，通过实例对比培养抽象能力，解法步骤结合口诀与数轴强化推理意识，实际问题转化培养模型观念。课中助力教师分层教学，课后检测与作业帮助学生查漏补缺，提升学习效果。

2025-2026学年北师大版八年级数学下 《第二章不等式与不等式组第二节一元一次不等式》讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解一元一次不等式的概念，能准确识别一元一次不等式； 2.掌握一元一次不等式的解法步骤，能熟练解一元一次不等式，并能在数轴上表示解集； 3.能运用一元一次不等式解决简单的实际问题，体会不等式在生活中的应用价值； 4.培养抽象思维、逻辑推理能力和数学应用意识。 ) ( 二．重点难点 （一）重点 1.一元一次不等式的概念辨析； 2.一元一次不等式的解法及解集的数轴表示； 3.一元一次不等式的实际应用思路构建。 （二）难点 1.理解一元一次不等式概念中 “ 含有一个未知数、未知数的次数是1、不等号两边都是整式 ” 的本质特征； 2.解不等式时，对 “ 系数化为1 ” 步骤中不等号方向改变的条件判断； 3.把实际问题转化为一元一次不等式模型，准确找出题目中的不等关系。 ) 三．课前预习 1.只含有______个未知数，并且未知数的次数是______，不等号两边都是______的不等式，叫做一元一次不等式； 2.解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程类似，依次为______、______、______、______、______； 3.不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向______； 4.不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向______； 5.不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向______； 6.把不等式的解集在______上表示出来，能更直观地反映解集的范围。 四．课堂探秘 探究一：一元一次不等式的概念 观察下列不等式，它们有什么共同特征？ ① 3x - 2 > 0；② 2x + 1 < 5；③ x - 3 ≥ 2；④ 5 - 2x ≤ 1；⑤ 1/2 x + 3 > 0 1.一元一次不等式的概念 （1）概念： 一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，不等号两边都是整式的不等式。 （2）关键词拆解：“一元”（1个未知数，如x、y）、“一次”（未知数次数为1，无x²、xy等）、“整式”（不等号两边无分式、根式，如、）。 （3）标准形式：ax + b > 0（或<、≥、≤，a≠0，a、b为常数）。 2、理解 （1）本质区别：与一元一次方程的核心差异是“不等关系”（用>、<等连接），而非“相等关系”（=连接），但未知数的限定条件一致。 （2）易错辨析：含多个未知数（如2x + y < 3）、未知数次数≠1（如x² - 5 > 0）、含分式（如3/x + 2 ≤ 1）的式子，均不是一元一次不等式。 （3）实际意义：用于表示现实中“范围型”问题，如“路程不少于100千米”“成本不超过50元”等。 例题：判断下列式子是否为一元一次不等式，若不是，请说明理由。 ① 2x + y > 3；② 3x² - 1 < 0；③ 1/x + 2 > 5；④ 3x - 2；⑤ 5x + 3 ≤ 2x - 1 探究二：一元一次不等式的解法 解一元一次方程 3x + 2 = 8 的步骤是什么？类比方程的解法，尝试解不等式 3x + 2 < 8。 思考：移项时，不等号方向是否改变？ 例1.解不等式3-x<2x+6，并把它的解集表示在数轴上. 例2.解不等式，并把它的解集表示在数轴上. 1.解一元一次不等式的核心步骤 （1）去分母（两边同乘各分母最小公倍数，乘负数则不等号反向）； （2）去括号（遵循去括号法则，注意符号）； （3）移项（把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边，移项要变号）； （4）合并同类项（将不等式化为ax>b或ax<b（a≠0）的形式）； （5）系数化为1（两边同除以a，a<0时不等号反向）。 2.解一元一次不等式口诀： 去分母，看符号，负乘除，方向调； 去括号，莫漏项，符号辨，错不了； 移项后，要变号，同类项，合并好； 系数化1再检查，负除乘，向反跳。 探究三：一元一次不等式的应用 某种商品进价为200元、标价 300无镇售、商导规定可以有教管、科润事不面低于5%，请你助管货员计算一下、这种商品最多可以打几折？ 例3.班举行环保知识资赛、规则如下:每位选手有基避分20分、需洲答20道题，每答对一道题碍4分、每答错或下答一道题扣1分。在这次意赛中、小明被评为优秀选手(85分或85分以上)、小明至少答对了几道题? 一元一次不等式应用的一般步骤 审清题意找不等关系，设未知数列不等式，求解后结合实际验证，将实际问题转化为数学不等式问题解决。 （1）审：通读题干，明确已知量、未知量，圈出不等关键词（如大于、小于、至少、至多、不超过、不少于等），找准核心不等关系。 （2）设：设出合适的未知数（直接设所求量，或间接设关联量），注意带单位。 （3）列：根据找到的不等关系，结合数量关系列出一元一次不等式。 （4）解：解不等式，求出解集；验：结合实际问题的意义验证解集（如人数、物品数为正整数），最后写出符合题意的答案。 【经典例题】 例1．有下列不等式：①x＋y＞－5；②＜3；③＋≤7；④－x2－3x＋4>0.其中属于一元一次不等式的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2．不等式3x＋2>－1的解集是(　　) A．x>－ B．x<－ C．x>－1 D．x<－1 例3.不等式x＋1≥2x－1的解集在数轴上的表示为(　　) A.B. C.D 例4．若2x＋1为非负数，则x的取值范围是(　　) A．x≥1 B．x≥－ C．x＞1 D．x＞－ 例5．一罐饮料净重克，罐上注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量为（　　） A．克 B．大于克 C．不小于克 D．不大于克 例6．“x的5倍与6的差不大于-3”列出的不等式是（　　） A． B． C． D． 例7.一辆汽车从地出发，要在之前到达距离地的地，设平均车速为，根据题意可列不等式为（　　） A． B． C． D． 例8.某次数学竞赛共有 20 道题，答对一道题得 10 分，答错或不答均 扣5 分，小强得分超过 95 分，他至少要答对（　　） A．12 道 B．13 道 C．14 道 D．15 道 例9．解不等式2(5x－9)≤x＋3(4－2x)，并把它的解集在数轴上表示出来． 例10．解不等式2－≤y－，并把它的解集在数轴上表示出来． 例11．当x取何值时，代数式－的值不小于代数式的值？ 例12.某单位准备购买文化用品,现有甲、乙两家超市进行促销活动.该文化用品两家超市的标价均为10元/件,甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠,超过400元的部分按标价的6折售卖;乙超市全部按标价的8折售卖. (1)若该单位需要购买30件这种文化用品,则在甲超市的购物金额为　　　元,在乙超市的购物金额为　　　　元;  (2)假如你是该单位的采购员,你认为选择哪家超市支付的费用较少? 五．课堂检测 （一）．选择题 1.下列式子中，属于一元一次不等式的是（ ） A. 3x + 2y > 5 B. 3x² - 5 < 0 C. 2x - 1 ≥ 3 D. + 4 > 2 2．如果不等式ax＞1的解集是x＜，那么(　　) A．a≥0 B．a≤0 C．a＞0 D．a＜0 3.不等式3x＋2≥5的解集是(　　) A．x≥1 B．x≥ C．x≤1 D．x≤－1 4.下列说法正确的是（ ） A. 不等式 x - 3 > 0 的解集是 x > -3 B. 2x - 1 < 0 是一元一次不等式 C. 不等式 -2x > 4 的解集是 x > -2 D. 3x + 5 < 3x + 7 不是一元一次不等式 5.某学校组织学生参加社会实践活动，需租用若干辆客车。若每辆客车坐45人，则有15人没有座位；若每辆客车坐60人，则空出一辆车。设租用x辆客车，根据题意，可列不等式为（ ） A. 45x + 15 ≤ 60(x - 1) B. 45x + 15 < 60(x - 1) C. 45x + 15 ≥ 60(x - 1) D. 45x + 15 > 60(x - 1) 6．已知y1＝2x－5，y2＝－2x＋3.若y1<y2，则x的取值范围是(　　) A．x＞2 B．x＜2 C．x＞－2 D．x＜－2 7若方程组 的解满足3x－4y＞0，则k的取值范围是(　　) A．k＞1 B．k＜1 C．k＞－1 D．k＜－1 8．阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad－bc，例如＝1×4－3×2＝－2.如果＞3，那么x的取值范围是(　　) A．x＞2 B．x＜－2 C．x＞6 D．x＜－6 9.植树节期间,某校开展校园植树的劳动实践活动,学校计划购买杨树和松树两种树苗共80棵,杨树苗每棵20元,松树苗每棵23元.若计划购买树苗的总费用不超过1 700元,则最多可以购买松树苗(　　) A.33棵　　　B.34棵　　　C.46棵　　　D.47棵 10.某工厂为了要在规定期限内完成2 160个零件的任务,于是安排15名工人每人每天加工a个零件(a为整数),开工若干天后,其中3人外出培训,若剩下的工人每人每天多加工2个零件,则不能按期完成这次任务,由此可知a的值至少为(　　) A.10　　　B.9　　　C.8　　　D.7 （二）．填空题 11．若不等式2xa－1＜1是关于x的一元一次不等式，则a＝________． 12．若关于x的分式方程＝2的解为正数，m的取值范围是__________________． 13．如果关于x 的不等式(a＋1)x<2的自然数解有且只有一个，a的取值范围是_______． 14.若关于x的不等式x－b＞0恰有两个负整数解，则b的取值范围是_____________ 15．若x＝a＋1是不等式x－1<2的解，则a____． 16．设[x)表示大于x的最小整数，如[3)＝4，[－1.2)＝－1，有下列结论：①[0)＝0；②[x)－x的最小值是0；③[x)－x的最大值是1；④存在实数x，使[x)－x＝0.5成立．其中正确的是_______(填序号)． 17.某商店的老板销售一种商品，他要以高于进价20%的价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价，若你想买下标价为360元的这种商品，最多降价________元商店老板才能出售． 18. 某次数学测验中有16道选择题，评分办法：答对一道得6分，答错一道扣2分，不答得0分.某学生有一道题未答，那么这个同学至少要答对______道题，成绩才能在60分以上． 19. x的与6的差不小于-4的相反数，那么x的最小整数解是______________． 20. 张华同学和父母一起到距离家200公里的景区旅游．出发前，汽车油箱内储油45升；当行驶120公里时，发现油箱剩余油量为33升；已知油箱中剩余油量少于3升时，汽车将自动报警．如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？答：______________（填：能或不能） （三）．解答题 21.解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)3x－2(1－2x)≥1； (2)3(x＋2)≤5(x－1)＋7； (3)－2＞； (4)－≥1. 22.规律探究 已知：＝1－；＝－；＝－；＝－；…；＝－.请你根据上式中包含的规律，求不等式＋＋＋…＋>n－1的解集．(n是大于1的整数) 23.阅读下面的材料： 对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a<b时，min{a，b}＝a；当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{4，－2}＝－2，min{5，5}＝5. 根据上面的材料回答下列问题： (1)min{－1，3}＝________． (2)当min＝时，求x的取值范围． 24.是否存在整数m，使关于x的不等式1＋＞＋与关于x的不等式x＋1＞的解集相同？若存在，求出整数m和不等式的解集；若不存在，请说明理由． 25．为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表： A型 B型 价格(万元/台) 12 10 处理污水量(吨/月) 240 200 年消耗费(万元/台) 1 1 经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元． (1)请你设计几种符合要求的购买方案． (2)若企业每月产生的污水量为2040 t，为了节约资金，应选择哪种购买方案？ (3)在第(2)问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水处理厂处理污水的费用为每吨10元，请你计算：该企业自己处理污水与将污水排到污水处理厂处理相比较，10年能节约资金多少万元？(注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费) 26.阅读与理解 若一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式②是一元一次不等式①的覆盖不等式．例如：不等式x＞1的解都是不等式x≥﹣1的解，则x≥﹣1是x＞1的覆盖不等式． 根据以上信息，回答问题： （1）请你判断：不等式x＜﹣1 　 　不等式x＜﹣3的覆盖不等式（填“是”或者“不是”）； （2）若关于x的不等式3x+a＜2是1﹣3x＞0的覆盖不等式，且1﹣3x＞0也是关于x的不等式3x+a＜2的覆盖不等式，求a的值； （3）若x＜﹣2是关于x的不等式ax﹣6＞0的覆盖不等式，试确定a的取值范围． 六．课后作业 （一）完成知识清单 一、一元一次不等式的概念及其理解 1.只含有______个未知数，并且未知数的次数是______，系数不等于______，左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。 2.代数式 3x - 2 > 5 中，未知数的次数是______，它是______（填“是”或“不是”）一元一次不等式。 3.若不等式 ax + 3 > 0 是关于 x 的一元一次不等式，则 a 的取值范围是______。 4.下列不等式中，属于一元一次不等式的是______（填序号）：① 2x + y > 3；② x2 - 1 > 0；③ + 2 < 5；④ 3x - 4 ≤ 0。 5.一元一次不等式的一般形式是______或______（其中 a ≠ 0，a、b 为常数）。 二、解一元一次不等式 1.解一元一次不等式的依据是______，在不等式两边同时加、减同一个数（或整式），不等号的方向______；在不等式两边同时乘、除以同一个正数，不等号的方向______；在不等式两边同时乘、除以同一个负数，不等号的方向______。 2.解不等式 2x - 1 ≤ 3 的步骤：第一步，移项得 2x ≤ 3 + 1，移项的依据是______；第二步，合并同类项得 2x ≤ 4；第三步，系数化为1得 x≤ 2，系数化为1的依据是______。 3.不等式 3(x - 2) > 2x - 5 的解集是______。 4.解不等式 - > 1 时，第一步应先______，去分母后得到的不等式是______。 5.若不等式 mx + n < 0 的解集为 x > ，则 m 的取值范围是______，且 。 6.不等式 -2x + 5 > 3 的正整数解是______。 三、一元一次不等式的应用 1.列一元一次不等式解决实际问题的关键是找出_____关系，常用的不等关键词有“至少”（用符号____表示）、“至多”（用符号______表示）、“不超过”（用符号____表示）等。 2.某商店将一批服装按成本价提高50%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利20元，设这批服装的成本价为每件 x 元，若要保证每件获利不低于15元，则可列不等式为______。 3.某校组织学生参加社会实践活动，若租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若租用55座客车，则可以少租1辆，且余45个座位，设租用35座客车 x 辆，若学生总人数不超过200人，则可列不等式为______。 4.某工厂计划生产一批零件，原计划每天生产40个，15天完成，实际每天生产的零件数是原计划的1.2倍，设实际生产 y 天可完成任务，若要求实际完成时间不超过原计划时间，则可列不等式为______。 5.某超市推出优惠活动：购物满300元减50元，不满300元不优惠。小明购买了单价为80元的商品 n 件，若小明享受了优惠，则 n 满足的不等式是______，此时 n 的最小整数值为______。 （二）强化训练 一．选择题 1.下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A. 5 + 4 > 8 B. 2x - 1 C. 2x ≤ 5 D. 3x + 2y < 0 2．不等式3(2＋x)≥2(2x－1)的解集是(　　) A．x≥8 B．x≤8 C．x≥－8 D．x≤－8 3．下列解不等式＞的过程中开始出现错误的一步是(　　) A．去分母，得5(2＋x)＞3(2x－1) B．去括号，得10＋5x＞6x－3 C．移项、合并同类项，得－x＞－13 D．系数化为1，得x＞13 4．若方程组 的解满足x＋y＜2，则k的取值范围是(　　) A．k＜－1 B．k＜2 C．k＜1 D．k＞－1 5．若关于x的方程x－2＋3k＝的解是正数，则k的取值范围是(　　) A．k＞ B．k≥ C．k＜ D．k≤ 6．已知不等式2x－a≤0的正整数解恰好是1，2，3，4，5，那么a的取值范围是(　　) A．a＞10 B．10≤a≤12 C．10＜a≤12 D．10≤a＜12 7. 甲、乙两人从相距24km的A、B两地沿着同一条公路相向而行，如果甲的速度是乙的速度的两倍，如果要保证在2小时以内相遇，则甲的速度(　　) A. 小于8km/h B. 大于8km/h C. 小于4km/h D. 大于4km/h 8. 甲在集市上先买了3只羊，平均每只a元，稍后又买了2只，平均每只羊b元，后来他以每只元的价格把羊全卖给了乙，结果发现赔了钱．赔钱的原因是（ ） A. B. C. D. 与a、b大小无关 9.某单位为一中学捐赠了一批新桌椅，学校组织七年级200名学生搬桌椅．规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅(一桌一椅为一套)的套数为( ) A. 60 B. 70 C. 80 D. 90 10．下表为小洁打算在某电信公司购买一支MAT手机与搭配一个门号的两种方案，此公司每个月收取通话费与月租费的方式如下：若通话费超过月租费，则只收通话费；若通话费不超过月租费，则只收月租费．若小洁每个月的通话费均为x元，x为400到600之间的整数，在不考虑其他费用并使用两年的情况下，要使得选择乙方案的总花费比甲方案便宜，则x至少为( ) 甲方案 乙方案 门号的月租费(元) 400 600 MAT手机价格(元) 15000 13000 注意事项：以上方案两年内不可变更月租费 A． 500 　　B． 516 C． 517 　　D． 600 二．填空题 11．不等式>1的解集是________． 12．写出不等式5x＋3＜3(2＋x)的所有非负整数解：________． 13．若不等式2(x＋3)＞1的最小整数解是方程2x－ax＝3的解，则a的值为________． 14．关于x的一元一次不等式≤－2的解集为x≥4，则m的值为________． 15．已知关于x的方程3(x－2a)＋2＝x－a＋1的解适合不等式2(x－5)≥8a，则a的取值范围是____________． 16．小菲受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作，请根据图中给出的信息，求出量筒中至少放入________个小球时有水溢出． 17．按如图所示的程序进行运算时，发现输入的x恰好经过3次运算输出，则输入的整数x的值是　 　． 18. 有10名菜农，每人可种茄子3亩或辣椒2亩，已知茄子每亩可收入0.5万元，辣椒每亩可收入0.8万元．要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排_______人种茄子． 19. 设x1，x2，…，x7为自然数，且x1＜x2＜…＜x6＜x7，又x1+x2+…+x7=159，则x1+x2+x3的最大值是___________________． 20．某高铁站客流量很大，某天开始售票时有个人在售票窗口等候购票，设购票人数按固定的速度增加，且每个窗口每分钟减少的排队人数也是固定的．若同时开放4个售票窗口，需要30分钟恰好不出现排队现象（即排队的人全部刚好购完票）；若同时开放6个售票窗口，需要10分钟恰好不出现排队现象，为减少旅客排队购票时间，车站承诺7分钟内不出现排队现象，则至少需要同时开放　 　个售票窗口． 三．解答题 21．解下列不等式，并把不等式的解在数轴上表示出来： (1)3(y－3)＜4(y＋1)＋2； 　(2)≥－. 22.已知实数x满足－≥－，求2|x－1|＋|x＋4|的最小值． 23．(1)已知关于x，y的方程组的解满足不等式x＋y＞3，求a的取值范围． (2)已知关于x，y的方程组的解满足不等式x＋y＜3，求a的取值范围． 24．请阅读求绝对值不等式|x|＜3和|x|＞3的解的过程： 因为|x|＜3，从如图1所示的数轴上看：大于－3而小于3的数的绝对值是小于3的，所以|x|＜3的解是－3＜x＜3. 因为|x|＞3，从如图2所示的数轴上看：小于－3的数和大于3的数的绝对值是大于3的，所以|x|＞3的解是x＜－3或x＞3. 解答下面的问题：（1）不等式|x|＜a（a＞0）的解为____________， 不等式|x|＞a（a＞0）的解为____________； （2）解不等式|x-5|＜3； （3）解不等式|x-3|≥4. 25．某电器商场销售A，B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元，商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元． (1)求A，B两种型号计算器的销售价格(利润＝销售价格－进货价格)． (2)商场准备用不多于2500元的资金购进A，B两种型号计算器共70台．问：最少需要购进A型号计算器多少台？ 26.我们定义:如果两个一元一次不等式有公共解,那么称这两个不等式互为“云不等式”,其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”. (1)在不等式:①2x-1<0;②x≤2;③x-(3x-1)<-5中,不等式x≥2的“云不等式”是　　　　;(填序号)  (2)若关于x的不等式x+2m≥0不是2x-3<x+m的“云不等式”,求m的取值范围; (3)若a≠-1,关于x的不等式x+3≥a与不等式ax-1<a-x互为“云不等式”,求a的取值范围. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北师大版八年级数学下 《第二章不等式与不等式组第二节一元一次不等式》讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解一元一次不等式的概念，能准确识别一元一次不等式； 2.掌握一元一次不等式的解法步骤，能熟练解一元一次不等式，并能在数轴上表示解集； 3.能运用一元一次不等式解决简单的实际问题，体会不等式在生活中的应用价值； 4.培养抽象思维、逻辑推理能力和数学应用意识。 ) ( 二．重点难点 （一）重点 1.一元一次不等式的概念辨析； 2.一元一次不等式的解法及解集的数轴表示； 3.一元一次不等式的实际应用思路构建。 （二）难点 1.理解一元一次不等式概念中 “ 含有一个未知数、未知数的次数是1、不等号两边都是整式 ” 的本质特征； 2.解不等式时，对 “ 系数化为1 ” 步骤中不等号方向改变的条件判断； 3.把实际问题转化为一元一次不等式模型，准确找出题目中的不等关系。 ) 三．课前预习 1.只含有______个未知数，并且未知数的次数是______，不等号两边都是______的不等式，叫做一元一次不等式； 2.解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程类似，依次为______、______、______、______、______； 3.不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向______； 4.不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向______； 5.不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向______； 6.把不等式的解集在______上表示出来，能更直观地反映解集的范围。 【答案】1.一；1；整式 2.去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1 3.不变 4.不变 5.改变 6.数轴 四．课堂探秘 探究一：一元一次不等式的概念 观察下列不等式，它们有什么共同特征？ ① 3x - 2 > 0；② 2x + 1 < 5；③ x - 3 ≥ 2；④ 5 - 2x ≤ 1；⑤ 1/2 x + 3 > 0 【解析】这些式子的共同特征是：（1）只含有一个未知数（这里的未知数是 x）。（2）未知数的次数是 1。（3）都是不等式（用 >、<、≥、≤连接）。 1.一元一次不等式的概念 （1）概念： 一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，不等号两边都是整式的不等式。 （2）关键词拆解：“一元”（1个未知数，如x、y）、“一次”（未知数次数为1，无x²、xy等）、“整式”（不等号两边无分式、根式，如、）。 （3）标准形式：ax + b > 0（或<、≥、≤，a≠0，a、b为常数）。 2、理解 （1）本质区别：与一元一次方程的核心差异是“不等关系”（用>、<等连接），而非“相等关系”（=连接），但未知数的限定条件一致。 （2）易错辨析：含多个未知数（如2x + y < 3）、未知数次数≠1（如x² - 5 > 0）、含分式（如3/x + 2 ≤ 1）的式子，均不是一元一次不等式。 （3）实际意义：用于表示现实中“范围型”问题，如“路程不少于100千米”“成本不超过50元”等。 例题：判断下列式子是否为一元一次不等式，若不是，请说明理由。 ① 2x + y > 3；② 3x² - 1 < 0；③ 1/x + 2 > 5；④ 3x - 2；⑤ 5x + 3 ≤ 2x - 1 【解析】①含有两个未知数，不符合“一个未知数”；②未知数次数是2，不符合“次数是1”；③分母含未知数，不是整式，不符合“不等号两边都是整式”；④不是不等式，是代数式；⑤符合一元一次不等式的三个特征。 探究二：一元一次不等式的解法 解一元一次方程 3x + 2 = 8 的步骤是什么？类比方程的解法，尝试解不等式 3x + 2 < 8。 解：方程解法：3x = 8 - 2 → 3x = 6 → x = 2 不等式解法：3x < 8 - 2（移项，依据不等式性质1）→ 3x < 6（合并同类项）→ x < 2（系数化为1，依据不等式性质2） 思考：移项时，不等号方向是否改变？ 【解析】系数化为1时，因为系数是正数，不等号方向不变。 例1.解不等式3-x<2x+6，并把它的解集表示在数轴上. 解:两边都加-2x，得3-x-2x<2x+6-2x. 合并同类项，得3-3x<6. 两边都加-3，得3-3x-3<6-3. 合并同类项，得-3x<3. 两边都除以-3，得x>-1. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示: 例2.解不等式，并把它的解集表示在数轴上. 解:去分母，得 3(x-2)≥2(7-x). 去括号，得 3x-6≥14-2x. 移项、合并同类项，得5x≥20 两边都除以5，得x≥4. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示: 1.解一元一次不等式的核心步骤 （1）去分母（两边同乘各分母最小公倍数，乘负数则不等号反向）； （2）去括号（遵循去括号法则，注意符号）； （3）移项（把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边，移项要变号）； （4）合并同类项（将不等式化为ax>b或ax<b（a≠0）的形式）； （5）系数化为1（两边同除以a，a<0时不等号反向）。 2.解一元一次不等式口诀： 去分母，看符号，负乘除，方向调； 去括号，莫漏项，符号辨，错不了； 移项后，要变号，同类项，合并好； 系数化1再检查，负除乘，向反跳。 探究三：一元一次不等式的应用 某种商品进价为200元、标价 300无镇售、商导规定可以有教管、科润事不面低于5%，请你助管货员计算一下、这种商品最多可以打几折？ 【解析】确定最低售价：利润不低于5%，所以最低利润为：200×5% = 10元，因此最低售价为：200+10=210元， 计算折扣：设打x折，则售价为300×。 列不等式：300×≥210，解得：x≥7，所以，这种商品最多可以打7折。 例3.班举行环保知识资赛、规则如下:每位选手有基避分20分、需洲答20道题，每答对一道题碍4分、每答错或下答一道题扣1分。在这次意赛中、小明被评为优秀选手(85分或85分以上)、小明至少答对了几道题? 解:设小明答对了x道题、则他答键和不答的共有(20一x)道题。根据题意、得 20+4x-1×(20-x)≥85 解这个不等式、得x≥17.所以、小明至少答对了17道题。 一元一次不等式应用的一般步骤 审清题意找不等关系，设未知数列不等式，求解后结合实际验证，将实际问题转化为数学不等式问题解决。 （1）审：通读题干，明确已知量、未知量，圈出不等关键词（如大于、小于、至少、至多、不超过、不少于等），找准核心不等关系。 （2）设：设出合适的未知数（直接设所求量，或间接设关联量），注意带单位。 （3）列：根据找到的不等关系，结合数量关系列出一元一次不等式。 （4）解：解不等式，求出解集；验：结合实际问题的意义验证解集（如人数、物品数为正整数），最后写出符合题意的答案。 【经典例题】 例1．有下列不等式：①x＋y＞－5；②＜3；③＋≤7；④－x2－3x＋4>0.其中属于一元一次不等式的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A　 【解析】根据一元一次不等式的定义判断，①含有两个未知数；②不等式左边分母中含有未知数，不是整式；④是一元二次不等式．只有③符合，故选A. 例2．不等式3x＋2>－1的解集是(　　) A．x>－ B．x<－ C．x>－1 D．x<－1 【解析】C　 【解析】由3x＋2>－1移项得3x>－1－2，合并同类项，得3x>－3，所以x>－1. 例3.不等式x＋1≥2x－1的解集在数轴上的表示为(　　) A.B. C.D 【答案】B　 【解析】由x＋1≥2x－1得x－2x≥－1－1，则 －x≥－2，从而x≤2. 例4．若2x＋1为非负数，则x的取值范围是(　　) A．x≥1 B．x≥－ C．x＞1 D．x＞－ 【答案】B　 【解析】由题意得2x＋1≥0，解得x≥－，故选B. 例5．一罐饮料净重克，罐上注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量为（　　） A．克 B．大于克 C．不小于克 D．不大于克 【答案】C 【解析】设蛋白质的含量为x克由题意得：，解得：x≤1.8 故选：C 例6．“x的5倍与6的差不大于-3”列出的不等式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】x的5倍表示为5x，与6的差表示为5x-6，由题意得 ，故答案为：A． 例7.一辆汽车从地出发，要在之前到达距离地的地，设平均车速为，根据题意可列不等式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设平均车速为， 45分钟 小时，，故答案为：D. 例8.某次数学竞赛共有 20 道题，答对一道题得 10 分，答错或不答均 扣5 分，小强得分超过 95 分，他至少要答对（　　） A．12 道 B．13 道 C．14 道 D．15 道 【答案】C 【解析】设小强答对了x道题，依题意可得，10x−5(20−x)>95，解得，x>13，∴小强至少答对14道，故答案为：C． 例9．解不等式2(5x－9)≤x＋3(4－2x)，并把它的解集在数轴上表示出来． 解：去括号，得10x－18≤x＋12－6x. 移项，得10x－x＋6x≤12＋18. 合并同类项，得15x≤30. 系数化为1，得x≤2. 将不等式的解集表示在数轴上如图所示： 例10．解不等式2－≤y－，并把它的解集在数轴上表示出来． 解：去分母，得20－2(y－2)≤10y－5(y－2)． 去括号，得20－2y＋4≤10y－5y＋10. 移项、合并同类项，得－7y≤－14， 系数化为1，得y≥2. 将不等式的解集表示在数轴上如下： 例11．当x取何值时，代数式－的值不小于代数式的值？ 解：根据题意，列不等式，得－≥，解得x≤3. 例12.某单位准备购买文化用品,现有甲、乙两家超市进行促销活动.该文化用品两家超市的标价均为10元/件,甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠,超过400元的部分按标价的6折售卖;乙超市全部按标价的8折售卖. (1)若该单位需要购买30件这种文化用品,则在甲超市的购物金额为　　　元,在乙超市的购物金额为　　　　元;  (2)假如你是该单位的采购员,你认为选择哪家超市支付的费用较少? 解：(1)因为10×30=300(元),300<400,所以在甲超市的购物金额为300元;在乙超市的购物金额为300×0.8=240(元).故答案为300;240. (2)设购买x件这种文化用品.当0<x≤40时,在甲超市的购物金额为10x元,在乙超市的购物金额为0.8×10x=8x(元),因为10x>8x,所以选择乙超市支付的费用较少.当x>40时,在甲超市的购物金额为400+0.6(10x-400)=(6x+160)元,在乙超市的购物金额为0.8×10x=8x(元), 若6x+160>8x,则x<80;若6x+160=8x,则x=80;若6x+160<8x,则x>80.综上,当购买数量不80件时,选择乙超市支付的费用较少;当购买数量为80件时,选择两超市支付的费用相同;当购买数量超过80件时,选择甲超市支付的费用较少. 五．课堂检测 （一）．选择题 1.下列式子中，属于一元一次不等式的是（ ） A. 3x + 2y > 5 B. 3x² - 5 < 0 C. 2x - 1 ≥ 3 D. + 4 > 2 【答案】：C 【解析】：选项A含有两个未知数x和y，不符合“只含一个未知数”，排除；选项B中未知数x的次数是2，不符合“未知数次数为1”，排除；选项C只含一个未知数x，次数为1，不等号两边都是整式，符合一元一次不等式的定义；选项D中分母含有未知数x，不是整式，不符合“不等号两边都是整式”，排除。 2．如果不等式ax＞1的解集是x＜，那么(　　) A．a≥0 B．a≤0 C．a＞0 D．a＜0 【答案】D　 【解析】根据不等式的基本性质解答，由于不等号的方向发生了改变，所以可判定a为负数．故选D. 3.不等式3x＋2≥5的解集是(　　) A．x≥1 B．x≥ C．x≤1 D．x≤－1 【答案】A　 【解析】由3x＋2≥5得3x≥3，则x≥1. 4.下列说法正确的是（ ） A. 不等式 x - 3 > 0 的解集是 x > -3 B. 2x - 1 < 0 是一元一次不等式 C. 不等式 -2x > 4 的解集是 x > -2 D. 3x + 5 < 3x + 7 不是一元一次不等式 【答案】：B 【解析】：选项A，解x - 3 > 0得x > 3，不是x > -3，错误；选项B，2x - 1 < 0含一个未知数，次数1，两边是整式，是一元一次不等式，正确；选项C，解-2x > 4时，系数化为1（除以-2），不等号方向改变，得x < -2，不是x > -2，错误；选项D，3x + 5 < 3x + 7化简后为5 < 7，不含未知数，不是一元一次不等式，但选项B正确，所以答案为B。 5.某学校组织学生参加社会实践活动，需租用若干辆客车。若每辆客车坐45人，则有15人没有座位；若每辆客车坐60人，则空出一辆车。设租用x辆客车，根据题意，可列不等式为（ ） A. 45x + 15 ≤ 60(x - 1) B. 45x + 15 < 60(x - 1) C. 45x + 15 ≥ 60(x - 1) D. 45x + 15 > 60(x - 1) 【答案】：A 【解析】：总人数为(45x + 15)人。“每辆坐60人，空出一辆车”说明总人数不超过(x - 1)辆车的座位数（因为空出一辆，实际用了x - 1辆，总人数≤60(x - 1)），所以列不等式45x + 15 ≤ 60(x - 1)，选A。 6．已知y1＝2x－5，y2＝－2x＋3.若y1<y2，则x的取值范围是(　　) A．x＞2 B．x＜2 C．x＞－2 D．x＜－2 【答案】B　 【解析】解不等式2x－5＜－2x＋3得出x＜2. 7若方程组 的解满足3x－4y＞0，则k的取值范围是(　　) A．k＞1 B．k＜1 C．k＞－1 D．k＜－1 【答案】B　 【解析】 ①－②，得3x－4y＝1－k，由3x－4y＞0，得1－k＞0，解得k＜1.故选B. 8．阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad－bc，例如＝1×4－3×2＝－2.如果＞3，那么x的取值范围是(　　) A．x＞2 B．x＜－2 C．x＞6 D．x＜－6 【答案】：A 【解析】：由题意可得2x－(3－x)＞3，解得x＞2.故选A. 9.植树节期间,某校开展校园植树的劳动实践活动,学校计划购买杨树和松树两种树苗共80棵,杨树苗每棵20元,松树苗每棵23元.若计划购买树苗的总费用不超过1 700元,则最多可以购买松树苗(　　) A.33棵　　　B.34棵　　　C.46棵　　　D.47棵 【答案】：A 【解析】：设购买松树苗x棵.根据题意,得23x+20(80-x)≤1 700,解得x≤33.因为x为正整数,所以x的最大值为33.故选A. 10.某工厂为了要在规定期限内完成2 160个零件的任务,于是安排15名工人每人每天加工a个零件(a为整数),开工若干天后,其中3人外出培训,若剩下的工人每人每天多加工2个零件,则不能按期完成这次任务,由此可知a的值至少为(　　) A.10　　　B.9　　　C.8　　　D.7 【答案】B　 【解析】设原计划n天完成,则15an=2 160,∴an=144.由题意得15ax+12(a+2)(n-x)<2 160, 整理,得ax+4an+8n-8x<720,∵an=144,∴ax+8n-8x<144,即ax+8n-8x<an,整理,得8(n-x)<a(n-x),∵n>x,∴n-x>0,∴a>8,∴a的值至少为9.故选B. （二）．填空题 11．若不等式2xa－1＜1是关于x的一元一次不等式，则a＝________． 【答案】2　 【解析】根据一元一次不等式的定义，可知未知数x的次数是1，然后解方程即可求解． 12．若关于x的分式方程＝2的解为正数，m的取值范围是__________________． 【答案】 m>－1且m≠1 【解析】解关于x的分式方程＝2，得x＝．∵x>0，∴>0，∴m>－1．又∵x－1≠0，即x≠1，∴≠1，∴m≠1．∴m的取值范围为m>－1且m≠1． 13．如果关于x 的不等式(a＋1)x<2的自然数解有且只有一个，a的取值范围是_______． 【答案】a≥1 【解析】∵自然数解只有1个，∴原不等式的解不可能是x大于某一个数，∴a＋1>0，∴不等式的解为x<．易知这个自然数解必为x＝0，∴≤1．∵a＋1>0，∴2≤a＋1，∴a≥1，∴a的取值范围是a≥1． 14.若关于x的不等式x－b＞0恰有两个负整数解，则b的取值范围是_____________ 【答案】－3≤b＜－2. 【解析】解不等式x－b＞0，解得x＞b.∵不等式只有两个负整数解，∴－3≤b＜－2. 15．若x＝a＋1是不等式x－1<2的解，则a____． 【答案】a<5. 【解析】把x＝a＋1代入x－1<2，得(a＋1)－1<2，a＋－1<2，a－<2，a<，∴a<5. 16．设[x)表示大于x的最小整数，如[3)＝4，[－1.2)＝－1，有下列结论：①[0)＝0；②[x)－x的最小值是0；③[x)－x的最大值是1；④存在实数x，使[x)－x＝0.5成立．其中正确的是_______(填序号)． 【答案】③④ 【解析】易得x＜[x)≤x＋1，由此进行判断：[0)＝1，故①错误．[x)－x＞0，但是取不到0，故②错误. [x)－x≤1，即最大值为1，故③正确．当x＝0.5时，[x)－x＝1－0.5＝0.5，故④正确．综上所述，③④正确． 17.某商店的老板销售一种商品，他要以高于进价20%的价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价，若你想买下标价为360元的这种商品，最多降价________元商店老板才能出售． 【答案】120 【解析】设这件商品的进价为x．据题意可得：（1+80%）•x=360， 解得：x=200．盈利的最低价格为200×（1+20%）=240，∴商店老板最多会降价360﹣240=120（元）．故答案为120． 18. 某次数学测验中有16道选择题，评分办法：答对一道得6分，答错一道扣2分，不答得0分.某学生有一道题未答，那么这个同学至少要答对______道题，成绩才能在60分以上． 【答案】12 【解析】设答对x道故6x-2（15-x）＞60解得：x＞所以至少要答对12道题，成绩才能在60分以上．故答案为：12． 19. x的与6的差不小于-4的相反数，那么x的最小整数解是______________． 【答案】15 【解析】由题意得，x-6≥4，解得x≥15，∴x的最小整数解是15，故答案为15. 20. 张华同学和父母一起到距离家200公里的景区旅游．出发前，汽车油箱内储油45升；当行驶120公里时，发现油箱剩余油量为33升；已知油箱中剩余油量少于3升时，汽车将自动报警．如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？答：______________（填：能或不能） 【答案】能 【解析】120x=45−33，解得x=，因为45−200×2×=5>3，所以如果往返途中不加油，他们能在汽车报警前回到家． （三）．解答题 21.解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)3x－2(1－2x)≥1； (2)3(x＋2)≤5(x－1)＋7； (3)－2＞； (4)－≥1. 解：（1）去括号，得3x－2＋4x≥1，整理，得7x≥3，系数化为1，得x≥.在数轴上表示不等式的解集为： （2）去括号，得3x＋6≤5x－5＋7，移项，得3x－5x≤－5＋7－6，合并同类项，得－2x≤－4，系数化为1，得x≥2.在数轴上表示不等式的解集为： （3）去分母，得2（5x＋1）－24＞3（x－5），去括号，得10x＋2－24＞3x－15，移项，得10x－3x＞－15＋24－2，合并同类项，得7x＞7，系数化为1，得x＞1.在数轴上表示不等式的解集为： （4）去分母，得2（y＋1）－3（2y－5）≥12，去括号，得2y＋2－6y＋15≥12，移项，得2y－6y≥12－2－15，合并同类项，得－4y≥－5，系数化为1，得y≤.在数轴上表示不等式的解集为： 22.规律探究 已知：＝1－；＝－；＝－；＝－；…；＝－.请你根据上式中包含的规律，求不等式＋＋＋…＋>n－1的解集．(n是大于1的整数) 解：由已知条件所包含的规律可知：＋＋＋…＋ ＝x（1－＋－＋－＋…＋－＋－）＝（1－）x， 则原不等式可化为（1－）x>n－1.因为n>1，所以1－＝>0，即x>n， 所以原不等式的解集为x>n. 23.阅读下面的材料： 对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a<b时，min{a，b}＝a；当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{4，－2}＝－2，min{5，5}＝5. 根据上面的材料回答下列问题： (1)min{－1，3}＝________． (2)当min＝时，求x的取值范围． 解：(1)－1　(2)由题意得：≥，3(2x－3)≥2(x＋2)，6x－9≥2x＋4，4x≥13，x≥，∴x的取值范围为x≥. 24.是否存在整数m，使关于x的不等式1＋＞＋与关于x的不等式x＋1＞的解集相同？若存在，求出整数m和不等式的解集；若不存在，请说明理由． 解：分两种情况：(1)当m＞0时，解不等式1＋＞＋，有m＋3x＞x＋9，2x＞9－m，所以x＞(9－m)．解不等式x＋1＞，有3x＋3＞x－2＋m， 所以x＞.当(9－m)＝时，解得m＝7，符合题意． (2)当m＜0时，解不等式1＋＞＋，有m＋3x＜x＋9，2x＜9－m，所以x＜(9－m)． 解不等式x＋1＞，有3x＋3＞x－2＋m，所以x＞.因为x＞与x＜(9－m)的不等号方向相反，所以当m＜0时，不存在符合条件的整数m的值．综上所述，存在整数m＝7，使关于x的不等式1＋＞＋与关于x的不等式x＋1＞的解集相同，此时(9－m)＝1，所以关于x的不等式1＋＞＋与关于x的不等式x＋1＞的解集都是x＞1. 25．为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表： A型 B型 价格(万元/台) 12 10 处理污水量(吨/月) 240 200 年消耗费(万元/台) 1 1 经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元． (1)请你设计几种符合要求的购买方案． (2)若企业每月产生的污水量为2040 t，为了节约资金，应选择哪种购买方案？ (3)在第(2)问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水处理厂处理污水的费用为每吨10元，请你计算：该企业自己处理污水与将污水排到污水处理厂处理相比较，10年能节约资金多少万元？(注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费) 解：(1)设购买A型x台，则12x＋10(10－x)≤105，解得x≤2.5，∴x＝0，1，2. 可以设计方案如下：方案一，购买10台B型；方案二，购买1台A型，9台B型； 方案三，购买2台A型，8台B型． (2)由题意，得240x＋200(10－x)≥2040，解得x≥1.又∵x≤2.5，∴x＝1或2. 当x＝1时，购买设备的资金为102万元；当x＝2时，购买设备的资金为104万元． ∴为了节约资金，应购买1台A型，9台B型． (3)企业自己处理的10年总费用＝12＋10×9＋10×10＝202(万元)； 排到污水处理厂处理的10年总费用＝2040×12×10×10＝2448000(元)＝244.8(万元)， ∴可节约244.8－202＝42.8(万元)． 26.阅读与理解 若一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式②是一元一次不等式①的覆盖不等式．例如：不等式x＞1的解都是不等式x≥﹣1的解，则x≥﹣1是x＞1的覆盖不等式． 根据以上信息，回答问题： （1）请你判断：不等式x＜﹣1 　 　不等式x＜﹣3的覆盖不等式（填“是”或者“不是”）； （2）若关于x的不等式3x+a＜2是1﹣3x＞0的覆盖不等式，且1﹣3x＞0也是关于x的不等式3x+a＜2的覆盖不等式，求a的值； （3）若x＜﹣2是关于x的不等式ax﹣6＞0的覆盖不等式，试确定a的取值范围． 解：（1）不等式x＜﹣1是不等式x＜﹣3的覆盖不等式．故答案为：是； （2）依题意有：＝，解得a＝1． （3）∵x＜﹣2是关于x的不等式ax﹣6＞0的覆盖不等式，∴a＜0，不等式ax﹣6＞0的解集为x＜，∴≤﹣2，解得a≥﹣3．故a的取值范围是﹣3≤a＜0． 六．课后作业 （一）完成知识清单 一、一元一次不等式的概念及其理解 1.只含有______个未知数，并且未知数的次数是______，系数不等于______，左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。 2.代数式 3x - 2 > 5 中，未知数的次数是______，它是______（填“是”或“不是”）一元一次不等式。 3.若不等式 ax + 3 > 0 是关于 x 的一元一次不等式，则 a 的取值范围是______。 4.下列不等式中，属于一元一次不等式的是______（填序号）：① 2x + y > 3；② x2 - 1 > 0；③ + 2 < 5；④ 3x - 4 ≤ 0。 5.一元一次不等式的一般形式是______或______（其中 a ≠ 0，a、b 为常数）。 二、解一元一次不等式 1.解一元一次不等式的依据是______，在不等式两边同时加、减同一个数（或整式），不等号的方向______；在不等式两边同时乘、除以同一个正数，不等号的方向______；在不等式两边同时乘、除以同一个负数，不等号的方向______。 2.解不等式 2x - 1 ≤ 3 的步骤：第一步，移项得 2x ≤ 3 + 1，移项的依据是______；第二步，合并同类项得 2x ≤ 4；第三步，系数化为1得 x≤ 2，系数化为1的依据是______。 3.不等式 3(x - 2) > 2x - 5 的解集是______。 4.解不等式 - > 1 时，第一步应先______，去分母后得到的不等式是______。 5.若不等式 mx + n < 0 的解集为 x > ，则 m 的取值范围是______，且 。 6.不等式 -2x + 5 > 3 的正整数解是______。 三、一元一次不等式的应用 1.列一元一次不等式解决实际问题的关键是找出_____关系，常用的不等关键词有“至少”（用符号____表示）、“至多”（用符号______表示）、“不超过”（用符号____表示）等。 2.某商店将一批服装按成本价提高50%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利20元，设这批服装的成本价为每件 x 元，若要保证每件获利不低于15元，则可列不等式为______。 3.某校组织学生参加社会实践活动，若租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若租用55座客车，则可以少租1辆，且余45个座位，设租用35座客车 x 辆，若学生总人数不超过200人，则可列不等式为______。 4.某工厂计划生产一批零件，原计划每天生产40个，15天完成，实际每天生产的零件数是原计划的1.2倍，设实际生产 y 天可完成任务，若要求实际完成时间不超过原计划时间，则可列不等式为______。 5.某超市推出优惠活动：购物满300元减50元，不满300元不优惠。小明购买了单价为80元的商品 n 件，若小明享受了优惠，则 n 满足的不等式是______，此时 n 的最小整数值为______。 【答案】 一、一元一次不等式的概念及其理解 1.一；1；0 2.1；是 3.a ≠ 0 4.④ 5.ax + b > 0；ax + b < 0（顺序可互换） 二、解一元一次不等式 1.不等式的基本性质；不变；不变；改变 2.不等式的基本性质1；不等式的基本性质2 3.x > 1 4.去分母；3(x + 1) - 2(2x - 3) > 6 5.m < 0； 6. x = 1 三、一元一次不等式的应用 1.不等；≥；≤；≤ 2.0.8(1 + 50%)x - x ≥ 15 3.35x ≤ 200（或 55(x - 1) - 45≤ 200） 4.40 × 1.2y ≥ 40 × 15（或 48y ≥ 600） 5.80n ≥ 300；4 （二）强化训练 一．选择题 1.下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A. 5 + 4 > 8 B. 2x - 1 C. 2x ≤ 5 D. 3x + 2y < 0 【答案】：C 【解析】：选项A不含未知数，是不等式但不是一元一次不等式；选项B是代数式，不是不等式；选项C只含一个未知数x，次数为1，不等号两边都是整式，符合一元一次不等式定义；选项D含有两个未知数，不符合“只含一个未知数”，排除。 2．不等式3(2＋x)≥2(2x－1)的解集是(　　) A．x≥8 B．x≤8 C．x≥－8 D．x≤－8 【答案】：B 【解析】：去括号，得6＋3x≥4x－2.移项、合并同类项，得－x≥－8.解得x≤8.故选B. 3．下列解不等式＞的过程中开始出现错误的一步是(　　) A．去分母，得5(2＋x)＞3(2x－1) B．去括号，得10＋5x＞6x－3 C．移项、合并同类项，得－x＞－13 D．系数化为1，得x＞13 【答案】：D 【解析】：解不等式＞，不等式两边同时乘15，得5(2＋x)＞3(2x－1)．去括号，得10＋5x＞6x－3.移项、合并同类项，得－x＞－13.系数化为1，得x＜13，所以D错误．故选D. 4．若方程组 的解满足x＋y＜2，则k的取值范围是(　　) A．k＜－1 B．k＜2 C．k＜1 D．k＞－1 【答案】：C 【解析】：①＋②得3x＝6k＋3，则x＝2k＋1.将x＝2k＋1代入①得y＝k－2.由x＋y＜2，得2k＋1＋k－2＜2，解得k＜1.故选C. 5．若关于x的方程x－2＋3k＝的解是正数，则k的取值范围是(　　) A．k＞ B．k≥ C．k＜ D．k≤ 【答案】：C 【解析】：解方程x－2＋3k＝，得x＝－4k＋3. 因为方程的解为正数，所以－4k＋3＞0，解得k＜.故选C. 6．已知不等式2x－a≤0的正整数解恰好是1，2，3，4，5，那么a的取值范围是(　　) A．a＞10 B．10≤a≤12 C．10＜a≤12 D．10≤a＜12 【答案】：D 【解析】：解不等式2x－a≤0得x≤a.根据题意得5≤a＜6，解得10≤a＜12.故选D. 7. 甲、乙两人从相距24km的A、B两地沿着同一条公路相向而行，如果甲的速度是乙的速度的两倍，如果要保证在2小时以内相遇，则甲的速度(　　) A. 小于8km/h B. 大于8km/h C. 小于4km/h D. 大于4km/h 【答案】：B 【解析】：设甲的速度为x千米/小时，则乙的速度为 千米/小时，由题意可得，2（x+）>24，解得x>8，所以要保证在2小时以内相遇，则甲的速度要大于8km/h，故选B. 8. 甲在集市上先买了3只羊，平均每只a元，稍后又买了2只，平均每只羊b元，后来他以每只元的价格把羊全卖给了乙，结果发现赔了钱．赔钱的原因是（ ） A. B. C. D. 与a、b大小无关 【答案】：A 【解析】：根据题意得到5×＜3a+2b，解得a＞b故选：A． 9.某单位为一中学捐赠了一批新桌椅，学校组织七年级200名学生搬桌椅．规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅(一桌一椅为一套)的套数为( ) A. 60 B. 70 C. 80 D. 90 【答案】：C 【解析】：设可搬桌椅x套，即桌子x张、椅子x把，则搬桌子需2x人，搬椅子需人，根据题意，得：2x+≤200，解得：x≤80，∴最多可搬桌椅80套，故选C． 10．下表为小洁打算在某电信公司购买一支MAT手机与搭配一个门号的两种方案，此公司每个月收取通话费与月租费的方式如下：若通话费超过月租费，则只收通话费；若通话费不超过月租费，则只收月租费．若小洁每个月的通话费均为x元，x为400到600之间的整数，在不考虑其他费用并使用两年的情况下，要使得选择乙方案的总花费比甲方案便宜，则x至少为( ) 甲方案 乙方案 门号的月租费(元) 400 600 MAT手机价格(元) 15000 13000 注意事项：以上方案两年内不可变更月租费 A． 500 　　B． 516 C． 517 　　D． 600 【答案】：C 【解析】：∵x为400到600之间的整数，∴若小洁选择甲方案，需以通话费计算，若小洁选择乙方案，需以月租费计算，∴甲方案使用两年总花费＝24x＋15000，乙方案使用两年总花费＝24×600＋13000＝27400．∵24x＋15000>27400，解得x>516．∵x为整数，∴x至少为517． 二．填空题 11．不等式>1的解集是________． 【答案】 x＞3 【解析】 去分母，得x－1＞2.移项，得x＞3.故答案为x＞3.. 12．写出不等式5x＋3＜3(2＋x)的所有非负整数解：________． 【答案】 0，1 【解析】 不等式5x＋3＜3（2＋x），去括号，得5x＋3＜6＋3x，移项、合并同类项，得2x＜3，解得x＜，则不等式的所有非负整数解为0，1. 13．若不等式2(x＋3)＞1的最小整数解是方程2x－ax＝3的解，则a的值为________． 【答案】 【解析】 2（x＋3）＞1，解得x＞－，其最小整数解为－2，因此2×（－2）＋2a＝3，解得a＝. 14．关于x的一元一次不等式≤－2的解集为x≥4，则m的值为________． 【答案】2 【解析】解不等式≤－2得x≥而不等式的解集为x≥4，则＝4，解得m＝2. 15．已知关于x的方程3(x－2a)＋2＝x－a＋1的解适合不等式2(x－5)≥8a，则a的取值范围是____________． 【答案】a≤－ 【解析】解方程得x＝，将x＝代入不等式2(x－5)≥8a，得5a－1－10≥8a，所以a≤－. 16．小菲受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作，请根据图中给出的信息，求出量筒中至少放入________个小球时有水溢出． 【答案】10　 【解析】由题意可得每放入一个小球，水面上升2 cm，设放入x个小球时有水溢出，则2x＋30＞49，解得x＞9.5，即至少放入10个小球时有水溢出． 17．按如图所示的程序进行运算时，发现输入的x恰好经过3次运算输出，则输入的整数x的值是　 　． 【答案】　11、12、13、14、15 【解析】第一次的结果为：2x﹣5，没有输出，则2x﹣5≤45，解得：x≤25；第二次的结果为：2（2x﹣5）﹣5＝4x﹣15，没有输出，则4x﹣15≤45，解得：x≤15；第三次的结果为：2（4x﹣15）﹣5＝8x﹣35，输出，则8x﹣35＞45，解得：x＞10，综上可得：10＜x≤15， 故输入的整数值是：11、12、13、14、15． 18. 有10名菜农，每人可种茄子3亩或辣椒2亩，已知茄子每亩可收入0.5万元，辣椒每亩可收入0.8万元．要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排_______人种茄子． 【答案】4 【解析】设安排x人种茄子，则种辣椒的人数为10−x.由每人可种茄子3亩或辣椒2亩可得：茄子有3x亩, 辣椒有2(10−x)亩．由茄子每亩可收入0.5万元，辣椒每亩可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元得：0.5×3x+0.8×2(10−x)≥15.6， 解得x≤4.故最多只能安排4人种茄子故答案为：4. 19. 设x1，x2，…，x7为自然数，且x1＜x2＜…＜x6＜x7，又x1+x2+…+x7=159，则x1+x2+x3的最大值是___________________． 【答案】61 【解析】∵x1，x2，…，x7自然数，且x1＜x2＜…＜x6＜x7，∴159= x1+x2+…+x7≥x1+(x1+1)+(x1+2)+…+(x1+6)=7x1+21，∴x1≤19，∴x1的最大值为19；又∵19+x2+x3+…+x7=159，∴140≥x2+(x2+1)+(x2+2)+…+(x2+5)=6x2+15，∴x2≤20，∴x2的最大值为20，当x1，x2都取最大值时，有120= x3+x4+…+x7≥x3+(x3+1)+(x3+4)=5x3+10，∴x3≤22， ∴x3最大值为22．∴x1+x2+x3的最大值为19+20+22=61． 20．某高铁站客流量很大，某天开始售票时有个人在售票窗口等候购票，设购票人数按固定的速度增加，且每个窗口每分钟减少的排队人数也是固定的．若同时开放4个售票窗口，需要30分钟恰好不出现排队现象（即排队的人全部刚好购完票）；若同时开放6个售票窗口，需要10分钟恰好不出现排队现象，为减少旅客排队购票时间，车站承诺7分钟内不出现排队现象，则至少需要同时开放　 　个售票窗口． 【答案】8 【解析】设每分钟增加的购票人数为x人，每个窗口每分钟减少排队的人数为y人，车站同时开放m个售票窗口，由题意得：，解得n=10x，y=x，∵ 7分钟内不出现排队现象 ，∴7my≥n+7x，∴7m·x≥10x+7x，解得m≥，∵m为正整数，∴m的最小值为8；故答案为：8. 三．解答题 21．解下列不等式，并把不等式的解在数轴上表示出来： (1)3(y－3)＜4(y＋1)＋2； 　(2)≥－. 解：(1)3y－9<4y＋4＋2，－y<15，y＞－15.解在数轴上表示如下： (2)12≥4x－(2x－3)，12≥4x－2x＋3，x≤.解在数轴上表示如下： 22.已知实数x满足－≥－，求2|x－1|＋|x＋4|的最小值． 解：原不等式两边同乘30，得15(3x－1)－10(4x－2)≥6(6x－3)－39.化简，得－31x≥－6解得x≤2.(1)当x≤－4时，原式＝－2(x－1)－(x＋4)＝－3x－2，∴当x＝－4时，原式的值最小，为(－3)×(－4)－2＝10.(2)当－4≤x≤1时，原式＝－2(x－1)＋(x＋4)＝－x＋6，∴当x＝1时，原式的值最小，为5.(3)当1≤x≤2时，原式＝2(x－1)＋(x＋4)＝3x＋2，∴当x＝1时，原式的值最小，为5.综上所述，2|x－1|＋|x＋4|的最小值为5(在x＝1时取得)． 23．(1)已知关于x，y的方程组的解满足不等式x＋y＞3，求a的取值范围． (2)已知关于x，y的方程组的解满足不等式x＋y＜3，求a的取值范围． 解：(1) ①＋②，得3x＝6a＋3，即x＝2a＋1.将x＝2a＋1代入①，得2a＋1－y＝3a＋3，解得y＝－a－2.所以方程组的解为因为方程组的解满足不等式x＋y＞3，所以2a＋1＋(－a－2)＞3，解得a＞4. (2) ①＋②，得3x＝6a＋3，解得x＝2a＋1.将x＝2a＋1代入①，得y＝2a－2.因为x＋y＜3，所以2a＋1＋2a－2＜3，即4a＜4，所以a＜1. 24．请阅读求绝对值不等式|x|＜3和|x|＞3的解的过程： 因为|x|＜3，从如图1所示的数轴上看：大于－3而小于3的数的绝对值是小于3的，所以|x|＜3的解是－3＜x＜3. 因为|x|＞3，从如图2所示的数轴上看：小于－3的数和大于3的数的绝对值是大于3的，所以|x|＞3的解是x＜－3或x＞3. 解答下面的问题：（1）不等式|x|＜a（a＞0）的解为____________， 不等式|x|＞a（a＞0）的解为____________； （2）解不等式|x-5|＜3； （3）解不等式|x-3|≥4. 解：（1）－a＜x＜a x＞a或x＜－a （2）|x-5|＜3，∴－3＜x－5＜3，∴2＜x＜8. （3）|x-3|≥4，∴x－3≥4或x－3≤－4，∴x≥7或x≤－1. 25．某电器商场销售A，B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元，商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元． (1)求A，B两种型号计算器的销售价格(利润＝销售价格－进货价格)． (2)商场准备用不多于2500元的资金购进A，B两种型号计算器共70台．问：最少需要购进A型号计算器多少台？ 解：(1)设A型号计算器的销售价格是x元，B型号计算器的销售价格是y元，由题意，得解得 答：A型号计算器的销售价格是42元，B型号计算器的销售价格是56元． (2)设购进A型号计算器a台，则购进B型号计算器(70－a)台．由题意，得30a＋40(70－a)≤2500，解得a≥30．答：最少需要购进A型号计算器30台． 26.我们定义:如果两个一元一次不等式有公共解,那么称这两个不等式互为“云不等式”,其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”. (1)在不等式:①2x-1<0;②x≤2;③x-(3x-1)<-5中,不等式x≥2的“云不等式”是　　　　;(填序号)  (2)若关于x的不等式x+2m≥0不是2x-3<x+m的“云不等式”,求m的取值范围; (3)若a≠-1,关于x的不等式x+3≥a与不等式ax-1<a-x互为“云不等式”,求a的取值范围. 解：(1)不等式2x-1<0和不等式x≥2没有公共解,故①不是不等式x≥2的“云不等式”;不等式x≤2和不等式x≥2有公共解,故②是不等式x≥2的“云不等式”;不等式x-(3x-1)<-5和不等式x≥2有公共解,故③是不等式x≥2的“云不等式”.故答案为②③. (2)解不等式x+2m≥0,得x≥-2m,解不等式2x-3<x+m,得x<m+3,因为关于x的不等式x+2m≥0不是2x-3<x+m的“云不等式”,所以-2m≥m+3,解得m≤-1,故m的取值范围是m≤-1. (3)解不等式x+3≥a,得x≥a-3,由不等式ax-1<a-x,得(a+1)x<a+1, ①当a+1>0,即a>-1时,解不等式(a+1)x<a+1,得x<1,依题意有a-3<1,解得a<4,故-1<a<4; ②当a+1<0,即a<-1时,始终符合题意,故a<-1. 综上,a的取值范围为a<-1或-1<a<4. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $