专题06概率初步题型突破讲义(常考题型精析+强化题型+寒假预习)2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题06概率初步题型突破讲义 一.必掌握重点(考试高频) 1.三种事件的判断:分清必然事件、不可能事件、随机事件，记准核心特征： 必然事件：一定发生，概率=1（比如“太阳从东方升起”）； 不可能事件：一定不发生，概率=0（比如“掷骰子掷出7点”）； 随机事件：可能发生也可能不发生，概率在01之间（比如“掷硬币正面朝上”）。 2.概率的简单计算 牢记公式：事件A的概率 = 事件A包含的结果数 ÷ 所有可能的结果总数适用场景：结果有限且每个结果发生概率相等（如掷骰子、摸均匀的球、抽无差别的卡片）。 3.频率与概率的关系 大量重复试验时，事件发生的频率（发生次数÷试验总次数）会稳定在概率附近，可用频率估计概率。比如抛硬币1000次，正面朝上约500次，频率接近0.5，即正面朝上的概率约为0.5。 4.概率的实际应用 核心是判断游戏公平性：双方获胜概率相等，规则就公平；不相等则不公平。也能根据概率设计简单的公平游戏规则（比如调整道具数量，让双方结果数相同）。 二、难点突破（易混淆、易出错） 1.频率≠概率:频率是实际试验后算出来的数（会变，比如抛10次硬币可能正面出现4次，频率=0.4）；概率是理论上的固定值（抛硬币正面朝上概率始终是0.5）。只有试验次数足够多，频率才接近概率。 2.古典概型的前提不能漏:必须满足“结果有限”且“每个结果概率相等”，缺一不可。易错点：掷不均匀的硬币、摸数量不等且材质不同的球，不能直接用上面的概率公式。 3.结果总数不能数错:列举结果时要有序，避免重复或遗漏。 4.概率应用的逻辑梳理:判断公平性时，要先分别算双方的概率，再比较；设计规则时，要确保双方对应的结果数相同，概率相等。 基础 过关题 1.事件的类型与分类 2.事件发生可能性大小的判断 3.事件频率的计算方法 4.概率的意义理解 5.根据概率公式计算概率 能力 提升题 6.关于频率与概率关系说法正误 7.由频率估计概率 8.列举法求概率 9.已知概率求数量 10.游戏的公平性 拓展拔高题 11.由频率估计概率的综合应用 12.几何概率的概念与计算 【题型1.事件的类型与分类】 1．在古诗句“小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头”中，“早有蜻蜓立上头”描述的事件是 ．（填“必然事件”“随机事件”或“不可能事件”） 【答案】随机事件 【分析】本题考查了事件的分类，随机事件∶在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件；不可能事件∶在一定条件下，一定不会发生的事件． 根据事件的分类即可得到答案． 【详解】解：在古诗句“小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头”中，“早有蜻蜓立上头”描述的事件，可能发生，也可能不发生，是随机事件， 故答案为：随机事件 2．下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．打开电视，正在播放新闻联播 B．购买一张彩票，中奖500万元 C．暑假出门旅行，碰到同班同学 D．早上的太阳从东边升起 【答案】D 【分析】本题考查了必然事件的定义，正确掌握其定义是解题的关键．必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件．利用定义分析即可得出答案． 【详解】解：A．打开电视播放新闻联播是随机事件，不一定发生，不属于必然事件； B．购买彩票中奖是随机事件，不一定发生，不属于必然事件； C．暑假旅行碰到同班同学是随机事件，不一定发生，不属于必然事件； D．早上的太阳从东边升起是自然规律，一定发生，属于必然事件． 故选：D． 3．指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件：   （1）掷一枚硬币，出现正面朝上； （2）买一张彩票中一百万； （3）； （4）任意买一张电影票，座位号是双号； （5）向空中抛一枚硬币，硬币从空中不往下掉． 必然事件是 ；不可能事件是 ；随机事件是 ．（填序号） 【答案】 （3） （5） （1）（2）（4） 【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，根据概念逐一判断，即可解题． 【详解】解：（1）掷一枚硬币，不一定出现正面朝上；故（1）是随机事件； （2）买一张彩票有可能中一百万；故（2）是随机事件； （3）；故（3）是必然事件； （4）任意买一张电影票，座位号不一定是双号；故（4）是随机事件； （5）向空中抛一枚硬币，硬币一定会从空中往下掉．故（5）是不可能事件； 综上所述：必然事件有（3），不可能事件有（5），随机事件有（1）（2）（4）， 故答案为：（3）；（5）；（1）（2）（4）． 4．若一个事件不发生的机会是，那么这个事件（    ） A．很可能发生 B．必然发生 C．不可能发生 D．不大可能发生 【答案】D 【分析】本题主要考查了事件可能性大小问题、判断事件发生可能性的大小，能正确判断事件的可能性大小是解题的关键．根据事件发生的可能性大小逐项判断即可； 【详解】解：选项A：很可能发生，那么这个事件发生的可能性很大，不符合题意； 选项B：必然发生，那么这个事件一定会发生，不符合题意； 选项C：不可能发生，那么这个事件一定不会发生，不符合题意； 选项D：不大可能发生，那么这个事件发生的可能性很小，符合题意； 故选：D． 【题型2.事件发生可能性大小的判断】 5．在一个不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，每个球除颜色外完全相同，将球摇匀，从中任取1球．①恰好取出白球；②恰好取出黄球；③恰好取出红球．根据你的判断，将这些事件按发生的可能性从小到大的顺序排列是（    ） A．①③② B．②①③ C．①②③ D．③②① 【答案】C 【分析】本题考查可能性大小，根据球的数量决定事件发生可能性大小解答即可． 【详解】解：∵白球数量（1个）＜黄球数量（2个）＜红球数量（3个）， ∴这些事件按发生的可能性从小到大的顺序排列是①②③， 故选：C． 6．如图所示的是各个不透明的袋子中球的情况，每个球除颜色外都相同．任意摸出1个球，请你根据摸到红球的可能性大小填空（填序号）．    （1）一定能摸到的是 ； （2）能摸到且摸到的可能性较大的是 ； （3）能摸到但摸到的可能性较小的是 ； （4）不可能摸到的是 ． 【答案】 ⑤ ④ ② ① 【分析】本题考查的是可能性大小的判断，要注意具体情况具体对待，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． （1）可能性等于所求情况数与总情况数之比，概率为1即为一定能摸到； （2）可能性等于所求情况数与总情况数之比，红球数目较大的，摸到的可能性较大，即可求解 （3）可能性等于所求情况数与总情况数之比，红球数目较小的，摸到的可能性较小，即可求解 （4）可能性等于所求情况数与总情况数之比，概率为0即为一定不能摸到，即可得解； 【详解】（1）⑤中20个球中，全部为红球，摸到红球的概率为，是必然事件，故一定能摸到 故答案为：⑤ （2）④中红球数较多，20个球中有18个红球，能摸到且摸到的可能性较大，概率为 故答案为：④ （3）②中红球数较少，20个球中有2个红球，能摸到且摸到的可能性较小，概率为， 故答案为：② （4）①中20个球中，没有红球，不可能摸到红球，是不可能事件； 故答案为：① 7．3个人站成一排，其中小亮“站在中间”与“站在两端”这两个事件发生的可能性是（   ）． A．一样大 B．“站在中间”的可能性大 C．“站在两端”的可能性大 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了可能性大小的判断，要求小亮“站在中间”与小亮“站在两端”这两个事件发生的可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可得到相应的可能性，比较即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：3个人站成一排，小亮站在哪个位置都有可能，“小亮站在正中间”的可能性为，“小亮站在两端”的可能性有，这两个事件发生的可能性不相等， ∵ ∴“站在两端”的可能性大， 故选：C． 8．某校举办了“数学节”活动，其中有一项活动是“数学游戏挑战赛”，参赛学生要按顺序依次参加“九连环、七巧板、五子棋、二十四点、魔方、华容道、数独”七个项目（每个项目只能挑战一次）．按照完成情况每个项目都分为参与奖、优秀奖、卓越奖，并奖励相应的积分．七个项目不同奖项对应的奖励积分如下表所示： 项目奖项 九连环 七巧板 五子棋 二十四点 魔方 华容道 数独 参与奖 2 7 5 7 4 7 4 优秀奖 5 10 9 9 7 8 7 卓越奖 9 12 13 15 12 10 9 小明同学参加了此次“数学游戏挑战赛”活动，若知道小明在“九连环”项目中没有获得卓越奖，在“魔方”项目中获得了优秀奖，且在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖，则可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高为 ，他参加此次“数学游戏挑战赛”活动的总积分最高为 【答案】 16 58 【分析】此题考查了事件的可能性，首先求出魔方获得优秀奖的积分为7分，然后分两种情况讨论：华容道和数独都获得优秀奖和华容道获得参与奖，数独获得卓越奖，即可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高得分，然后按照获得卓越奖的项目分4种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵小明在“九连环”项目中没有获得卓越奖， ∴小明在“九连环”项目中可能获得参与奖或优秀奖 ∵小明在“魔方”项目中获得了优秀奖， ∴魔方获得优秀奖的积分为7分 ∵在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖 ∴当华容道和数独都获得优秀奖时，得分为（分）， 当华容道获得参与奖，数独获得卓越奖时，得分为（分）， ∴可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高为16分； ∵在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖， ∴①当只七巧板获得卓越奖时，九连环获得参与奖，其他项目获得优秀奖， ∴总积分为（分）； ②当七巧板，二十四点获得卓越奖， ∴九连环，五子棋获得参与奖， ∴总积分为（分）； ③当五子棋获得卓越奖，二十四点获得优秀奖， ∴九连环获得优秀奖，七巧板获得参与奖， ∴总积分为（分）； ④当二十四点获得卓越奖，九连环，七巧板获得优秀奖， ∴五子棋获得参与奖， ∴总积分为（分）； 综上所述，他参加此次“数学游戏挑战赛”活动的总积分最高为58分． 故答案为：16，58． 【题型3.事件频率的计算方法】 9．我们将2022年2月2日用一组数字“20220202”表示，这组数字中“2”出现的频率是 ． 【答案】/0.625 【分析】根据“2”出现的次数除以总个数即可． 【详解】解：“20220202”，共有8个数字，其中2出现的次数为：5次， ∴“2”出现的频率为：， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查频率的计算，理解频率的计算方法是解题关键． 10．在掷一枚骰子次的试验中，“偶数朝上”的频数为，则“偶数朝上”的频率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用频率频数总次数，进行计算即可解答．本题考查了频数与频率，熟练掌握频率频数总次数是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， “偶数朝上”的频率为， 故选：C． 11．数据观念某种绿豆在相同条件下发芽情况的试验结果如下表所示．根据表中数据我们发现当参与试验的这种绿豆的粒数很大时，它的发芽率会在一个常数 （结果精确到）附近摆动，即这种绿豆的发芽率具有 ． 每批粒数 500 1000 2000 3000 发芽的粒数 463 930 1862 2793 发芽率 【答案】 稳定性 【分析】本题考查了频率的稳定性，分析表格频率特点是关键． 根据“大量重复实验时，事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且摆动的幅度越来越小，这个性质称为频率的稳定性”解答即可． 【详解】解：观察表格发现，随着试验次数的增多，绿豆发芽的频率逐渐稳定到（结果精确到）左右， ∴绿豆的发芽率具有稳定性． 故答案为：，稳定性． 12．两个同学在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率 B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率 C．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率 【答案】C 【分析】本题考查频率的计算，根据频数、频率的定义，确定各选项中，符合条件的对象的频率，作出判断． 【详解】解：根据统计图可知，试验结果在附近波动， A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率约为，不合题意； B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率为，不合题意； C．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率约为，符合题意； D．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率约为，不合题意； 故选：C． 解答题 13．李伟在寒假期间进行了前掷实心球训练，训练结果如下： 投掷次数 10 20 40 60 100 200 500 得满分的次数 7 14 30 46 76 153 385 得满分的频率 0.700 0.750 0.767 0.760 0.765 0.770 (1)计算：________； (2)估计李伟前掷实心球得满分的概率是________（精确到0.01）； (3)当李伟投掷600次时，请估计他得满分的次数． 【答案】(1)0.700 (2)0.77 (3)李伟得满分的次数是462次 【分析】本题考查的是利用频率估计概率的思想，解题的关键是能熟记相关的知识点． （1）根据频率计算公式即可求解； （2）根据频率估计概率的思想进行解答，实验次数越多，某事件发生的频率越稳定在相应的概率附近； （3）由频率计算公式即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：0.700； （2）解：由表格可得：当实验500次时，得满分的频率都在0.770附近波动， ∴估计李伟前掷实心球得满分的概率是0.77， 故答案为：0.77； （3）解：由题意得，当李伟投掷600次时，他得满分的次数为． 【题型4.概率的意义理解】 14．天气预报显示，某市明天降水概率是．对此信息，下列说法正确的是（   ） A．该市明天会有的面积降水 B．该市明天会有的时间降水 C．该市明天不会降水 D．该市明天降水的可能性比较小 【答案】D 【分析】本题主要考查了概率的意义，根据概率的意义可知，明天下雨的概率为，表示下雨的可能性较小，但并不代表一定会下雨或具体区域、时间的分布，据此可得答案． 【详解】解；∵概率只表示事件发生的可能性的大小， ∴降水概率表示出现降水的可能性较小． 故选D． 15．抛掷一枚质地均匀的硬币，前5次都正面朝上，第6次正面朝上的概率是（    ） A．不能确定 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题关键． 利用概率的意义直接得出答案． 【详解】解：某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币5次，结果都是正面朝上， 则他第6次抛掷这枚硬币，有两种等可能的结果：正面向上与反面向上． 正面朝上的概率为：， 故选D． 16．下列说法：①某种彩票的中奖率是，则购买该种彩票100张一定中奖；②同时掷两枚均匀的骰子，朝上的点数和可能为6；③某次投篮活动中，张明同学投篮5次，投中4次，那么他投篮命中的概率为．其中正确的序号为 ． 【答案】② 【分析】此题考查事件发生可能性大小，根据每项事件发生的可能性大小依次判断即可，正确理解各事件发生的可能性大小是解题的关键． 【详解】解：①某种彩票的中奖率是，则购买该种彩票100张不一定中奖，故错误； ②同时掷两枚均匀的骰子，朝上的点数和可能为6，故正确； ③某次投篮活动中，张明同学投篮5次，投中4次，那么他投篮命中的概率不一定为，故错误． 故答案为：②． 【题型5.根据概率公式计算概率】 17．在一个不透明的口袋中，装有3个相同的球，它们分别写有数字1，2，3，从中随机摸出一个球，若摸出的球上的数字为2的概率记为，摸出的球上的数字小于4的概率记为，摸出的球上的数字为5的概率记为，则，，的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，掌握以上知识是解答本题的关键．分别求出，，的概率，然后进行比较，即可求解； 【详解】解：∵在1、2、3这3个小球中，数字为2的只有1个、数字小于4的有3个、数字为5的个数为0， ∴、、， ∴， 故答案为：． 18．数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个黑球、3个白球、2个蓝球和1个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（   ） A．黑球 B．白球 C．蓝球 D．红球 【答案】C 【分析】本题考查了概率公式，由频率估计概率，先求出四种颜色球出现的概率，再根据频率估计出概率，即可求解． 【详解】解：由题意可知，袋子中的球共有：（个）， ∴黑球出现的概率为：， 白球出现的概率为：， 蓝球出现的概率为：， 红球出现的概率为：， ∵试验中该颜色的球出现的频率稳定在0.2左右， ∴该颜色的球出现的概率为0.2， ∴该种球的颜色最有可能是蓝球， 故选：C． 19．下列说法中，正确的是（　　） A．从，，，，这五个数字中任取一个数，取到奇数的可能性较小 B．抛掷一枚质量均匀的硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件 C．如果，那么是必然事件 D．掷一枚骰子，掷出的是大于的点的可能性和掷出的是小于的点的可能性相同 【答案】B 【分析】本题考查事件发生的可能性与概率．根据事件发生的可能性以及事件发生的概率对各选项进行依次判断即可． 【详解】解：A选项：，，，，这个数字中有个奇数，个偶数， 任取一个数，取到奇数的可能性是，取到偶数的可能性是， ， 从这五个数字中任取一个数，取到奇数的可能性较大， 故A选项错误； B选项：抛掷一枚质量均匀的硬币， 硬币落地时可能正面朝上也可能反面朝上， 硬币落地时正面朝上是随机事件， 故B选项正确； C选项：如果， 那么可能，也可能， 如果，那么是随机事件， 故C选项错误； D选项：一枚骰子有个面，每个面上一个数字，分别是、、、、、， 其中大于的数有个，小于的数有个， 掷出的是大于的点的可能性是，掷出的是小于的点的可能性是， 掷出的是大于的点的可能性和掷出的是小于的点的可能性不相同， 故D选项错误． 故选：B． 20．从1至中50任意抽取的一个数记为a，则的末位数字是7的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，数字类的规律探索，通过计算可得这一列数每4个数字为一个循环，末位数字依次为3，据此可求出1至中50能使的末位数字是7的数字个数，再根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：的末位数字是3， 的末位数字是9， 的末位数字是7， 的末位数字是1， 的末位数字是3， 的末位数字是9， ……， 以此类推可知，这一列数每4个数字为一个循环，末位数字依次为3，9，7，1， ∵， ∴在1至中50中有12个数字能使的末位数字是7， ∴的末位数字是7的概率为， 故答案为：． 解答题 21．某校某次外出游学活动分为三类，因资源有限，七年级（2）班分配到25个名额，其中甲类4个、乙类11个、丙类10个，已知该班有50名学生，班主任准备了50个签，其中甲类、乙类、丙类按名额设置，其余的为空签，采取抽签的方式来确定名额分配，请解决下列问题： (1)该班小明同学恰好抽到丙类名额的概率是__________； (2)该班小丽同学能有幸去参加游学活动的概率是__________； (3)后来，该班同学强烈呼吁名额太少，在总签数不变的情况下，要求抽到甲类的概率要达到，则还要争取甲类名额多少个？ 【答案】(1) (2) (3)8个 【分析】本题主要考查了概率公式，根据概率公式求数量，一元一次方程的应用，熟练掌握概率公式，是解题的关键． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）根据概率公式进行计算即可； （3）设还要争取甲类名额x个，根据抽到甲类的概率要达到，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：该班小明同学恰好抽到丙类名额的概率是． （2）解：该班小丽同学能有幸去参加游学活动的概率是． （3）解：设还要争取甲类名额x个， 根据题意，得， 解得， 答：还要争取甲类名额8个． 【题型6.关于频率与概率关系说法的正误】 22．一般地，当试验的可能结果有很多且各种可能结果发生的可能性相等时，则用列举法，利用概率公式 的方式得出概率． 当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，常常是通过 来估计概率，即在同样条件下，大量重复试验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生的 ． 【答案】 P（A）＝ 统计频率 概率 【解析】略 23．关于频率与概率，有下列几种说法，其中正确的说法有（    ） ①“明天下雨的概率是”表示明天下雨的可能性很大； ②“抛一枚硬币，正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上； ③“某种彩票中奖的概率是”表示买10张该种彩票不可能中奖； ④“抛一枚硬币，正面朝上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一事件发生的频率稳定在附近． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查概率的意义． 根据概率的意义判断各说法的正误． 【详解】∵概率表示事件发生的可能性大小， ∴说法①正确，因为的概率表示下雨可能性很大； ∵概率是长期频率的稳定值，不保证短期结果， ∴说法②错误，因为每抛两次不一定有一次正面朝上； ∵概率为表示中奖可能性小，但并非不可能， ∴说法③错误，因为买10张彩票可能中奖； ∵随着抛掷次数的增加，频率稳定在概率附近， ∴说法④正确； 故正确的说法是①和④． 故选：B． 24．下表列出了一些历史上的数学家所做的“掷质地均匀的硬币”试验的数据： 试验者 试验总次数n 正面朝上的次数m 正面朝上的频率mn 布丰 4040 2048 0.5069 德·摩根 4092 2048 0.5005 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 维尼 30000 14994 0.4998 罗曼诺夫斯基 80640 39699 0.4923 下列说法正确的是（　） A．随着试验次数的增加，正面朝上的频率越来越小 B．随着试验次数的增加，正面朝上的频率稳定在0.5附近，我们可以估计“正面朝上”这一事件的概率为0.5 C．试验50000次正面朝上的频率一定比试验10000次正面朝上的频率更接近0.5 D．当试验次数为5000次时，正面朝上的次数一定等于2500 【答案】B 【分析】本题考查用频率估计概率，掌握在大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值是解题关键．理解用频率估计概率，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．随着试验次数的增加，正面朝上的频率不一定越来越小，故该选项说法错误，不符合题意； B．根据在大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近概率，所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5，故该选项说法正确，符合题意； C．试验50000次正面朝上的频率不一定比试验10000次正面朝上的频率更接近0.5，故该选项说法错误，不符合题意； D．当试验次数为5000次时，正面朝上的次数不一定等于2500，故该选项说法错误，不符合题意． 故选B． 【题型7.由频率估计概率】 25．小明练习射击，共射击100次，其中有85次击中靶子，由此可估计，小明射击一次击中靶子的概率约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．根据频率=频数÷数据总数计算即可得答案． 【详解】解：∵共射击100次，其中有85次击中靶子， ∴击中靶子的频率为， ∴小明射击一次击中靶子的概率约为， 故选：A 26．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是6 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 【答案】B 【分析】本题主要考查随机事件的概率以及用频率估计概率．根据折线统计图可知，随着试验次数的增加频率稳定在以上，以下，通过计算各选项的概率，由此即可求解． 【详解】根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下， A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，本选项不符合题意； B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是的概率是，本选项符合题意； C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率是，本选项不符合题意； D、袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率是，本选项不符合题意； 故选：B． 27．为了估计一个鱼池中鱼的条数，采用了如下方法：先从鱼池的不同地方捞出40条鱼，给这些鱼做上记号后放回鱼池，过一段时间后，在同样的地方捞出200条鱼，其中有记号的鱼有8条．请你估计鱼池中鱼的条数约为 条． 【答案】1000 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，先计算出有记号鱼的频率，再用频率估计概率，利用概率计算鱼的总数即可． 【详解】解：设鱼的总数为x条， 根据题意可知， 解得 故答案为： 解答题 28．某公园移植A种花卉前查阅资料得到该花卉移植的成活率如下图． (1)A种花卉成活的频率稳定在__________附近，估计成活概率为________；（精确到0.1） (2)该公园规划共需要成活A种花卉9000株，分两批采购，第一批购入2000株，估计第二批需购入多少株？ 【答案】(1)0.9，0.9 (2)8000株 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量： （1）根据统计图，以及频率和概率之间的关系，进行作答即可； （2）利用需要成活的数量除以概率再减去已经移植的数量计算即可． 【详解】（1）解：由统计图可知：这种花卉成活的频率稳定在0.9附近，估计成活概率为0.9； 故答案为：0.9，0.9； （2）解：（株） 答：估计第二批需购入8000株． 【题型8.列举法求概率】 29．开封是一座历史悠久的古城，以其深厚的文化底蕴和令人垂涎的美食吸引着无数游客前来探访．为了进一步提升游客体验，某旅行社推出了免费品尝美食活动，每位游客可以从如图所示的四种美食中任选两种进行品尝，那么游客小华选到开封灌汤包和汴京烤鸭的概率为 ． 【答案】 【分析】该题考查了列举法求概率，先列举出所有可能情况，再由概率公式求解即可． 【详解】解：从四种美食中任选两种的所有可能情况有：（开封灌汤包，桶子鸡）、（开封灌汤包，花生糕）、（开封灌汤包，汴京烤鸭）、（桶子鸡，花生糕）、（桶子鸡，汴京烤鸭）、（花生糕，汴京烤鸭），共6种， 其中选到开封灌汤包和汴京烤鸭的情况只有1种，所以概率为． 故答案为：． 30．如图，是化学元素周期表中原子序数为1~5的元素，从中随机选取两种元素，则这两种元素恰好都是金属元素的概率为（   ）（注：锂和铍为金属元素） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键；因此此题可根据列举法进行求解概率． 【详解】解：由题意得： 从这5种元素中任取两种元素的可能性有：（氢，氦），（氢，锂），（氢，铍），（氢，硼），（氦，锂），（氦，铍），（氦，硼），（锂，铍），（锂，硼），（铍，硼），其中两种元素都为金属元素的只有一种，故抽取到两种元素都为金属元素的概率为； 故选C． 31．某马场有三匹马，按身体强壮程度分为上马，中马，下马，这三匹马随机住在三个不同的马厩，甲到该马场去租马，先到第一个马厩观察后不租，再到第二个马厩，若比第一个马厩的马强壮，就直接租第二个马厩的马，若比第一个马厩的马瘦弱，就租第三个马厩的马，按这种方式，甲租到上马的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列举法求概率．列举出所有三种马排列情况，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：设上马为，中马为，下马为， 三种马排列情况共有，，，，，， 符合要求的有，，， 所以租到是A类即租到上马的概率为． 故选：A． 32．甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加一次节日活动，很幸运的是他们都得到了一件精美的礼品（如图），他们每人只能从其中一串的最下端取一件礼品，直到礼物取完为止，甲第一个取得礼物，然后乙，丙，丁，戊依次取得第2到第5件礼物，当然取法各种各样，那么他们共有 种不同的取法．事后他们打开礼物仔细比较，发现礼物D最精美，那么取得礼物D可能性最大的是 同学．    【答案】 10 丙 【分析】本题考查了列举法求概率，概率公式的应用； 根据每人只能从其中一串的最下端取一件礼品得出所有取礼物的顺序，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：甲、乙、丙、丁、戊取礼物的顺序为： ①A、B、C、D、E； ②A、C、D、E、B； ③A、C、D、B、E； ④A、C、B、D、E； ⑤C、D、E、A、B； ⑥C、D、A、B、E； ⑦C、D、A、E、B； ⑧C、A、B、D、E； ⑨C、A、D、B、E； ⑩C、A、D、E、B． 则共有10种， 所以取得礼物D的概率分别为：，，， 所以取得礼物D可能性最大的是丙同学． 故答案为：10，丙． 解答题 33．某游乐园门票价格如下表所示： 门票价格一览表 指定日普通票 元 平日优惠票 元 …… …… 某旅行社准备了元，全部用来购买指定日普通票和平日优惠票，且每种至少买一张． (1)有多少种购票方案？列举所有可能结果； (2)如果从上述方案中任意选一种方案购票，求恰好选到11张门票的概率． 【答案】(1)有6种购票方案 (2) 【分析】此题考查了列举法求概率和概率公式． （1）某旅行社准备了元，全部用来购买指定日普通票和平日优惠票，且每种至少买一张，再结合票价写出所有方案即可； （2）根据概率公式进行解答即可． 【详解】（1）解：有6种购票方案，方案如下． 指定日普通票张数 平日优惠票张数 一 1 11 二 2 9 三 3 7 四 4 5 五 5 3 六 6 1 （2）由（1）知，共有6种购票方案，且选到每种方案的可能性相等，而恰好选到11张门票的方案只有1种，因此恰好选到11张门票的概率是． 【题型9.已知概率求数量】 34．一个不透明的袋子里装有白球和黑球共20个，这些球除颜色外都相同，从袋子中随机摸一个球记下颜色后放回搅匀，不断重复这一过程，统计发现摸到白球的概率为0.2，由此估计袋子里黑球的个数为（   ） A．4 B．16 C．12 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了根据概率公式， 根据概率公式，白球的数量除以总球数等于摸到白球的概率，由此建立方程求解． 【详解】解：设袋子里白球的数量为个，摸到白球的概率为0.2，即： 解得： 因此，白球有4个，黑球的数量为总球数减去白球数： 故袋子里黑球的个数为16个， 故选：B． 35．不透明的口袋里装有若干个除颜色外都相同的小球，将球摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程，得到一组统计数据（见下表），则下列说法错误的是（   ） 摸球的次数 100 150 300 500 800 1000 摸到红球的次数 61 93 b 301 480 601 摸到红球的频率 a 0.62 0.59 0.602 0.60 0.601 A． B． C．摸到红球的概率约为0.60 D．若袋中有9个红球，则总球数有14个 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是理解频率与概率的关系，以及掌握频率的计算方法． 根据频率的计算公式“频率频数总数”，分别计算各选项中的值，再结合大量重复试验中频率稳定值可估计概率，对各选项进行判断． 【详解】解：A、计算100次摸球时的频率，，正确，不符合题意； B、300次摸球时，摸到红球的次数，正确，不符合题意； C、随着试验次数增加，频率稳定在0.60附近，可估计概率约为0.60，正确，不符合题意； D、若袋中有9个红球，由摸到红球的概率约为0.60可得，总球数有，故该选项说法错误，符合题意． 故选：D． 36．在一个不透明的盒子里装有5个红球，8个黄球，这些球除了颜色外没有其他任何区别．现在向盒子里放入一模一样的个红球，摇匀后从中随机抽取一个，若抽到红球的概率为，则的值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查概率的计算，解题关键是根据概率公式列出关于的方程，然后求解方程得到的值．放入个红球后，红球的总数为个，球的总数为个，已知抽到红球的概率为，则可列出方程，求解即可． 【详解】解：向盒子里放入一模一样的个红球，摇匀后从中随机抽取一个， 抽到红球的概率为： ， 解得： 故答案为：7． 37．七年级某班同学设计用频率去估计概率的试验如下：在一个不透明的口袋中，装有9个球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，统计了黄球出现的次数，绘出的统计图如图所示，则袋子中黄球的个数最可能是 个． 【答案】 【分析】本题考查了由频率求数量，由统计图可得，黄球出现的频率稳定在，由此计算即可得解，正确得出黄球出现的频率是解此题的关键． 【详解】解：由统计图可得，黄球出现的频率稳定在， 故袋子中黄球的个数可能是（个）， 故答案为：． 解答题 38．一个不透明口袋中装有红球个，黄球个，绿球个，这些球除颜色外没有任何其他区别．从中任意摸出一个球． (1)计算摸到的是绿球的概率． (2)如果要使摸到绿球的概率为，需要在这个口袋中再放入多少个绿球？ 【答案】(1)； (2)再放入个绿球． 【分析】本题考查概率公式，一般方法为：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率． 口袋中共有个球，每个球被摸到的机会相等，其中有个绿球，所以摸到绿球的概率为； 设需要在这个口袋中再放入个绿球，因为增加后摸到绿球的概率是，所以增加绿球后绿球的个数占总数的，列方程求解即可． 【详解】（1）解：口袋中装有红球个，黄球个，绿球个，共个球， 其中绿球的个数是个， 任意摸出一个球是绿球的概率为； （2）解：设需要在这个口袋中再放入个绿球， 根据题意可得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 答：需要在这个口袋中再放入个绿球． 【题型10.游戏的公平性】 39．在一个不透明的纸盒中放入颜色分别为白色、红色、绿色的小球各 1个，每个小球除颜色不同外其他均相同，三人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回，摸出白球者赢，则这个游戏中先摸者赢的概率 后摸者赢的概率．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查了概率的意义理解，根据每次摸球的条件相同，可得到概率相同，准确理解概率的意义是解题的关键． 【详解】解：∵不透明的纸盒中放有白色，红色，绿色的小球各1个，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回， ∴三个人摸到每个球的概率均相等， 即这个游戏中先摸者赢的概率等于后摸者赢的概率， 故答案为：． 40．一个不透明的箱子中放有1个红球、2个黄球和3个黑球，这些小球除颜色外都相同，小明、小芳、小雪三人先后去摸球，每人每次只能摸出一个球，每次摸出球后放回，摸出红球的人获得礼品（可以所有人都获得礼品）．你觉得这个游戏（    ） A．对所有人都公平 B．无法判断是否公平 C．先摸者获得礼品的可能性大 D．后摸者获得礼品的可能性大 【答案】A 【分析】此题考查游戏公平性，三个人摸到每种球的概率均相等，所以游戏公平． 本题考查游戏公平性的判断，关键在于每次摸球后放回，使得每次摸到红球的概率相同． 【详解】解：∵小明、小芳、小雪三人每次摸到红球的概率均为， ∴游戏对所有人都公平， 故选：A． 41．用如下方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平的方式有（   ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查判断游戏是否公平，解题的关键是看游戏中双方赢的概率是否相等．根据题中图片，逐个分析即可求解． 【详解】第一个图片：箱子里有4个黑球，4个白球，任意摸出一个球，摸到黑球和白球的可能性相同，所以用摸球的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平； 第二个图片：转盘中乙队的区域比甲队的区域大，则转到乙队的可能性大，乙队获胜的可能性比甲队大，所以用转盘的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，不公平； 第三个图片：硬币只有正、反两面，抛一次硬币，正面朝上和反面朝上的可能性相等，所以用抛硬币的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平； 第四个图片：1～6中，奇数有1、3、5，有3个；偶数有2、4、6，有3个；奇数与偶数的个数相等，则掷出奇数、偶数的可能性相同，所以用掷骰子的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平； 综上所述，公平的方式有3种； 故选C． 42．甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为2，3，4的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽取的两张牌面数字的和为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的和为偶数，则乙获胜．这个游戏 ．（填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【分析】本题考查利用概率判断游戏公平性，熟练掌握列举法求概率是解题的关键，利用列表法表示出所有可能，进而利用概率公式求出即可． 【详解】解：由题可列表如下： 2 3 4 2 4 5 6 3 5 6 7 4 6 7 8 由表知，共有9种等可能结结果，其中和为奇数的有4种结果，和为偶数的有5种结果， ∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， ∵， ∴这个游戏不公平， 故答案为：不公平． 【题型11.由频率估计概率的综合应用】 43．在一个不透明的袋子中，装有红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它都相同．若小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在和，则该袋子中的白色球可能有（    ） A．6个 B．16个 C．18个 D．24个 【答案】B 【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数频率频数计算白球的个数，即可求出答案． 【详解】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在和， ∴摸到白球的频率为， 故口袋中白色球的个数可能是个． 故选：B． 【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． 44．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么最符合这一结果的试验是（　　） A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 C．在一副扑克中随机抽取一张，抽到的牌是红桃 D．不透明袋中有红球、黄球、蓝球各1个，每个球除颜色外其余均相同，从中随机摸出一个球，是黄球 【答案】B 【分析】本题主要考查随机事件的概率以及用频率估计概率，理解折线图中横轴与纵轴的关系，掌握概率的计算方法是解题的关键．根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下，通过计算各选项的概率，由此即可求解． 【详解】解：根据折线统计图可知，随着试验次数的增多概率稳定在以上，以下， ∴A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，不符合题意； B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是的概率是，符合题意； C、在一副扑克中随机抽取一张，抽到的牌是红桃的概率是，不符合题意； D、不透明袋中有红球、黄球、蓝球各1个，每个球除颜色外其余均相同，从中随机摸出一个球，是黄球的概率是，不符合题意； 故选：B． 45．一个盒中有10枚黑棋子和若干枚白棋子，这些棋子除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，记下颜色，再放回盒中．不断重复上述过程，一共取了300次，其中有100次取到黑棋子，由此估计盒中约有 枚白棋子． 【答案】 【分析】根据一共取了300次，其中有100次取到黑棋子，求出取到黑棋子的概率，再计算盒中约共有棋子数，最后计算白棋子数限可． 【详解】取到黑棋子的概率为：， 盒中约共有棋子：（枚）， 其中约有白棋子：（枚）． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了概率，解决问题的关键是熟练掌握用频率估计概率，用概率估计事件． 解答题 46．工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 94 192 285 m 950 合格频率 n (1)表格中m的值为__________，n的值为__________（结果精确到0．01）； (2)估计任抽一件甲员工近期生产的产品是合格品的概率．（结果精确到0．01） 【答案】(1)475， (2) 【分析】本题考查了总数，频数，频率之间的数量关系，以及用频率估计概率，解题的关键在于掌握利用频率估计概率的方法． （1）根据总数，频数，频率之间的数量关系计算，即可解题； （2）根据频率估计概率的方法求解，即可解题． 【详解】（1）解：， 故答案为475，． （2）解：∵抽取件数为时，合格的频率趋近于， ∴任抽一件甲员工近期生产的产品是合格品的概率为． 【题型12.几何概率的概念与计算】 47．如今我们生活在数字时代，很多场合都要用到二维码，小李帮妈妈打印了一个收款二维码，如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码内随机掷点，经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计该二维码中黑色区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用频率估计概率，掌握概率公式是解题的关键．先计算出点落在黑色区域的频率稳定值，再用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可求解． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在左右， 点落在黑色区域的频率稳定在左右， 估计此二维码中黑色区域的面积为． 故选：A． 48．有下列四个游戏盘，若扔一粒黄豆落在涂色部分，则可中奖．小明希望中奖，他应选择的游戏盘是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了概率与面积占比的关系，掌握通过计算涂色部分的面积占比来判断中奖概率大小是解题的关键． 分别计算每个游戏盘涂色部分的面积占整个盘面积的比例，比例越大，中奖概率越高，选择比例最大的游戏盘． 【详解】解：A、游戏盘的中奖概率为：； B、游戏盘的中奖概率为：； C、游戏盘的中奖概率为：； D、游戏盘的中奖概率为：； ∴C游戏盘的中奖概率最大． 故选：C． 49．如图所示是一圆形飞镖游戏板，大圆的半径，小圆半径，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞每次都落在游戏板上），则击中阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查几何概率，熟练掌握几何概率的求法是解题的关键．根据几何概率的求法进行解答即可． 【详解】解：大圆的半径，小圆半径， 大圆面积是小圆面积的倍， 阴影部分面积是小圆面积的倍， 故击中阴影部分的概率是． 故答案为：． 50．如图所示，在圆形转盘中，，拨动指针，指针指向区域a的概率为，在矩形转盘中，，，拨动指针，指针指向区域的概率为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用几何图形求概率；由圆得圆中区域的圆心角为，可求出，由矩形的性质及等边三角形的判定及性质得，可得，可求出，即可求解；理解利用区域对应的角度进行求解是解题的关键． 【详解】解：由题意得 圆中区域的圆心角为， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ； 故答案为：． 解答题 51．如图，一个可自由转动的转盘被平均分成6等份，分别标有2，3，4，5，6，7这6个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，指针指到分隔线无效，需要重新转动．两人参与游戏：一人转动转盘，一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．如果轮到你猜数，请你设计一种更容易获胜的猜数规则（不限转动次数），并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了概率的基本计算、不同事件发生概率的比较以及多次试验下概率的累积效应．解题的关键是结合数字特征设计猜数规则，通过提高单次获胜概率，并利用多次试验放大优势，实现更容易获胜的目标． 选择包含多个数字的类别（如偶数）作为猜数对象，利用该类别数字数量占比高的特点，提升获胜概率，且在多次转动中累积优势． 【详解】猜数规则：每次猜转出的数字是偶数（即2、4、6中的一个），并且不限转动次数． 理由：转盘被平均分成6等份，标有2、3、4、5、6、7，每个数字被转出的概率均为．其中偶数有3个，单次猜中偶数的概率为，远高于猜单个数字的．由于不限转动次数，随着转动次数增多，根据概率规律，猜中偶数的总次数会更多，猜数人获胜的可能性更大． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06概率初步题型突破讲义 一.必掌握重点(考试高频) 1.三种事件的判断:分清必然事件、不可能事件、随机事件，记准核心特征： 必然事件：一定发生，概率=1（比如“太阳从东方升起”）； 不可能事件：一定不发生，概率=0（比如“掷骰子掷出7点”）； 随机事件：可能发生也可能不发生，概率在01之间（比如“掷硬币正面朝上”）。 2.概率的简单计算 牢记公式：事件A的概率 = 事件A包含的结果数 ÷ 所有可能的结果总数适用场景：结果有限且每个结果发生概率相等（如掷骰子、摸均匀的球、抽无差别的卡片）。 3.频率与概率的关系 大量重复试验时，事件发生的频率（发生次数÷试验总次数）会稳定在概率附近，可用频率估计概率。比如抛硬币1000次，正面朝上约500次，频率接近0.5，即正面朝上的概率约为0.5。 4.概率的实际应用 核心是判断游戏公平性：双方获胜概率相等，规则就公平；不相等则不公平。也能根据概率设计简单的公平游戏规则（比如调整道具数量，让双方结果数相同）。 二、难点突破（易混淆、易出错） 1.频率≠概率:频率是实际试验后算出来的数（会变，比如抛10次硬币可能正面出现4次，频率=0.4）；概率是理论上的固定值（抛硬币正面朝上概率始终是0.5）。只有试验次数足够多，频率才接近概率。 2.古典概型的前提不能漏:必须满足“结果有限”且“每个结果概率相等”，缺一不可。易错点：掷不均匀的硬币、摸数量不等且材质不同的球，不能直接用上面的概率公式。 3.结果总数不能数错:列举结果时要有序，避免重复或遗漏。 4.概率应用的逻辑梳理:判断公平性时，要先分别算双方的概率，再比较；设计规则时，要确保双方对应的结果数相同，概率相等。 基础 过关题 1.事件的类型与分类 2.事件发生可能性大小的判断 3.事件频率的计算方法 4.概率的意义理解 5.根据概率公式计算概率 能力 提升题 6.关于频率与概率关系说法正误 7.由频率估计概率 8.列举法求概率 9.已知概率求数量 10.游戏的公平性 拓展拔高题 11.由频率估计概率的综合应用 12.几何概率的概念与计算 【题型1.事件的类型与分类】 1．在古诗句“小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头”中，“早有蜻蜓立上头”描述的事件是 ．（填“必然事件”“随机事件”或“不可能事件”） 故答案为：随机事件 2．下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．打开电视，正在播放新闻联播 B．购买一张彩票，中奖500万元 C．暑假出门旅行，碰到同班同学 D．早上的太阳从东边升起 3．指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件：   （1）掷一枚硬币，出现正面朝上； （2）买一张彩票中一百万； （3）； （4）任意买一张电影票，座位号是双号； （5）向空中抛一枚硬币，硬币从空中不往下掉． 必然事件是 ；不可能事件是 ；随机事件是 ．（填序号） 4．若一个事件不发生的机会是，那么这个事件（    ） A．很可能发生 B．必然发生 C．不可能发生 D．不大可能发生 【题型2.事件发生可能性大小的判断】 5．在一个不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，每个球除颜色外完全相同，将球摇匀，从中任取1球．①恰好取出白球；②恰好取出黄球；③恰好取出红球．根据你的判断，将这些事件按发生的可能性从小到大的顺序排列是（    ） A．①③② B．②①③ C．①②③ D．③②① 6．如图所示的是各个不透明的袋子中球的情况，每个球除颜色外都相同．任意摸出1个球，请你根据摸到红球的可能性大小填空（填序号）．    （1）一定能摸到的是 ； （2）能摸到且摸到的可能性较大的是 ； （3）能摸到但摸到的可能性较小的是 ； （4）不可能摸到的是 ． 7．3个人站成一排，其中小亮“站在中间”与“站在两端”这两个事件发生的可能性是（   ）． A．一样大 B．“站在中间”的可能性大 C．“站在两端”的可能性大 D．无法确定 8．某校举办了“数学节”活动，其中有一项活动是“数学游戏挑战赛”，参赛学生要按顺序依次参加“九连环、七巧板、五子棋、二十四点、魔方、华容道、数独”七个项目（每个项目只能挑战一次）．按照完成情况每个项目都分为参与奖、优秀奖、卓越奖，并奖励相应的积分．七个项目不同奖项对应的奖励积分如下表所示： 项目奖项 九连环 七巧板 五子棋 二十四点 魔方 华容道 数独 参与奖 2 7 5 7 4 7 4 优秀奖 5 10 9 9 7 8 7 卓越奖 9 12 13 15 12 10 9 小明同学参加了此次“数学游戏挑战赛”活动，若知道小明在“九连环”项目中没有获得卓越奖，在“魔方”项目中获得了优秀奖，且在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖，则可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高为 ，他参加此次“数学游戏挑战赛”活动的总积分最高为 【题型3.事件频率的计算方法】 9．我们将2022年2月2日用一组数字“20220202”表示，这组数字中“2”出现的频率是 ． 10．在掷一枚骰子次的试验中，“偶数朝上”的频数为，则“偶数朝上”的频率为（   ） A． B． C． D． 11．数据观念某种绿豆在相同条件下发芽情况的试验结果如下表所示．根据表中数据我们发现当参与试验的这种绿豆的粒数很大时，它的发芽率会在一个常数 （结果精确到）附近摆动，即这种绿豆的发芽率具有 ． 每批粒数 500 1000 2000 3000 发芽的粒数 463 930 1862 2793 发芽率 12．两个同学在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率 B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率 C．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率 解答题 13．李伟在寒假期间进行了前掷实心球训练，训练结果如下： 投掷次数 10 20 40 60 100 200 500 得满分的次数 7 14 30 46 76 153 385 得满分的频率 0.700 0.750 0.767 0.760 0.765 0.770 (1)计算：________； (2)估计李伟前掷实心球得满分的概率是________（精确到0.01）； (3)当李伟投掷600次时，请估计他得满分的次数． 【题型4.概率的意义理解】 14．天气预报显示，某市明天降水概率是．对此信息，下列说法正确的是（   ） A．该市明天会有的面积降水 B．该市明天会有的时间降水 C．该市明天不会降水 D．该市明天降水的可能性比较小 15．抛掷一枚质地均匀的硬币，前5次都正面朝上，第6次正面朝上的概率是（    ） A．不能确定 B． C． D． 16．下列说法：①某种彩票的中奖率是，则购买该种彩票100张一定中奖；②同时掷两枚均匀的骰子，朝上的点数和可能为6；③某次投篮活动中，张明同学投篮5次，投中4次，那么他投篮命中的概率为．其中正确的序号为 ． 【题型5.根据概率公式计算概率】 17．在一个不透明的口袋中，装有3个相同的球，它们分别写有数字1，2，3，从中随机摸出一个球，若摸出的球上的数字为2的概率记为，摸出的球上的数字小于4的概率记为，摸出的球上的数字为5的概率记为，则，，的大小关系是 ． 18．数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个黑球、3个白球、2个蓝球和1个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（   ） A．黑球 B．白球 C．蓝球 D．红球 19．下列说法中，正确的是（　　） A．从，，，，这五个数字中任取一个数，取到奇数的可能性较小 B．抛掷一枚质量均匀的硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件 C．如果，那么是必然事件 D．掷一枚骰子，掷出的是大于的点的可能性和掷出的是小于的点的可能性相同 20．从1至中50任意抽取的一个数记为a，则的末位数字是7的概率是 ． 解答题 21．某校某次外出游学活动分为三类，因资源有限，七年级（2）班分配到25个名额，其中甲类4个、乙类11个、丙类10个，已知该班有50名学生，班主任准备了50个签，其中甲类、乙类、丙类按名额设置，其余的为空签，采取抽签的方式来确定名额分配，请解决下列问题： (1)该班小明同学恰好抽到丙类名额的概率是__________； (2)该班小丽同学能有幸去参加游学活动的概率是__________； (3)后来，该班同学强烈呼吁名额太少，在总签数不变的情况下，要求抽到甲类的概率要达到，则还要争取甲类名额多少个？ 【题型6.关于频率与概率关系说法的正误】 22．一般地，当试验的可能结果有很多且各种可能结果发生的可能性相等时，则用列举法，利用概率公式 的方式得出概率． 当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，常常是通过 来估计概率，即在同样条件下，大量重复试验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生的 ． 23．关于频率与概率，有下列几种说法，其中正确的说法有（    ） ①“明天下雨的概率是”表示明天下雨的可能性很大； ②“抛一枚硬币，正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上； ③“某种彩票中奖的概率是”表示买10张该种彩票不可能中奖； ④“抛一枚硬币，正面朝上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一事件发生的频率稳定在附近． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 24．下表列出了一些历史上的数学家所做的“掷质地均匀的硬币”试验的数据： 试验者 试验总次数n 正面朝上的次数m 正面朝上的频率mn 布丰 4040 2048 0.5069 德·摩根 4092 2048 0.5005 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 维尼 30000 14994 0.4998 罗曼诺夫斯基 80640 39699 0.4923 下列说法正确的是（　） A．随着试验次数的增加，正面朝上的频率越来越小 B．随着试验次数的增加，正面朝上的频率稳定在0.5附近，我们可以估计“正面朝上”这一事件的概率为0.5 C．试验50000次正面朝上的频率一定比试验10000次正面朝上的频率更接近0.5 D．当试验次数为5000次时，正面朝上的次数一定等于2500 【题型7.由频率估计概率】 25．小明练习射击，共射击100次，其中有85次击中靶子，由此可估计，小明射击一次击中靶子的概率约为（    ） A． B． C． D． 26．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是6 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 27．为了估计一个鱼池中鱼的条数，采用了如下方法：先从鱼池的不同地方捞出40条鱼，给这些鱼做上记号后放回鱼池，过一段时间后，在同样的地方捞出200条鱼，其中有记号的鱼有8条．请你估计鱼池中鱼的条数约为 条． 解答题 28．某公园移植A种花卉前查阅资料得到该花卉移植的成活率如下图． (1)A种花卉成活的频率稳定在__________附近，估计成活概率为________；（精确到0.1） (2)该公园规划共需要成活A种花卉9000株，分两批采购，第一批购入2000株，估计第二批需购入多少株？ 【题型8.列举法求概率】 29．开封是一座历史悠久的古城，以其深厚的文化底蕴和令人垂涎的美食吸引着无数游客前来探访．为了进一步提升游客体验，某旅行社推出了免费品尝美食活动，每位游客可以从如图所示的四种美食中任选两种进行品尝，那么游客小华选到开封灌汤包和汴京烤鸭的概率为 ． 30．如图，是化学元素周期表中原子序数为1~5的元素，从中随机选取两种元素，则这两种元素恰好都是金属元素的概率为（   ）（注：锂和铍为金属元素） A． B． C． D． 31．某马场有三匹马，按身体强壮程度分为上马，中马，下马，这三匹马随机住在三个不同的马厩，甲到该马场去租马，先到第一个马厩观察后不租，再到第二个马厩，若比第一个马厩的马强壮，就直接租第二个马厩的马，若比第一个马厩的马瘦弱，就租第三个马厩的马，按这种方式，甲租到上马的概率为（   ） A． B． C． D． 32．甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加一次节日活动，很幸运的是他们都得到了一件精美的礼品（如图），他们每人只能从其中一串的最下端取一件礼品，直到礼物取完为止，甲第一个取得礼物，然后乙，丙，丁，戊依次取得第2到第5件礼物，当然取法各种各样，那么他们共有 种不同的取法．事后他们打开礼物仔细比较，发现礼物D最精美，那么取得礼物D可能性最大的是 同学．    解答题 33．某游乐园门票价格如下表所示： 门票价格一览表 指定日普通票 元 平日优惠票 元 …… …… 某旅行社准备了元，全部用来购买指定日普通票和平日优惠票，且每种至少买一张． (1)有多少种购票方案？列举所有可能结果； (2)如果从上述方案中任意选一种方案购票，求恰好选到11张门票的概率． 指定日普通票张数 平日优惠票张数 一 1 11 二 2 9 三 3 7 四 4 5 五 5 3 六 6 1 【题型9.已知概率求数量】 34．一个不透明的袋子里装有白球和黑球共20个，这些球除颜色外都相同，从袋子中随机摸一个球记下颜色后放回搅匀，不断重复这一过程，统计发现摸到白球的概率为0.2，由此估计袋子里黑球的个数为（   ） A．4 B．16 C．12 D．8 35．不透明的口袋里装有若干个除颜色外都相同的小球，将球摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程，得到一组统计数据（见下表），则下列说法错误的是（   ） 摸球的次数 100 150 300 500 800 1000 摸到红球的次数 61 93 b 301 480 601 摸到红球的频率 a 0.62 0.59 0.602 0.60 0.601 A． B． C．摸到红球的概率约为0.60 D．若袋中有9个红球，则总球数有14个 36．在一个不透明的盒子里装有5个红球，8个黄球，这些球除了颜色外没有其他任何区别．现在向盒子里放入一模一样的个红球，摇匀后从中随机抽取一个，若抽到红球的概率为，则的值是 ． 37．七年级某班同学设计用频率去估计概率的试验如下：在一个不透明的口袋中，装有9个球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，统计了黄球出现的次数，绘出的统计图如图所示，则袋子中黄球的个数最可能是 个． 解答题 38．一个不透明口袋中装有红球个，黄球个，绿球个，这些球除颜色外没有任何其他区别．从中任意摸出一个球． (1)计算摸到的是绿球的概率． (2)如果要使摸到绿球的概率为，需要在这个口袋中再放入多少个绿球？ 【题型10.游戏的公平性】 39．在一个不透明的纸盒中放入颜色分别为白色、红色、绿色的小球各 1个，每个小球除颜色不同外其他均相同，三人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回，摸出白球者赢，则这个游戏中先摸者赢的概率 后摸者赢的概率．（填“>”“<”或“=”） 40．一个不透明的箱子中放有1个红球、2个黄球和3个黑球，这些小球除颜色外都相同，小明、小芳、小雪三人先后去摸球，每人每次只能摸出一个球，每次摸出球后放回，摸出红球的人获得礼品（可以所有人都获得礼品）．你觉得这个游戏（    ） A．对所有人都公平 B．无法判断是否公平 C．先摸者获得礼品的可能性大 D．后摸者获得礼品的可能性大 41．用如下方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平的方式有（   ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 42．甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为2，3，4的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽取的两张牌面数字的和为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的和为偶数，则乙获胜．这个游戏 ．（填“公平”或“不公平”） 2 3 4 2 4 5 6 3 5 6 7 4 6 7 8 【题型11.由频率估计概率的综合应用】 43．在一个不透明的袋子中，装有红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它都相同．若小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在和，则该袋子中的白色球可能有（    ） A．6个 B．16个 C．18个 D．24个 44．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么最符合这一结果的试验是（　　） A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 C．在一副扑克中随机抽取一张，抽到的牌是红桃 D．不透明袋中有红球、黄球、蓝球各1个，每个球除颜色外其余均相同，从中随机摸出一个球，是黄球 45．一个盒中有10枚黑棋子和若干枚白棋子，这些棋子除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，记下颜色，再放回盒中．不断重复上述过程，一共取了300次，其中有100次取到黑棋子，由此估计盒中约有 枚白棋子． 解答题 46．工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 94 192 285 m 950 合格频率 n (1)表格中m的值为__________，n的值为__________（结果精确到0．01）； (2)估计任抽一件甲员工近期生产的产品是合格品的概率．（结果精确到0．01） 【题型12.几何概率的概念与计算】 47．如今我们生活在数字时代，很多场合都要用到二维码，小李帮妈妈打印了一个收款二维码，如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码内随机掷点，经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计该二维码中黑色区域的面积为（   ） A． B． C． D． 48．有下列四个游戏盘，若扔一粒黄豆落在涂色部分，则可中奖．小明希望中奖，他应选择的游戏盘是（    ） A． B． C． D． 49．如图所示是一圆形飞镖游戏板，大圆的半径，小圆半径，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞每次都落在游戏板上），则击中阴影部分的概率是 ． 50．如图所示，在圆形转盘中，，拨动指针，指针指向区域a的概率为，在矩形转盘中，，，拨动指针，指针指向区域的概率为，则 ． 解答题 51．如图，一个可自由转动的转盘被平均分成6等份，分别标有2，3，4，5，6，7这6个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，指针指到分隔线无效，需要重新转动．两人参与游戏：一人转动转盘，一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．如果轮到你猜数，请你设计一种更容易获胜的猜数规则（不限转动次数），并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $