精品解析：安徽省多校联考2026届高三上学期1月月考数学试题

高三1月数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号.回答非选择题时，将写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合中的元素性质求解集合，再根据交集的概念计算即可. 【详解】因为， 所以，故 ． 故选：C. 2. 已知复数满足，则的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则和共轭复数的概念运算求解即可． 【详解】因为满足， 所以， 故的共轭复数为， 故选：D. 3. 双曲线的焦距为（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得双曲线的标准方程，解得，从而得焦距. 【详解】由题知双曲线的标准方程为， 故，得， 故焦距为． 故选：B. 4. 在的展开式中，若与的系数相同，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由二项式展开式的通项公式以及组合数性质即可计算求解. 【详解】的展开式的通项公式为， 因为与系数相同，所以， 所以，解得． 故选：C 5. 已知，向量，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量坐标运算法则求出，再结合倍角公式求解． 【详解】由题意知向量， 则， 故选：A. 6. 某景区一座仿古建筑的屋顶是中国传统建筑中常见的“庑殿顶”，其顶盖几何模型如图所示，平面ABCD，底面ABCD是边长为18的正方形，侧面ABFE与CDEF是全等的等腰梯形，侧面ADE与BCF是等腰直角三角形，若，则EF到平面ABCD的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设AD与BC的中点分别为M，N，连接EM，MN，NF，根据线面关系与面面关系可证得平面与底面垂直，作，垂足为G，则FG的长度就是EF与MN的距离，即EF与平面ABCD的距离，计算即可得结论. 【详解】如图，设AD与BC的中点分别为M，N，连接EM，MN，NF， 因为侧面是等腰直角三角形，所以， 又N为中点，所以，则， 因为平面，平面侧面，平面，则， 又底面是正方形，所以，则， 因为M，N分别为AD与BC的中点，所以，故四点共面， 又平面，则平面， 因为平面，所以平面与底面垂直， 作，垂足为G，则FG的长度就是EF与MN的距离，即EF与平面ABCD的距离， 由已知，可得，所以， 则EF到平面ABCD的距离为． 故选：B. 7. 当时，函数的最小值为，最大值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义域可得，结合复合函数单调性分别确定函数与函数的单调性，从而得在上的单调性，从而得最值，于是求得的值. 【详解】因为，所以函数在处无定义，所以， 又函数在上单调递减，且，且函数在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以，解得， 再由，得， 由，可解得． 故选：D. 8. 已知抛物线的焦点为F，点是C上的动点，以PF为直径作圆M，再作圆M的与直线PF平行的两条切线，两条切线与y轴的交点分别为A，B，则的最小值为（ ） A. 1 B. 4 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义可得，记直线PF的倾斜角为，根据几何性质与三角恒等变换可得，由，结合基本不等式即可求得的最小值. 【详解】由题意知抛物线焦点坐标为，由拋物线的定义可知， 设两个切点分别为D，E，则， 记直线PF的倾斜角为，由题意可得， 则， 又，所以， 设，则，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8． 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 将的图象向右平移个单位长度，可得到的图象 D. 将的图象关于y轴对称，可得到的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复合函数求导即可判断A；根据正弦两角和公式可得，平方后结合平方关系与二倍角公式即可得的值，即可判断B；根据三角函数图象变换与诱导公式即可判断C；求解结合诱导公式即可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，则， 两边同时平方得，故，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：ABD. 10. 在如图所示的电路中，和是两个灯泡，每个开关闭合的概率均为且相互独立，则下列说法正确的是（ ） A. 闭合的开关个数的数学期望为 B. 被点亮的概率为 C. 恰有一个灯泡被点亮的概率为 D. 若已知至少有一个灯泡被点亮，则被点亮的概率为 【答案】AC 【解析】 【分析】由闭合的开关个数服从二项分布即可由二项分布的数学期望公式计算求解判断A；由对立事件的概率公式计算求解判断B；求出被点亮的概率，由互斥事件的概率加法公式计算求解判断C；由条件概率公式分析计算即可求解判断D. 【详解】对于A，由题意知，闭合的开关个数服从二项分布，所以数学期望为，故A正确； 对于B，被点亮的概率为，故B错误； 对于C，被点亮的概率为，则恰有一个灯泡被点亮的概率为，故C正确； 对于D，设至少有一个灯泡被点亮为事件M，被点亮为事件N， 则，， 所以，故D错误． 故选：AC 11. 已知函数存在三个不同的零点，则下列说法正确的是（ ） A. 实数a的取值范围是 B. 曲线在点处的切线斜率为定值 C. 存在非零常数，使得曲线在点处的切线恒过原点 D. 若曲线在其与x轴的三个交点处的切线斜率分别为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由有三个零点，得方程有两个不相等的实数根，根据即可判断A；求解，即可判断B；对分类讨论，当时，切线显然过原点；当时，得到切线方程，代入原点坐标求解，即可判断C；由题干易得0是的一个零点，．设另外两个零点分别为，得，再结合是方程的两个实根化简求解，即可判断D． 【详解】对于A，由于存在三个不同的零点，因此方程存在两个不同的非零实根，故，解得，且，故A错误． 对于B，求导得，则，曲线在点处的切线斜率为定值，故B正确． 对于C，当时，切线显然过原点； 当时，，， 则曲线在点处的切线方程为 ， 将原点坐标代入得 得，解得或（舍去），故C正确． 对于D，显然0是的一个零点，． 设另外两个零点分别为， 则，而 ， 故， ， 由A知，是方程的两个实根， 所以，故，故D正确， 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知（且，m为常数）为偶函数，则____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据偶函数的性质可得的值，从而得解析式，结合指数运算即可得的值. 【详解】由题意知函数的定义域为， 则，即，得， 所以，得， 所以，经检验符合函数为偶函数， 则． 故答案为：2. 13. 在正项等比数列中，已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题设，利用等比数列的性质先得出，再结合即可求解． 【详解】由，则，得， 由题意知，故， 所以． 故答案为： 14. 在平面四边形中，已知，且，则a的最大值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】取点E满足，从而可得的值，再根据余弦定理的值，结合三角形三边关系即可求得a的最大值. 【详解】如图，点E满足，则, 因为， 所以可得， 在中，由余弦定理可得， 所以，当且仅当C，B，E三点共线，即时等号成立, 所以a的最大值为5. 故答案为：5. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校为了解学生体育锻炼习惯与身体健康状况的关系，随机调查了100名高一学生，询问他们每周锻炼的次数以及过去一学期感冒的次数，得到如下数据： 感冒次数≥2 感冒次数<2 每周锻炼次数≥3 10 45 每周锻炼次数<3 20 25 （1）从这100名学生中随机抽取2人，求他们过去一学期感冒均不少于2次的概率； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为学生感冒的频率与每周锻炼次数有关? 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 附： 【答案】（1）； （2）可以认为学生感冒的频率与每周锻炼次数有关. 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率公式，即可得解； （2）先提出零假设，再计算得与临界值比较进而判断即可. 【小问1详解】 这100名学生中有30人的感冒次数不少于2次， 故所求概率为. 【小问2详解】 零假设：学生感冒频率与每周锻炼次数没有关系． ， 因为，所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 所以可以认为学生感冒的频率与每周锻炼次数有关． 16. 记数列的前n项和为，已知． （1）证明：为等比数列； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） 将两边同时加， 得， 因为， 所以是以3为首项，3为公比的等比数列； （2） 【解析】 【分析】（1）将两边同时加，结合等比数列的定义即可得结论； （2）由（1）可得的表达式，利用相减法求解的表达式，从而得，根据分组求和可得数列的前n项和． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，即， 当时，， 当时，不符合上式， 故，所以， 当时， ， 由于当时也满足该式， 因此． 17. 如图，在多面体中，四边形是边长为2的菱形，PA，FC均与平面垂直，，E为CD的中点，且． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明: 因为平面，平面，所以， 所以， 又因为，所以， 在中，，所以． 如图，连接AC，则是等边三角形，而E是CD的中点，所以． 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）由题设依次求证和即可由线面垂直判定定理求证平面； （2）建立适当空间直角坐标系，求出平面与平面的一个法向量，再由平面夹角的向量法坐标公式计算即可求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）可知AB，AE，AP两两互相垂直， 故可以A为坐标原点，AB，AE，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 设平面的一个法向量为，因为， 所以，取，则． 设平面的一个法向量为，因为， 所以，取，则． 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 18. 在直角坐标系中，已知点和，点是轴上方的一个动点，且直线与的斜率之积为定值． （1）求动点的轨迹的方程； （2）当时，直线与轴交于点，求点的坐标； （3）设的垂心为，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设点，由斜率公式结合已知条件可得出点的轨迹方程； （2）记，，可知，且、，根据以及二倍角的正切公式可求出的值，即可得出直线的方程，由此可得出点的坐标； （3）设点，则，求出直线的方程，与直线的方程联立，可得出点的坐标，可得出. 解法一：平方得，令，利用导数求出函数的最大值，即可得出面积的最大值； 解法二：设，则，设，，利用导数求出的最大值，即可得出面积的最大值. 【小问1详解】 设，由题意得，整理得，即， 又点在轴上方，故的方程为． 【小问2详解】 记，． 由题意可知，且、． 因为，所以， 所以，解得． 故直线的方程为，得． 【小问3详解】 设点，则，过点P的x轴的垂线为①， 直线的方程为， 过点作的垂线，则垂线方程为②， 结合①②式，得两条垂线的交点即为． 又点在上，所以，即，故点， 则， 解法一：平方得． 设， 则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故当时，取得最大值，所以的最大值为． 解法二：设， 则． 设，， 则， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 故当，即时，取得最大值． 所以的最大值为． 19. （1）证明：当时，． （2）已知函数有两个极值点和三个零点，其中 （i）求实数m的取值范围； （ii）证明：． 【答案】【小问1】证明： 设， 则，所以在上单调递增， 所以当时，，即． 【小问2】（i）； （ii）证明： ． 因为，，所以，于是， 所以， 故待证不等式等价于.① 因为，由（1）知， 所以， 整理得，即， 则，易证， 所以． 因为函数在上单调递减，所以 ， 不等式①成立，故原命题得证． 【解析】 【分析】（1）将不等式问题转化为函数值域问题，求导求解即可； （2）（i）根据是的两个极值点，可知是方程的两个正根， 分类讨论得出的单调性，构造函数 （ii）由，，可得，于是，整理原式，再由可得待证不等式等价于，最后利用函数在上单调递减，证明即可. 【详解】（1）略； （2）由已知得， 因为是的两个极值点，所以是方程的两个正根， 故，得． 此时， 当时，，当时，，当时，， 所以在，上单调递增，在上单调递减． 注意到，且，所以，． 当时，时， 所以存在三个零点，分别是，，． 因此，m的取值范围是． （ii）略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三1月数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号.回答非选择题时，将写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线的焦距为（ ） A. B. C. 4 D. 8 4. 在的展开式中，若与的系数相同，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 已知，向量，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 6. 某景区一座仿古建筑的屋顶是中国传统建筑中常见的“庑殿顶”，其顶盖几何模型如图所示，平面ABCD，底面ABCD是边长为18的正方形，侧面ABFE与CDEF是全等的等腰梯形，侧面ADE与BCF是等腰直角三角形，若，则EF到平面ABCD的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 当时，函数的最小值为，最大值为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线的焦点为F，点是C上的动点，以PF为直径作圆M，再作圆M的与直线PF平行的两条切线，两条切线与y轴的交点分别为A，B，则的最小值为（ ） A. 1 B. 4 C. D. 8 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 将的图象向右平移个单位长度，可得到的图象 D. 将的图象关于y轴对称，可得到的图象 10. 在如图所示的电路中，和是两个灯泡，每个开关闭合的概率均为且相互独立，则下列说法正确的是（ ） A. 闭合的开关个数的数学期望为 B. 被点亮的概率为 C. 恰有一个灯泡被点亮的概率为 D. 若已知至少有一个灯泡被点亮，则被点亮的概率为 11. 已知函数存在三个不同的零点，则下列说法正确的是（ ） A. 实数a的取值范围是 B. 曲线在点处的切线斜率为定值 C. 存在非零常数，使得曲线在点处的切线恒过原点 D. 若曲线在其与x轴的三个交点处的切线斜率分别为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知（且，m为常数）为偶函数，则____． 13. 在正项等比数列中，已知，则_____． 14. 在平面四边形中，已知，且，则a的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校为了解学生体育锻炼习惯与身体健康状况的关系，随机调查了100名高一学生，询问他们每周锻炼的次数以及过去一学期感冒的次数，得到如下数据： 感冒次数≥2 感冒次数<2 每周锻炼次数≥3 10 45 每周锻炼次数<3 20 25 （1）从这100名学生中随机抽取2人，求他们过去一学期感冒均不少于2次的概率； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为学生感冒的频率与每周锻炼次数有关? 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 附： 16. 记数列的前n项和为，已知． （1）证明：为等比数列； （2）设，求数列的前n项和． 17. 如图，在多面体中，四边形是边长为2的菱形，PA，FC均与平面垂直，，E为CD的中点，且． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 在直角坐标系中，已知点和，点是轴上方的一个动点，且直线与的斜率之积为定值． （1）求动点的轨迹的方程； （2）当时，直线与轴交于点，求点的坐标； （3）设的垂心为，求的面积的最大值． 19. （1）证明：当时，． （2）已知函数有两个极值点和三个零点，其中 （i）求实数m的取值范围； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $