2026届高三数学二轮复习阶段检测卷01

2026届高三二轮复习阶段检测卷01 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．已知集合 ，则的子集个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．32 【答案】C 【分析】解一元二次不等式即可化简集合，根据集合交集的概念计算即可得，从而可得子集个数. 【详解】解不等式可得，所以， 因为，所以， 故的子集为，故子集个数为. 故选：C. 2．已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线倾斜角与斜率的关系，即可得到结果. 【详解】设直线的倾斜角为， 由可得，则直线的斜率，所以. 故选：B 3．已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则⊥ D．若，，⊥，则 【答案】C 【分析】ABD可举出反例；C选项，设出平面的法向量和直线的方向向量，从而确定，，C正确； 【详解】A选项，若，，则或异面或相交，A错误； B选项，若，，则或，B错误； C选项，设的一个法向量分别为，直线的方向向量分别为， 若，，，则，， 故，⊥，C正确； D选项，若，，则， 又⊥，则或，D错误. 故选：C 4．函数的图象大致为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对进行化简，然后判断的奇偶性，判断出当时，，从而得到答案. 【详解】定义域为， ， ， 所以为偶函数，所以排除A选项， 当时，，，所以，排除B、D选项， 故选：C. 【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数的图像，属于简单题. 5．已知向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】将的两边同时平方得，根据在上的投影向量为单位向量得到一个关于的方程，解方程即可. 【详解】将的两边同时平方得，展开得， 整理得， 由在上的投影向量为单位向量，可知其模长为1，即， 即，解得． 故选：A. 6．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在区间上单调递减，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据题意求得，根据求得，结合余弦函数的单调性列不等式，即可求出答案. 【详解】由题意得， 因为，所以， 因为函数在区间上单调递减，所以，所以， 所以的最大值. 故选：D. 7．如图，已知四棱锥，底面是边长为3的正方形，面，，，，若，则四棱锥外接球表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设，根据得到，从而得到四棱锥外接球的直径得到答案． 【详解】以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设， 则，，，，， 则，，， 于是， 则，∴，四棱锥外接球直径为，故其表面积为． 故选：B.    【点睛】本题考查了求内接四棱锥的问题，关键点是建立空间直角坐标系，考查了学生的空间想象能力和计算能力. 8．关于的方程有实根，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设实根为，则，转化为动点在直线，利用的几何意义，将问题转化为求原点到直线距离的最小值，再构造函数求解并验证最值取到即可. 【详解】由关于的方程有实根，得关于的方程有实根， 设方程的实根为，则， 得到，即， 设点，则点在直线上， 点到直线的距离， 设，函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，，则， 检验：当时，，由，解得，此时； 由，解得，此时， 所以的最小值为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（   ） A．若随机变量，则 B．已知随机变量，若，则 C．已知某4个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个数据5，此时这5个数据的方差为2.4 D．已知按从小到大顺序排列的两组数据（甲组：27，30，37，m，40，50；乙组：24，n，33，44，48，52）的第30百分位数相等，第50百分位数也相等，则 【答案】BC 【分析】根据二项分布的方差公式、正态分布的性质、平均数和方差公式以及百分位数的公式逐项计算判断即可. 【详解】对于A：因为随机变量，所以， 所以，A错误； 对于B：因为随机变量，， 所以，所以， 所以，B正确； 对于C：因为某4个数据的平均数为，方差为3， 那么这四个数据的总和为，且. 所以加入一个数据5后，五个数据之和为，此时平均数为， 方差为，C正确； 对于D：. 对于甲组数据，第30百分位数为第二项30，第50百分位数为第三项和第四项的平均数，即. 对于乙组数据，第30百分位数为第二项，第50百分位数为第三项和第四项的平均数，即. 那么根据题意可得，，解得，所以，D错误. 故选：BC. 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．在区间上单调递增 C．的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到 D．若在区间上存在极大值点和极小值点，则实数的取值范围为 【答案】BC 【分析】对A，代入验证判断；对B，利用单调区间判断；对C，根据三角函数图象变换求解判断；对D，利用性质判断. 【详解】 . 对于A，因为， 所以直线不是图象的对称轴，A不正确； 对于B，若，则， 所以在区间上单调递增，B正确； 对于C，向右平移个单位长度， 得， C正确； 对于D，由，得， 而在区间上有极大值点和极小值点， 则，解得， 所以实数的取值范围为，D不正确. 故选：BC. 11．已知双曲线：的一条渐近线的倾斜角为，点P为C上位于第二象限内的一点，，分别为的左、右焦点，若内切圆的圆心为，则（   ） A．点到渐近线的距离为3 B．若，则最小值是 C．当时，的面积为 D．若为坐标原点，则 【答案】BCD 【分析】由三角形内切圆的性质结合双曲线的定义得到点为的左顶点确定，再由渐近线方程得到，进而得到双曲线方程即可判断A；对于B，由得，再由三点共线求解即可；对于C，由内切圆半径为、内切圆关系得到，利用三角形面积公式求解即可；对于D，由向量的线性运算和数量积的运算律结合余弦定理求解即可. 【详解】如图，    设的内切圆与，，的切点分别为，，，则，，， 因为点为上位于第二象限内一点，所以，因为，， 所以， 则点即为的左顶点，又，所以，因为，所以，所以， 所以，，双曲线：， 对于A，，渐近线为，所以点到渐近线的距离为，故A错误； 对于B，，所以，所以， 当，，三点共线时，的最小值是，，如图，      所以，故B正确； 对于C，，即内切圆半径为，所以， 所以，即为直角三角形，所以， 所以的面积为，故C正确； 对于D选项，，所以， 整理可得， 又， 两式相加可得， 即，所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在的展开式中，的系数为 . 【答案】80 【分析】根据二项式展开式通项公式计算得出，再代入计算求解. 【详解】的展开式中的通项公式为， 所以当时，， 的系数为. 故答案为：80. 13．按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内空气中二氧化碳浓度不高于，经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，设该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为 ． （参考数据：，） 【答案】3 【分析】由，可得.再由，求解即可. 【详解】当时，，解得， 所以. 令，即， 即， 所以，故所需时间(单位：分钟)的最小整数值为. 故答案为：. 14．正三棱锥中，底面边长，侧棱，向量，满足，，则的最大值为 ． 【答案】5 【分析】先对原等式进行化简，设，进而化简得到，然后确定点在以为直径的球面上，在以为直径的球面上，并求出半径，最后确定结果即可. 【详解】因为向量，满足，， 化简得. 设，则， 化简得. 因此，点在以为直径的球面上，半径为 在以为直径的球面上，半径为, 分别取的中点，则，故. 故答案为：5. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．记为数列的前项和，已知． (1)证明数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）通过，当时，两式相减得出，进行适当变形即可证明； （2）由（1）得出的通项公式，进一步得出数列的通项公式，再利用错位相减法即可求和. 【详解】（1）因为，① 所以当时，，② ①②得：， 即，所以， 所以，即， 当时，由①得，则， 所以数列是以公比为，首项为的等比数列. （2）由（1）数列是以公比为，首项为的等比数列， 所以，所以， 由，则， 所以 ，所以， 所以数列的前项和为： ，③ ，④ ③减④得：， 即， 所以. 16．如图，在三棱锥中，平面平面，，，，，分别为，的中点．    (1)求与平面所成角的正弦值； (2)线段的延长线上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) ． (2)存在， ． 【分析】（1）由线面角的向量求法求解； （2）假设存在点，由面面角的向量求法确定点坐标，并计算的值. 【详解】（1）因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ， 所以 平面 ， 因为 平面 ， 所以 ， ， 又， 因为 ，所以 ． 以为原点，、、为 轴正方向建系，如图所示，    则 ， 所以 ， 设平面的法向量 ， 则 ，即 ， 令 ，则 ，所以 ， 设 与平面 所成角为 ， 则 ， 所以 与平面 所成角的正弦值 ． （2）假设存在点，设 ，则 ， 所以 ， ， 设平面 的法向量 ， 则 ，即 ， 令 ，则 ，即 ， 所以 ， 整理得 ，解得 或 ， 所以 或 舍，    所以存在点使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ，且 ． 17．某靶场有两种型号的步枪可供选用，其中甲使用两种型号的步枪的命中率分别为. (1)若出现连续两次子弹脱靶或者子弹打光耗尽便立刻停止射击，若击中标靶至少3次，则可以获得一份奖品，若甲使用型号的步枪，并装填5发子弹，求甲获得奖品的概率； (2)现在两把步枪中各装填3发子弹，甲打算轮流使用两种步枪进行射击，若击中标靶，则继续使用该步枪，若未击中标靶，则改用另一把步枪，甲先使用种型号的步枪，若出现连续两次子弹脱靶或者其中某一把步枪的子弹打光耗尽便立刻停止射击，记为射击的次数，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）方法一：记事件“甲获得奖品”，即5次射击中至少击中3次，且不能出现连续两次脱靶，即可求出对应概率； 方法二：求出所有射击情况中未中靶的概率，利用对立事件求出其概率即可. （2）易知的所有可能取值为，分别求出对应的概率即可求得分布列和数学期望. 【详解】（1）设事件“甲获得奖品”， 方法一： 获得奖品是5次击中3次､4次､5次，且不能连续两次不中，即击中3次时去除第一枪､第二枪不中，第二枪､第三枪不中，第三枪､第四枪不中三种情况， 即. 方法二： 记事件“甲使用型号的步枪射击一次击中标靶”， 事件“甲使用型号的步枪射击一次未击中标靶”， 则， 所以， 所以. （2）由题意，的所有可能取值为， 设事件“甲使用型号的步枪射击一次击中标靶”， 事件“甲使用型号的步枪射击一次未击中标靶”， 则， ， ， . 所以的分布列为 2 3 4 5 所以的数学期望为. 18．已知点，是椭圆上两点，点A，B分别为E的左、右顶点，如图所示，过作直线l交椭圆E于M，N两点（M在N的左侧，且与A，B不重合），连接，交于点P.    (1)求椭圆E的标准方程； (2)设直线，的斜率分别为，，求； (3)在椭圆E上是否存在定点Q，使得的面积为定值？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）将两个点的坐标代入方程即可求解， （2）联立直线与椭圆的方程得韦达定理，进而根据两点斜率公式，代入韦达定理化简即可求解. （3）先联立两直线的方程得交点坐标，可证明点在定直线（位于椭圆内部之间的部分）上运动，即可根据两平行线间距离为定值，判断为直线与椭圆的交点（不同于），即可求解. 【详解】（1）由于，是椭圆上两点， 故，解得， 故椭圆方程为 （2）设直线， 联立则， 设,且， 则， 故 ， （3）直线直线， 联立两直线的方程可得， 则 ， 故，解得， 因此,故点在定直线（位于椭圆内部之间的部分）上运动， 而在直线上，由于直线和互相平行，则两直线间的距离为定值. 要在椭圆E上是否存在定点Q，使得的面积为定值，则为直线与椭圆的交点（不同于）， 故 19．已知函数．（且） (1)若，证明：； (2)若对任意实数，均有． （i）求； （ii）设正整数，证明： 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）当时，，对函数求导，利用函数单调性及极值（最值）分析即可； （2）（i）设，对函数求导，对，，三种情况进行讨论得出，然后构造函数利用函数导数证明；（ii）根据（i）的结论分析得出，于是取，则，然后利用余弦的二倍角公式化简，得出相应的不等式，利用不等式性质证明得出即可. 【详解】（1）当时，， 设，则， 所以函数的单调性如下表所示： 0 0 ↘ 极小值 ↗ 所以，即 （2）（i）设， 则， 情形1：，则，矛盾； 情形2：，则， 取正整数，使得， 则， 于是在区间内函数存在至少一个零点，取其中最小的一个为， 那么对任意，恒有， 理由：假设存在实数使得， 于是在区间内函数存在至少一个零点，这与的定义矛盾， 故对任意，恒有， 故在区间上单调递减，于是，矛盾； 情形3：，则， 取负整数，使得， 则， 于是在区间内函数存在至少一个零点，取其中最大的一个为， 同情况2可知，在区间上单调递增，于是，矛盾； 综上，只可能. 下面证明满足要求， 当时，，满足题目条件. 当时，先证明，． 设，则，故为增函数， 于是当时，， 故，所以，成立， 当时，，故，所以，成立． 当时，，成立. 综上知成立， 令， 则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以 由函数在上单调递增， 所以， 当时，成立， 所以当时，， 即， 可见满足要求 （ii）由（i）知，用代替， 得，所以， 于是取， 则 又因为， 所以， 由于， 所以， 在不等式中，令， 可得：即， 所以，， 因此， 所以 ， 至此不等式得证． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三二轮复习阶段检测卷01 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．已知集合 ，则的子集个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．32 2．已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 3．已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则⊥ D．若，，⊥，则 4．函数的图象大致为 A． B． C． D． 5．已知向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则（   ） A． B． C．3 D．2 6．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在区间上单调递减，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．如图，已知四棱锥，底面是边长为3的正方形，面，，，，若，则四棱锥外接球表面积为（    ）    A． B． C． D． 8．关于的方程有实根，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（   ） A．若随机变量，则 B．已知随机变量，若，则 C．已知某4个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个数据5，此时这5个数据的方差为2.4 D．已知按从小到大顺序排列的两组数据（甲组：27，30，37，m，40，50；乙组：24，n，33，44，48，52）的第30百分位数相等，第50百分位数也相等，则 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．在区间上单调递增 C．的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到 D．若在区间上存在极大值点和极小值点，则实数的取值范围为 11．已知双曲线：的一条渐近线的倾斜角为，点P为C上位于第二象限内的一点，，分别为的左、右焦点，若内切圆的圆心为，则（   ） A．点到渐近线的距离为3 B．若，则最小值是 C．当时，的面积为 D．若为坐标原点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在的展开式中，的系数为 . 13．按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内空气中二氧化碳浓度不高于，经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，设该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为 ． （参考数据：，） 14．正三棱锥中，底面边长，侧棱，向量，满足，，则的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．记为数列的前项和，已知． (1)证明数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 16．如图，在三棱锥中，平面平面，，，，，分别为，的中点．    (1)求与平面所成角的正弦值； (2)线段的延长线上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 17．某靶场有两种型号的步枪可供选用，其中甲使用两种型号的步枪的命中率分别为. (1)若出现连续两次子弹脱靶或者子弹打光耗尽便立刻停止射击，若击中标靶至少3次，则可以获得一份奖品，若甲使用型号的步枪，并装填5发子弹，求甲获得奖品的概率； (2)现在两把步枪中各装填3发子弹，甲打算轮流使用两种步枪进行射击，若击中标靶，则继续使用该步枪，若未击中标靶，则改用另一把步枪，甲先使用种型号的步枪，若出现连续两次子弹脱靶或者其中某一把步枪的子弹打光耗尽便立刻停止射击，记为射击的次数，求的分布列与数学期望. 18．已知点，是椭圆上两点，点A，B分别为E的左、右顶点，如图所示，过作直线l交椭圆E于M，N两点（M在N的左侧，且与A，B不重合），连接，交于点P.    (1)求椭圆E的标准方程； (2)设直线，的斜率分别为，，求； (3)在椭圆E上是否存在定点Q，使得的面积为定值？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. 19．已知函数．（且） (1)若，证明：； (2)若对任意实数，均有． （i）求； （ii）设正整数，证明： 学科网（北京）股份有限公司 $