第1章 四边形 单元测试卷（B卷）2025-2026学年 湘教版八年级数学下册

八年级数学下册 第1章 《四边形》 单元测试卷（B卷）湘教版 一、选择题（每题3分，共30分） 1．在下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（　　） A．对角线互相平分 B．一组对边平行且相等 C．两组对边分别平行 D．一组对边平行，另一组对边相等 3．佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的边数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 4．如图，矩形中，点E在上，且平分，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，是边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，过矩形对角线的交点 O，且分别交于 E 、F，那么阴影部分的面积是矩形 的面积的（ ） A． B． C． D． 7．如图，点E，F，G，H分别是四边形的边的中点，则下列说法中正确的个数是（　　） ①若四边形是平行四边形，则四边形为矩形； ②四边形为平行四边形； ③若四边形是菱形，则四边形是菱形； ④若四边形中与互相垂直且相等，则四边形是正方形． A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，两条宽均为的纸条，交叉叠放在一起，且它们的夹角为，则它们重叠部分的面积为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在平行四边形中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接、，则下列结论中错误的是（　　） A． B． C． D． 10．如图，平行四边形的对角线相交于点，是的中点，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中结论正确的序号有（　　） A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④ 二、填空题（每题3分，共24分） 11．在中，，，点分别是边的中点，则的周长是　 　． 12．若一个多边形的每一个外角都等于120°，则该多边形的内角和度数为　 　. 13．如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为　 　． 14．如图，在平行四边形中，的平分线交于，，，则的长等于　 　． 15．如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．则线段EF的最小值为　 　． 16． 如图，是菱形的对角线，于点E，交于点F，若，则　 　 17．如图，，分别是正方形的边，的点，且，，，现有如下结论： ①；②；③；④其中正确的结论有　 　（填写所有正确结论的序号）． 18．如图，在四边形中，，点是的中点，，点在边上，四边形的面积为9，则的值为　 　． 三、解答题（共8题，共66分） 19．一个n边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为． （1）求这个n边形一个内角的度数． （2）求这个n边形的内角和． 20．如图3×3网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影： （1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形； （2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形； 21．如图，中，于点，点，分别是，的中点，连接，，． （1）求证． （2）若四边形的周长是，的周长是．求的长． 22． 如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，AF，CE，CF. （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若AB⊥AC，AB=3，BC=5.求 AC、BD 的长. 23． 如图所示，矩形中，以对角线为底边，作等腰直角（点在上方），，，连接，过点作，交于． （1）求证：； （2）若，连接，请求出的长． 24．某商铺为更好地服务顾客，便于顾客休憩，提升顾客的幸福感，在其商铺外墙安装遮阳棚（如图1），如图2是该遮阳棚侧面横截示意图．已知遮阳棚长2米，靠墙端离地面的高度为5米，遮阳棚与墙面的夹角．（图中所有点均在同一平面内） （1）求点C到墙面的距离的长； （2）某日阳光明媚，一束太阳光线经点C射入，落在地面上的点E处．当时，求的长． 25．已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，B（5，2），点D是OA中点，点P在BC上以每秒2个单位的速度由C向B运动，设动点P的运动时间为t秒． （1）t为何值时，四边形PODB是平行四边形？ （2）在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 26．如图，在正方形的边上取点，以为边作正方形，连接，交于，点是上的一点，连接，， （1）如图1，若点是的中点，，求的长； （2）如图2，若，，，求的长； （3）如图3，若点是的中点，，，求的长． 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】A、图案是中心对称图形，也是轴对称图形， ∴符合题意； B、图案是轴对称图形，不是中心对称图形， ∴不符合题意； C、图案是轴对称图形，不是中心对称图形， ∴不符合题意； D、图案不是轴对称图形，是中心对称图形， ∴不符合题意． 故答案为：A． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义“中心对称图形： 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形。这条直线叫对称轴”并结合各选项即可判断求解． 2．【答案】D 【解析】【解答】∵对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴A不符合题意； ∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ∴B不符合题意； ∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形， ∴C不符合题意； ∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形，不一定是平行四边形， ∴D符合题意； 故答案为：D. 【分析】对角线互相平分的四边形、一组对边平行且相等的四边形、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，据此逐一判断即可. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：设这个正多边形的边数为，则， ∴， 故答案为：． 【分析】设这个正多边形的边数为，根据多边形内角和公式可得出，解方程即可得出答案。 4．【答案】C 【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°. ， ， 平分， ， ， ， ∴， ， 故答案为：C． 【分析】通过矩形的性质可得∠ABC=90°，通过，可得，结合角平分线的定义可得，再由直角三角形两锐角互余，即可求解． 5．【答案】C 【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， A.∵，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故选项A不符合题意； B.∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴DE=BC ∵DE//BC， ∴四边形为平行四边形，故选项B不符合题意； C.∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴不能判定四边形为平行四边形；故选项C符合题意； D.∵， ∴∠CBD=∠ADB， ∵， ∴∠ADB=∠AEC， ∴DB//EC， 又∵DE//BC， ∴四边形为平行四边形，故选项D不符合题意. 故答案为：C． 【分析】根据平行四边形的性质可证得DE∥BC，∠ABD=∠CDB，证明，可得BD∥CE，即可得四边形BCED为平行四边形，可判断选项A；证明，再证明，可得DE=BC，即可得四边形BCED为平行四边形，可判断选项B；根据平行线的性质得到，，于是可得，，利用等腰三角形的判定定理得CF=BF，EF=DF，不能判定四边形BCED为平行四边形，故可判断选项C；根据平行线的性质得∠CBD=∠ADB，等量代换可得∠ADB=∠AEC，即可得DB//EC，于是得到四边形BCED为平行四边形，可判断选项D. 6．【答案】B 【解析】【解答】解：四边形为矩形， ， ∴ 在与中， ， ， 阴影部分的面积， ∵与同底且的高是高的 ． 故选：B． 【分析】由矩形的性质可得，，得到，从而，确定阴影部分的面积，根据三角形中线的题意可得，，即可求解． 7．【答案】B 【解析】【解答】解： ① ∵点E，F，G，H分别是四边形的边的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形，故②正确，但是证明不出四边形是矩形，故①错误， ③∵四边形是菱形，则， 同理可得，而 ∴，证明不出四边形是菱形，故③错误， ④ 当与互相垂直且相等，如图，作AC交BD于点O， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， 同上可知， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形，故④正确， 故答案为：B． 【分析】先证明一般四边形的中点四边形是平行四边形 ；当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，当对角线，且时，中点四边形是正方形，再逐一分析各选项即可． 8．【答案】C 【解析】【解答】解：过点B作于E，于F，如图所示， 由题意得，，，∠DCB=60°. ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形ABCD是菱形， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴. ∴， ∴， ∴它们重叠部分的面积为， 故答案为：C． 【分析】过点B作于E，于F，由题意得，，，∠DCB=60°，则可证明四边形是平行四边形，再由等面积法可得，于是有四边形是菱形，.求出，可得，由勾股定理求得DE长，继而可得，据此可得答案． 9．【答案】C 【解析】【解答】解：①∵F是的中点， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故A不符合题意， 延长，交的延长线于M， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵F为中点， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，故B不符合题意， ③∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴；故C符合题意； ④设，而， 则； ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故D不符合题意； 故答案为：C 【分析】根据平行四边形性质可得，由等边对等角可得，再根据直线平行性质可得，则，即，可判断A选项；延长，交的延长线于M，根据平行四边形性质可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据直角三角形斜边上的中线可判断B选项；根据三角形面积可判断C选项；设，而，则，再根据角之间的关系可判断D选项. 10．【答案】C 【解析】【解答】解：∵，点E是的中点， ∴. ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴是平分． 则①②正确； ∵点E是的中点，点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 则③正确； ∵点O是的中点， ∴． ∵点E是的中点， ∴， ∴． 由平行四边形的性质得， ∴， 即． 则④不正确． 所以正确的有①②③. 故答案为：C. 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、等边三角形的性质、中位线性质等相关知识。 根据，是的中点，配合平行四边形对角线互相平分，即可得出OE为△ACB的中位线、AE=CE=BE=BC，得出 ；根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”即可得出△BCE是等边三角形，此时即可得出∠BCE、∠ACE、∠ACD的度数，即可得出平分；最后根据平行四边的面积和中位线进行面积拆分，即可得出​​​​​​​。 11．【答案】6 【解析】【解答】解：如图， ∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4， ∴AB===5， ∵点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点， ∴DE=BC，DF=AC，EF=AB， ∴C△DEF=DE+DF+EF=BC +AC +AB = (BC+AC+AB)=(4+3+5)=6. 故答案为6. 【分析】根据勾股定理可得AB，再根据三角形中位线定理可得DE=BC，DF=AC，EF=AB，再根据三角形周长即可求出答案. 12．【答案】180° 【解析】【解答】解：多边形的边数为：360°÷120=3， 多边形的内角和是：(3-2)×180°=180°， 故答案为：180°. 【分析】先利用360°÷120求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式(n-2)·180°计算即可求解. 13．【答案】 【解析】【解答】解：根据题意可知：△ABC≌△AB'C'， ∴AB=AB'， ∵，，， ∴， ∴AB'=， ∴， 故答案为：． 【分析】在直角中，根据角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得，依据中心对称可得，据此即可求解． 14．【答案】 【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】先利用平行四边形性质得出，，，再利用角平分线的意义，结合等角对等边可求得DE，然后利用CE=CD-DE即可求解． 15．【答案】 【解析】【解答】解：连接CD，如图所示， 在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝＝＝5. ∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90°， ∴四边形CEDF是矩形， ∴EF＝CD. ∵CD⊥AB时，线段CD的长最小， 此时， ∴CD＝＝＝， ∴EF的最小值为， 故答案为：． 【分析】连接CD，证明四边形CEDF是矩形，可得EF＝CD，再由垂线段最短得CD⊥AB时线段CD的长最小，利用等面积法求得此时CD的长，即可解答． 16．【答案】 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠C=140°， ∴∠ABC=40°，∠CBD=20°， ∵AE⊥BC， ∴∠BFE=70°， ∴∠BFA=110° 故答案为：110°. 【分析】根据菱形性质求∠ABC和∠CBD的度数，再结合余角性质求出所求角度. 17．【答案】②③ 【解析】【解答】解：四边形是正方形， ，， ， ， 由勾股定理得：， ， ①错误； ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ②正确； ， ， ③正确； ， ， ， ④错误． 故答案为：②③． 【分析】根据正方形的性质求出，，再利用勾股定理求出，最后可以判断①错误；先求出，再利用SAS证明，最后可以判断②正确；先求出，再求出∠FCD即可判断③正确；先求出，再求出即可判断④错误。 18．【答案】 【解析】【解答】解：过B作BG⊥DA，过E作HI∥DC交DA延长线于点G、I，如图所示： AD⊥CD，BC⊥CD ∴DG∥BC， HI∥DC， 四边形HIDC是平行四边形， ∴HI=CD=6， ∵BG⊥DA，AD⊥CD ∴BG∥CD 四边形BCDG是平行四边形， ∴BG=DC=6，DG=BC=6 ∵ ∴在中，， DG∥BC， ∴∠IAE=∠HEB， 点E是AB的中点， ∴AE=BE， ∴在△AEI和△BEH中 ， ∴AI=BH，， ∵HI∥DC，BG∥CD， ∴BG∥HI BH∥GI， 四边形BHIG是平行四边形， ∴BH=GI， ， ∴， 四边形AEFD的面积为9，， ， 解得， ， ， 故答案为：． 【分析】 本题考查平行四边形的判定与性质、勾股定理、三角形全等的判定与性质、梯形面积等知识，根据三角形全等判定与性质构造辅助线是解题关键. 过B作BG⊥DA，过E作HI∥DC交DA延长线于点G、I，如图所示，由平行四边形的判定定理：两组对边平行的四边形是平行四边形可知：四边形HIDC是平行四边形和四边形BCDG是平行四边形， 四边形是平行四边形，再由勾股定理、三角形全等的判定与性质及平行四边形性质得到相关线段长度，借助梯形的面积，列方程求解即可得到答案． 19．【答案】（1）解：设这个n边形的每个内角度数为7x，则与它的相邻的外角的度数为，根据题意，得：. 解得：， ，， 故这个n边形一个内角的度数为.​​​​​​ （2）由（1）得，这个n边形一个内角的度数为， ∴140°·n=180°·(n－2). 解得：n=9 ∴这个n边形的内角和为140°×9=1260°．​​​​​​ 【解析】【分析】（1）设这个n边形的每个内角度数为7x，则与它的相邻的外角的度数为，根据多边形的内角和外角的关系列出方程，求解即可得出一个内角和一个外角的度数； （2）根据n边形的内角和公式，得到关于n的方程并求解，再代入公式求解即可． （1）解：设这个n边形一个内角的度数为，则它的相邻外角的度数为， 根据题意，得 解得：， ，， 故这个n边形一个内角的度数为； （2）根据（1）得这个n边形一个外角的度数为， ， 这个n边形的内角和为． 20．【答案】解：（1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形，如下图所示： ； （2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形，如下图所示： ． 【解析】【分析】（1）（2）把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义分别求解即可. 21．【答案】（1）解：， ， 点是的中点， ； （2）解：， ， 点，分别是，的中点， ，， 四边形的周长是30， ， 的周长是21， ， 点，分别是，的中点， 是的中位线， ． 【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案。 （2）根据三角形性质，四边形周长性质及三角形中位线性质即可求出答案。 22．【答案】（1）解：四边形ABCD是平行四边形， ， E，F分别是OB，OD的中点 ， ， ， 四边形AECF是平行四边形 . （2）解：， ， ， ， ， ， . 【解析】【分析】(1)利用平行四边形的性质可得OA=OC，OB=OD，再通过中点的定义得到OE=OF，进而证得四边形AECF是平行四边形 . (2)由勾股定理可得AC=4，利用平行四边形的性质可得，再通过勾股定理求得BO的长度，即可得到BD的长度. 23．【答案】（1）证明：如图， 设与交于点，则， 四边形是矩形， ，而 在和中 （2）解：如图所示，连接， 由（1）可知： ， 四边形是矩形，，， 是等腰直角三角形， ， 而由（1）可知是等腰直角三角形， ，， ， ， 三点共线 ． 【解析】【分析】(1)在基础的图形上，为证得两组边相等，选择找出与EF与ED对应的两组视觉上全等的三角形并加以证明即可； (2)在(1)的基础上得到特殊直角三角形，结合已知条件的边信息与特殊直角三角形三边比例关系，进而可逐一往目标线段分段分析并求出对应值. 24．【答案】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点到墙面的距离的长为米； （2）解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵，，， ∴，， 设， ∴， 在中，有， ∴， 解得：， ∴的长为米． 【解析】【分析】（1）先求出，根据含30°的直角三角形的性质得，从而利用勾股定理求出的长； （2）过点作于点，易证四边形为矩形，得，，然后设，则，在中，利用勾股定理得关于x的方程，解方程即可求出的长. （1）解：由题意，得，米，， ∴， ∴在中，（米）． 由勾股定理，得（米）． （2）如图，过点C作于点H， ∴四边形为矩形， ∴（米），（米）． 设的长为x米，则米， ∴（米）． 在中，由勾股定理，得， 即，解得， ∴的长为米． 25．【答案】解：（1）∵四边形OABC为矩形，B（5，2）， ∴BC=OA=5，AB=OC=2， ∵点D时OA的中点， ∴OD=OA=2.5， 由运动知，PC=2t， ∴BP=BC-PC=5-2t， ∵四边形PODB是平行四边形， ∴PB=OD=2.5， ∴5-2t=2.5， ∴t=1.25. （2）①当Q点在P的右边时，如图1， ∵四边形ODQP为菱形， ∴OD=OP=PQ=2.5， ∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：PC=1.5， ∴2t=1.5； ∴t=0.75， ∴Q（4，2）； ②当Q点在P的左边且在BC线段上时，如图2， 同①的方法得出t=2， ∴Q（1.5，2）， ③当Q点在P的左边且在BC的延长线上时，如图3， 同①的方法得出，t=0.5， ∴Q（-1.5，2）； 综上所述：t=0.75，Q（4，2）；或t=0.5，Q（-1.5，2），或t=2，Q（1.5，2）． 【解析】【分析】（1）先求出BP=BC-PC=5-2t，再利用平行四边形的性质可得PB=OD=2.5，列出方程5-2t=2.5，求出t的值即可； （2）分类讨论：①当Q点在P的右边时，②当Q点在P的左边且在BC线段上时，③当Q点在P的左边且在BC的延长线上时，再分别画出图形并利用菱形的性质分析求解即可. 26．【答案】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点是的中点，， ∴； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴ （3）解： 延长交于， 如图： ∵四边形和是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，是中点， ∴． 【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出答案. （2）根据正方形性质可得，再根据勾股定理可得AN，再根据三角形面积即可求出答案. （3）延长交于，根据正方形性质可得，，，则，根据直线平行性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得DK，再根据直角三角形斜边上的中线性质及勾股定理即可求出答案. 学科网（北京）股份有限公司 $