函数单调性与奇偶性的综合应用、恒成立求参数问题专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数单调性与奇偶性的综合应用、恒成立求参数问题专项训练 函数单调性与奇偶性的综合应用、恒成立求参数问题专项训练 考点目录 函数单调性与奇偶性的综合应用 恒成立求参数问题 考点一 函数单调性与奇偶性的综合应用 例1．（25-26高一上·陕西榆林·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并用单调性定义证明； (3)若不等式对一切恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)单调递减，证明见解析； (3). 【详解】（1）函数的定义域为， 由， 可得，所以是奇函数； （2）令，则， 因为，所以，即， 则当时，有，所以在上单调递减； （3）因为是奇函数，所以不等式， 又因为在上单调递减，所以， 由于不等式对一切恒成立， 所以，解得， 故实数k的取值范围是. 例2．（25-26高一上·重庆·月考）已知函数， (1)求函数定义域； (2)判断并证明函数的奇偶性； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)偶函数，证明见解析； (3). 【详解】（1）函数有意义，则，解得， 所以函数定义域为. （2）函数是定义在上的偶函数， 由于， 所以函数是偶函数. （3）依题意，，函数在上单调递减， 而函数在上单调递增，因此函数在上单调递减， 不等式，则， 即，解得或， 所以的取值范围是. 例3．（2025高一上·山东枣庄·专题练习）已知函数. (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断函数的单调性（不需要证明）； (3)若，求实数x的取值范围. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)在上单调递增 (3) 【详解】（1）由可知，， 所以该函数的定义域为，关于原点对称， 又因为， 所以是奇函数； （2）在上单调递增，证明如下： , 设是内任意两个实数，且，则有， 则， ， 因为， 所以，所以， 所以 ， 因此， 所以在上单调递增； （3）因为是奇函数， 所以原不等式可化为，即， 又在上单调递增，所以， 解得，所以x的取值范围为. 例4．（25-26高一上·甘肃张掖·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或． 【详解】（1）由题意，当时，， 当时，，则． 又因为函数为奇函数，所以． 且当时，． 综上，. （2）由（1）得当时，，所以， 当时，，所以． 又不等式，即或， 所以或， ； . 即不等式的解集为或． 变式1．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知函数是定义在R上的奇函数． (1)求a的值，判断并用定义证明的单调性； (2)若，解关于x的不等式． (3)若对任意的时，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)；见解析. (2)见解析 (3) 【详解】（1）因为函数是定义在R上的奇函数，所以， 即，解得，所以， 即，则，符合题意， 令，则=， 因为所以，则，因为，所以， 所以在R上单调递增. （2）因为在定义域上单调递增，又是定义在R上的奇函数， 由可得：， 即，即， 若，方程的两根为， 当时，不等式变为，不等式的解集为空集； 当时，则，不等式的解集为； 当时，则，不等式的解集为； 综上：当时，不等式的解集为空集； 时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3）若对任意的时，不等式恒成立， 则有恒成立， 因为在R上单调递增， 当时，，所以， 所以，所以恒成立， 当时，有，化简得，解得或， 当时，有，化简得，解得或， 综上得的取值范围是. 变式2．（25-26高一上·湖南·月考）已知是定义域为R的奇函数． (1)求实数a的值； (2)用定义证明在R上是增函数； (3)解关于x的不等式． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)答案见解析； 【详解】（1）由题意，则， 此时， 则，即为奇函数，满足题意， 所以. （2）由（1）知，， 任取，且， 则， 因为，所以，，， 故，即， 所以在上是增函数； （3）由， 则， 由（2）知，在上单调递增， 所以，则，即， 当时，，不等式可化为，解得； 当时，当时，，解得； 当时，不等式为，无解； 当时，，解得；. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 变式3．（25-26高一上·河北廊坊·月考）已知，其中为奇函数，为偶函数. (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)解关于m的不等式. 【答案】(1)； (2)在单调递增，证明见解析； (3) 【详解】（1）因为为奇函数，为偶函数， 所以即①； 又②； ②①得， 即； （2）函数是定义在的增函数，证明如下： ，且， 则 因为， 所以， 又，所以， 所以，所以， 所以，所以，即， 所以在单调递增. （3）由得， 由（2）得，即，解得， 所以不等式的解集为. 变式4．（25-26高一上·江苏盐城·月考）已知函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数， (1)若，其中． （i）求，的解析式； （ii）若对于任意，都有，求实数a的取值范围. (2)若函数在上单调递减，求不等式的解集. 【答案】(1)（i），；（ii） (2) 【详解】（1）（i）因，则， 因是奇函数，是偶函数，则， 则，得，； （ii），即， 令，则在上单调递增， 当时，在上单调递增，符合题意； 当时， 开口向上，且对称轴，显然在上单调递增，所以； 当时，开口向下，且对称轴，则由题意，得， 又，所以； 综上，故实数a的取值范围为； （2），则 ， 又定义域为R，关于原点对称，则是偶函数， 因在上单调递减，则在上单调递增， 等价于，即， 则，即或，得或， 故不等式的解集为. 考点二 恒成立求参数问题 例1．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知函数 (1)若，求的值； (2)若在上有两个不等的实数根，求的取值范围； (3)在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)或1 (2) (3) 【详解】（1）因为，所以， ， 由，解得或1； （2）因为函数在上有两个不相等的实根， 所以，即，解得， 所以的取值范围是； （3）在上恒成立， 即在上恒成立. 令， 由题意，，解得， ①当时，单调递增， 所以，符合题意； ②当时，要使恒成立，即证， 令，由可得， 所以在时单调递增，所以， ， 因为，所以， 所以，所以， 所以，即恒成立，所以符合题意； 综上，的取值范围为. 例2．（25-26高一上·重庆·月考）已知函数为二次函数，的最小值为，的两根为和． (1)求的解析式； (2)当时，若恒成立，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为函数为二次函数，且的两根为和，可设， 已知的最小值为，可得，解得， 所以， 即函数的解析式为. （2）由（1）知，可得 当，令，可得， 因为函数的图象开口向上，且对称轴为， 所以，即在区间上的最小值为， 因为恒成立，即恒成立，即， 即，解得，所以实数的值为. 例3．（25-26高一上·江苏宿迁·月考）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值. (2)判断在上的单调性并用定义法证明. (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2)函数在上单调递增，证明见解析 (3) 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，所以.所以. 当时，函数. 函数的定义域为， ，. 所以函数是定义在上的奇函数. 所以. （2）函数在上单调递增. 证明：设. 因为是定义在上的增函数，所以，所以，所以. 即，所以函数在上单调递增. （3）由（1）知，所以. 由题可得，对任意，不等式恒成立. 因为函数在上单调递增，所以对任意，不等式，即恒成立. 由恒成立，可得， 因时，，故， 令. 当且仅当，即时，等号成立. 所以当且仅当时，函数取得最小值，最小值为. 所以，所以实数的取值范围是. 例4．（25-26高一上·重庆江北·月考）已知，函数． (1)当时，解不等式； (2)若关于x的不等式在区间上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，函数，所以不等式化简为. 当时，不等式变为，不等式两边同时乘以得， 化简得，解得或，又，所以； 当时，不等式变为，不等式两边同时乘以得，无解. 综上，不等式的解集为. （2）不等式化简为，其在区间上恒成立， 所以当时，不等式为，变形为. 令，设且， 则， 因为，所以，所以在区间上单调递增. 所以在时取最大值为. 所以要使得不等式在区间上恒成立，则只需即可，即. 变式1．（25-26高一上·广东·月考）已知函数，函数是上的偶函数. (1)求函数的定义域； (2)求的值，并求函数的最小值； (3)若，，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)；2 (3) 【详解】（1）， 要使函数有意义，则，所以，所以， 所以函数的定义域为； （2）因为函数是上的偶函数，所以， 所以，所以，所以， 由对恒成立，所以，所以； ，当且仅当即时等号成立， 所以函数的最小值为2； （3） ，， 因为，，恒成立，所以， 由（2）可知函数在上的最小值为2，所以， 记，因为，所以，所以， 当时，，则，所以，所以或，又，所以； 当时，，则，所以，所以，又，所以； 综上，实数的取值范围为. 变式2．（25-26高一上·山西运城·月考）已知函数对任意实数恒有，当时，，且. (1)判断的奇偶性并证明； (2)判断的单调性并证明； (3)若对所有的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)在上单调递减，证明见解析 (3)或 【详解】（1）取，则，则； 取，则， 又定义域为，则是奇函数． （2）任取，则， ， 由时，可知， 即，即， 故在上单调递减． （3）由题知，若对所有的，恒成立， 只需， 结合函数的单调性，时，， 则，即， 将不等式左边视作关于的一次函数， 而时恒成立， 故只需，即， 解得或 变式3．（25-26高一上·上海金山·期末）已知函数的定义域为，并且满足下列条件：①；②对任意，；③当时，． (1)证明：为奇函数； (2)判断的单调性，并求解不等式； (3)若对所有，恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)为单调递减函数； (3) 【详解】（1）证明：由函数的定义域为，关于原点对称， 因为对任意，， 令，可得，可得， 令，可得，所以， 所以函数为奇函数. （2）解：任取，且，则， 因为当时，，所以， 又因为， 所以，即， 所以为定义域上的单调递减函数， 因为，且函数为奇函数，可得， 则， 不等式，可化为， 因为函数为奇函数， 可得， 则不等式即为， 又因为函数为单调递减函数，所以， 即，解得， 所以不等式的解集为. （3）解：由（2）知，函数在上为单调递减函数， 所以函数在上的最大值为， 要使得对所有，恒成立， 则满足恒成立，即在恒成立， 设，则在恒成立， 则满足，即，解得， 所以实数的取值范围为. 变式4．（25-26高一上·黑龙江·期末）已知函数. (1)若函数是奇函数，求的值； (2)当的定义域为时，解不等式； (3)若时，，总有，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）若，函数的定义域关于原点不对称，不是奇函数，所以，函数的定义域为， 所以，解得， 故， 经检验，，所以函数为奇函数. 故为所求. （2）由题知. 令，设， 则， 由复合函数的单调性知在上单调递增， ，所以在上单调递增， 所以函数在上单调递增. 所以不等式可化为 解得，即不等式的解集为. （3） 又由，总有， 知， 即， 令，则在上恒成立. ①当时，有在上恒成立， 由函数的图象和性质可知，必有，即， 此时函数在上单调递增，且，所以. ②当时，有在上恒成立， 由函数的图象和性质可知，必有，即， 若，不合题意. 若，函数的对称轴为. 若即时，在上单调递增，所以，满足题意，故. 若即时，有， 即， 解得，所以. 由可得. 综上所述，的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数单调性与奇偶性的综合应用、恒成立求参数问题专项训练 函数单调性与奇偶性的综合应用、恒成立求参数问题专项训练 考点目录 函数单调性与奇偶性的综合应用 恒成立求参数问题 考点一 函数单调性与奇偶性的综合应用 例1.（25-26高一上陕西榆林期未)已知函数/0)=1 e+12 f(x) (1)判断 的奇偶性，并证明： f) (2)判断 的单调性，并用单调性定义证明； B若不等式fr)+f2r+)≤0对一切x∈R恒成立，求实数k的取值范围. f(x)=lg(2+x)+lg(2-x) 例2.(25-26高一上重庆·月考)已知函数 f(x) (1)求函数 定义域： f(x) (2)判断并证明函数`的奇偶性： f(2m-1)<f(m) m (3)若 ,求的取值范围。 函数单调性与奇偶性的综合应用、恒成立求参数问题专项训练 例3.(2025高一上·山东枣庄专题练习)已知函数f)=h+1 11-x (x) (1)判断 的奇偶性，并证明： (x) (2)判断函数 的单调性（不需要证明）； 求实数x的取值范围。 例4，(25-26高一上甘肃张掖期末)已知函数八是定义在R上的奇函数，且当x>0时，=3+1 ①求函数的解析式： 2若f(+10(fx-10>0,求实数x的取值范围 2 函数单调性与奇偶性的综合应用、恒成立求参数问题专项训练 变式1.(25-26高一上江苏南通月考)已知函数f(=2- 2是定义在R上的奇函数. )求a的值，判断并用定义证明f的单调性： (2)若>0，解关于x的不等式/x-+f1-<0 (8若对任意的x,-2刘时，不等式川-训小sm+品恒 +4m恒成立，求实数m的取值范围. 变式2.（2526商-上淘南月考)已如网=是定文城为R的奇话数。 (I)求实数a的值； (x) (2)用定义证明在R上是增函数： (3)解关于x的不等式fe-2e+m+fm-me)<0 函数单调性与奇偶性的综合应用、恒成立求参数问题专项训练 变式3.(25-26高-一上河北廊坊月考)已知刊+8=218,1+刊，其中八为奇函数，8为偶函数 )求x的解析式： 2判断闪的单调性，并利用定义证明： 3)解关于m的不等式m-1+f1-2m<0 f(x)g(x 是定义在R上的函数，其中⊙是奇函数， 8(x) 变式4.(25-26高一上江苏盐城月考)已知函数 是偶函数， 0①若f+80)=ar+x+2,其中aeR (①求/田8) 的解析式： g(x)-g()>-1 (i)若对于任意1<x<x<2,都有-x ，求实数a的取值范围. (2)若函 数)=g)4r在←心，0上单调递减，求不等式8(x+)-g0>4r+8r的解集 函数单调性与奇偶性的综合应用、恒成立求参数问题专项训练 考点二 恒成立求参数问题 例1.(25-26高一上渐江宁波·期末)已知函数=扣 0)诺/)=3，求0的值 2若四=0在-2,2)上有两个不等的实数根，求“的取值范围。 3)/3a、r中在2+m)上恒成立，求a的取值范围。 为二次函数， f(x ”的最小值为1,0=0。 13 例2.(25-26高一上·重庆·月考)已知函数 的两根为和°. f(x) (1)求的解析式； 2当xc0,2时，若2)≥m-2m恒成立，求实数m的值. 函数单调性与奇偶性的综合应用、恒成立求参数问题专项训练 蓟3.(25-26高一上江苏宿迁·月考)已知函数=3” 是定义在R上的奇函数 (1)求实数m的值. 2判断闪在R上的单调性并用定义法证明 Θ)若对任意，2小，不等式：-2+1小产恒成立，求实数，的取值花围。 例4.(25-26高一上重庆江北月考)已知a∈R,函数 w=a+ )当a=1时，解不等式f(≤2x, ②若关于x的不等式4≥0在区间2上恒成立，求实数a的取值范围。 6 函数单调性与奇偶性的综合应用、恒成立求参数问题专项训练 变式1.（25-26高一上广东月考)已知函数四=10g,2-1+1og,8-2川a>0,a≠山函数8刘=9十9 3是 R上的偶函数， )求函数的定义域： 2求力的值，并求函数3的最小值： ③)若2，∈R,f儿)58恒成立，求实数“的取值范围， 变式2.（25-26高一上山西运娘月考》已知函数对任意实数xy恒有x+列=+少，当>0时， f<0,且f0=-2 )判断的奇偶性并证明： 2判断闪的单调性并证明： ③)若(<㎡-2am+2对所有的-，aG-l恒成立，求实数m的取值范围. 函数单调性与奇偶性的综合应用、恒成立求参数问题专项训练 变式3.(25-26高一上上海金山期未)己知函数（刊的定义域为R,并且满足下列条件：O-=1,②对任 意yeR,x+列=f+/列；③当x>0时，<0 山)证明：f为奇函数： 2)判断f刊的单调性，并求解不等式r+2)-f(2-刘>-2， ③)活f国≤2-1+1对所有rG-川，ac-22恒成立，求实数1的取值范围. 2ta+x-x(aeR) 变式4.(25-26高-上黑龙江期未)已知函数)=10：2+ 山)若函数八刊是奇函数，求“的值： 2当a=-lf刊的定义域为L+切时，解不等式f3-2)<fx+ ③)若a>0时，xeR,总有/)+f-≤1，求a的取值范围 8