精品解析：湖北省A20联盟2025--2026学年上学期九年级数学期末质量检测

湖北省A20联盟期末质量检测 数学试题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共6页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并收回． 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共10小题，每题3分，满分30分. 在每题给的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 年月日，汇聚了全球个知名汽车品牌的第二十一届中国（长沙）国际汽车博览会在长沙国际会展中心拉开帷幕，中国新能源汽车智能化发展进入全面加速期，各大车企以高阶智能技术抢占市场，并开始竞逐低空智慧交通新赛道．以下是款国产新能源汽车标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．熟练掌握相关定义是解答本题关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A选项是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； C选项是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D选项是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意． 故选：B． 2. 若圆内接正多边形的一个中心角是，则这个正多边形的边数是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键． 正多边形的中心角度数等于除以边数，根据给定中心角建立方程求解． 【详解】解：设正多边形的边数为， 中心角为， ， ， 这个正多边形的边数是． 故选：． 3. 已知是方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义和代数式求值. 由方程根的性质得出的值，再整体代入代数式求解，即可解题． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 即， ∴． 故选：A． 4. 如图，四边形内接于，点在延长线上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，同角的补角相等，根据圆内接四边形得，又，则，然后通过圆周角定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 5. 已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．根据二次函数的对称性得出图象与轴的另一个交点坐标为，结合图象找出图象在轴上方时对应的的取值范围即可得答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∵抛物线开口向下，， ∴． 故选：C． 6. 某校举办校运动会，杜老师作为本次运动会的负责人，准备去超市购买一些奖品，如图，杜老师从学校出发，需先经过广场，最终到达超市，若杜老师随机选择一条路线，则这条路线恰好是最短路线的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了概率公式，熟练掌握用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．学校到广场有①②两条路线，从广场到超市有③④⑤三条路线，根据题意用树状图列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可． 【详解】解： 根据题意画树状图如下： 可知共有6种路线，它们出现的可能性相同，最短路线只有一种， ∴这条路线恰好是最短路线的概率是． 故选：B． 7. 已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　） A. B. C. D. ，方程无实数解 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，整体思想的运用，熟练掌握整体思想的应用是关键． 通过变量替换，令，将新方程转化为原方程形式，利用已知解求解关于的方程． 【详解】令，则方程化为, ∵方程的解为，， ∴或， ∴或， 解得或 ∴新方程的解为， 故选：A． 8. 如图，在中，，将绕着点顺时针方向旋转到，经过点 ．若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，设，则，根据旋转可得对应角相等，对应边相等，利用等边对等角可证明，，利用三角形外角的性质可得，由此列出方程即可求解． 【详解】解：设，则， 由旋转可知：，，， 又， ， ， ， 点在线段上， ∴，即， 解得，即， 故选：B． 9. 如图，，分别是矩形边，上的两个点，连接，将矩形分为两个全等的四边形，，分别在两个四边形的内部作圆，两个圆与所在四边形的四条边都相切．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据切线长定理，得，设，则，设，则即，过点M作于点Q，则四边形是矩形，得到，根据勾股定理，得，解得，解答即可． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，切线长定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：如图，设与各边的切点依次为， 根据切线长定理，得， 故， ∴， ∵矩形分为两个全等的四边形，，且， ∴， 设，则，设， ∴， 故， 过点M作于点Q， 则四边形是矩形， ∴， ∴， 根据勾股定理，得， 解得 ∴， 故选：A． 10. 如图，菱形中，，分别是，的中点，是边上的动点，，交于点，连接，，设，，则与的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线间的距离、三角形的中位线定理．连接，则的面积是定值，由，分别是，的中点，得到，根据平行线间的距离处处相等可得到的底和底边上的高都是定值，即可求解． 【详解】解：如图，连接，则的面积是定值． ，分别是，的中点， ， 的底和底边上的高都是定值， 四边形的面积是定值， 与的函数图象是平行于轴的线段． 故选：． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 若是方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，关键是利用韦达定理得到两根之和与两根之积，再对所求代数式进行变形代入计算． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴根据韦达定理，得，； 将变形为，代入得； 故答案为：． 12. 学校团委在“五四”青年节举行“校园之星”颁奖活动中，九（1）班决定从甲、乙、丙、丁四人中随机派两名代表参加此活动，则所选两名代表恰好是甲和乙的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法，熟练掌握概率公式是解题的关键．列表得出所有等可能的情况数，找出所选两名代表恰好是甲和乙的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】解：列表得： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 所有等可能的情况有种，其中所选两名代表恰好是甲和乙的情况有种， 则． 故答案为：． 13. 矩形中，，．现将矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，点E恰好落在直线上，如图所示．则此时线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，灵活运用旋转的性质是本题的关键．由矩形的性质可得，，由旋转的性质可得，由勾股定理可求的长，再求出即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，点，分别在边，上，且，过，，三点的圆交边于点，两点，则线段的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理和三角形的等面积法，熟练掌握圆周角定理、垂径定理、勾股定理和三角形的等面积法是解决问题的关键． 过点作于点，连接，，根据垂径定理和勾股定理推出最小时，取最大值，过点作于点，根据勾股定理求出的值，再由三角形的等面积法求出，根据，求出的最小值，最后根据勾股定理求出，即可求出的值． 【详解】解：过点作于点，连接， ∵， ∴为的直径， ∵ ∴， 在中，，故最小时，取得最大值， ∵， ∴， ∴最大时，取得最大值， 过点作于点， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 由图可知，， ∴， ∴点在上时，最小，最小值， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 15. 已知二次函数的图像如图所示，它与x轴的两个交点的坐标分别为，．对于下列结论：①；②当时，；③当时，；④对任意实数m，不等式恒成立；⑤．其中正确的结论有________个． 【答案】①③④⑤ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系、二次函数的性质等知识点，从函数图像获取信息是解题的关键． 首先根据对称轴公式结合a的取值可判定出，根据a、b、c的正负即可判断出①的正误；由图像可知：当时，，即可判断出②的正误；根据二次函数的性质即可判断出③的正误；先求出该抛物线的最值，然后与抛物线上横坐标为m的点的纵坐标比较即可解答，即可判断④；根据抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为结合对称轴即可判断⑤． 【详解】解：根据函数图像可知：抛物线开口向上，则，抛物线与y轴交于负半轴，则， ∵抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为，， ∴对称轴：， ∴， ∴，即①正确； 由函数图像可知：当时，，即②错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴，即③正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为， ∴该函数的最小值为：， ∵对任意实数m， ∴， ∴，即不等式恒成立；即④正确； 由可得， 由二次函数与x轴的一个交点的坐标为， ∴， ∴，即，故⑤正确． 故答案为：①③④⑤． 三、解答题（共9题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，灵活运用配方法是解题的关键．先将方程化为标准形式，再通过配方把左边写成完全平方形式，进而得到，最后开方求解即可． 【详解】解： ， 17. 如图，在平面直角坐标系中，，． （1）作出与关于原点对称的图形； （2）作出绕原点逆时针旋转后的，并写出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）图见解析；的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了作中心对称图形，作旋转图形，写出点的坐标； （1）根据中心对称的性质，画出关于原点对称的图形； （2）根据旋转的性质，画出绕原点逆时针旋转后的，进而根据坐标系写出点的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求；的坐标为 18. 已知二次函数，其顶点为，且图象经过． （1）求a，b，c的值： （2）若将该抛物线向上或者向下平移，使平移后的图象经过原点，求平移后的抛物线函数表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数图象的平移，掌握待定系数法，二次函数图象平移规律是关键． （1）根据题意，得到对称轴直线为，再把点代入计算即可求解； （2）根据（1）得到抛物线解析式，结合平移规律即可求解． 【小问1详解】 解：已知二次函数，其顶点为，且图象经过， ∴，则， ， 解得，； 【小问2详解】 解：由（1）得，抛物线解析式为， ∵平移后，图象经过原点， ∴将抛物线向下平移3个单位得到，． 19. 如图，为的直径，点C在上，延长到D，连接并延长，与交于点E，连接、，使得． （1）求证：． （2）若，弧的长为，连接，求扇形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，弧长的计算，圆周角定理，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系，弧长、扇形面积计算公式是解题的关键． （1）得到，结合已知条件得到为等腰三角形，同时根据直径所对的圆周角是直角，得到是等腰三角形底边的高，在根据等腰三角形三线合一证得； （2）根据弧长公式计算得到圆心角的度数，利用扇形面积公式计算得到扇形面积． 【小问1详解】 证明：所对应的圆周角为和， ， ， 为等腰三角形， 为的直径， ，即， 是等腰三角形底边的高， ； 【小问2详解】 解：连接，如图所示， 直径， 圆的半径， 设， ， ， ， ，即扇形的面积为． 20. 设置一个转盘，其盘面被分为若干个全等的扇形区域．用力转动转盘，转盘停止后，指针指向每个区域的可能性都相等（当指针指向两个区域的分界线时，规定为它指向的是其右边相邻区域） （1）如图1，如果转盘面被分成6个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色．用力转动转盘，当转盘停止后，求指针指向灰色区域的可能性大小； （2）请你在图2中画一个转盘，用力转动转盘，当转盘停止后，使得指针指向阴影区域的可能性大小是． 【答案】（1） （2）图见解析 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，以及概率公式，理解题意是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）结合几何概率定义，以及指针指向阴影区域的可能性大小是，将转盘面分成8个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色，即可解题． 【小问1详解】 解：根据题意，共有6块全等的扇形区域，其中3块是灰色，则指针指向灰色区域的可能性大小是； 【小问2详解】 解：如图，所画转盘即所求： 将转盘面分成8个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色，此时指针指向阴影区域的可能性大小是． 21. 如图，将绕点逆时针旋转得到． （1）如图1，当点的对应点恰好落在上时，若，求的长； （2）如图2，，若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转性质，平行线的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用这些性质和定理进行线段长度和角度的计算． （1）根据旋转性质得到，，再通过线段的和差关系求； （2）先利用三角形内角和求出，再根据平行线性质和旋转性质求出． 【小问1详解】 解：∵将绕点逆时针旋转得到， ， ， 故的长为：4； 【小问2详解】 解：∵， ， ∵将绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ． 的度数为． 22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某商场准备购进甲，乙两种头盔进行销售，用元购进甲种头盔，用元购进乙种头盔，乙种头盔的购进单价是甲种头盔购进单价的1.2倍，乙种头盔的购进数量比甲种头盔的购进数量少40个． （1）求购进甲，乙两种头盔的单价分别是多少元？ （2）调查甲种头盔的销售情况后发现，当售价为元/个时，月销售量为个．商场决定对甲种头盔适当提价，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个．为使甲种头盔的月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则甲种头盔的售价应上涨多少元/个？ 【答案】（1）购进甲种头盔的单价是30元，乙种头盔的单价是36元 （2）甲种头盔的售价应上涨10元/个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设购进甲种头盔的单价是元，则购进乙种头盔的单价是元，根据乙种头盔的购进数量比甲种头盔的购进数量少40个建立方程，解方程即可得； （2）设甲种头盔售价应上涨元/个，根据月销售利润（售价进价）月销售量建立方程，解方程可得的值，再根据尽可能让顾客得到实惠解答即可得． 【小问1详解】 解：设购进甲种头盔的单价是元，则购进乙种头盔的单价是元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， 则， 答：购进甲种头盔的单价是30元，乙种头盔的单价是36元． 【小问2详解】 解：设甲种头盔的售价应上涨元/个， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：甲种头盔的售价应上涨10元/个． 23. 某二级火箭的第一级运行路径形如抛物线的一部分，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．学校科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级引发点的高度为， ①求a，b值； ②火箭在运行过程中，当某个位置的高度比火箭运行的最高点低时，直接写出这个位置与火箭第二级引发点之间的距离． （2）当a的值满足什么条件时，火箭落地点与发射点之间的水平距离超过． 【答案】（1）①；②或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图像和性质，一次函数的图像与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图像与性质是解题的关键． （1）①将代入抛物线和直线解析式并求解即可；②首先确定抛物线的顶点坐标，得出比火箭运行的最高点低的高度为，进而求得当时，对应的x的值，然后进行计算即可； （2）若火箭落地点与发射点的水平距离为，求得，即可获得答案． 【小问1详解】 解：①∵火箭第二级的引发点的高度为， ∴抛物线和直线均经过点， ∴和直线， 解得； ②由①知，，， ∴， ∴火箭运行的最高点高度为， 当时，则有， 解得， 又∵时，， ∴将代入直线， 可得，解得， ∴火箭在运行过程中高度比火箭运行的最高点低的两个位置分别为， ∵，， ∴这个位置与火箭第二级引发点之间的距离为或； 【小问2详解】 解：当火箭落地点与发射点之间的水平距离超过时，火箭第二级的引发点为， 将，代入， 得，解得， ∴． 24. 【问题提出】 （1）如图①，点均在上，若，则锐角的度数为___________； 【问题探究】 （2）小聪遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点在上（不与点重合），连接．求证：． 小聪发现，延长至点，使，连接，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分析思路完成证明过程； 【问题解决】 （3）如图③是一个圆形的城市广场，广场边缘分布着四个休息亭，四边形内接于，且是连接休息亭之间的步道，若，求步道的长度． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质等，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据圆周角定理解答； （2）延长至点E，使，连接，再根据“边角边”证明，可得是等边三角形，则此题可证； （3）延长至点E，使，连接，先证明，由全等三角形的性质可得，，再证明，然后根据勾股定理即可求出解． 【详解】解：（1）∵，且是所对的圆心角，是所对的圆周角， ∴． 故答案为：； （2）如图，延长至点E，使，连接， ∵是等边三角形， ∴． ∵是的外角， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （3）延长至点E，使，连接， ∵是的外角， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． 根据勾股定理，得， 即， ∴ ∵ ∴步道的长度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省A20联盟期末质量检测 数学试题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共6页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并收回． 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共10小题，每题3分，满分30分. 在每题给的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 年月日，汇聚了全球个知名汽车品牌第二十一届中国（长沙）国际汽车博览会在长沙国际会展中心拉开帷幕，中国新能源汽车智能化发展进入全面加速期，各大车企以高阶智能技术抢占市场，并开始竞逐低空智慧交通新赛道．以下是款国产新能源汽车标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 若圆内接正多边形的一个中心角是，则这个正多边形的边数是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 3. 已知是方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 0 4. 如图，四边形内接于，点在延长线上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 6. 某校举办校运动会，杜老师作为本次运动会的负责人，准备去超市购买一些奖品，如图，杜老师从学校出发，需先经过广场，最终到达超市，若杜老师随机选择一条路线，则这条路线恰好是最短路线的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　） A. B. C. D. ，方程无实数解 8. 如图，在中，，将绕着点顺时针方向旋转到，经过点 ．若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 9. 如图，，分别是矩形边，上的两个点，连接，将矩形分为两个全等的四边形，，分别在两个四边形的内部作圆，两个圆与所在四边形的四条边都相切．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，菱形中，，分别是，的中点，是边上的动点，，交于点，连接，，设，，则与的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 若是方程的两个实数根，则的值为_____． 12. 学校团委在“五四”青年节举行“校园之星”颁奖活动中，九（1）班决定从甲、乙、丙、丁四人中随机派两名代表参加此活动，则所选两名代表恰好是甲和乙概率是_____． 13. 矩形中，，．现将矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，点E恰好落在直线上，如图所示．则此时线段的长为______． 14. 如图，在中，，，，点，分别在边，上，且，过，，三点的圆交边于点，两点，则线段的最大值是______． 15. 已知二次函数的图像如图所示，它与x轴的两个交点的坐标分别为，．对于下列结论：①；②当时，；③当时，；④对任意实数m，不等式恒成立；⑤．其中正确的结论有________个． 三、解答题（共9题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，，． （1）作出与关于原点对称的图形； （2）作出绕原点逆时针旋转后的，并写出点的坐标． 18. 已知二次函数，其顶点为，且图象经过． （1）求a，b，c的值： （2）若将该抛物线向上或者向下平移，使平移后的图象经过原点，求平移后的抛物线函数表达式． 19. 如图，为的直径，点C在上，延长到D，连接并延长，与交于点E，连接、，使得． （1）求证：． （2）若，弧长为，连接，求扇形的面积． 20. 设置一个转盘，其盘面被分为若干个全等的扇形区域．用力转动转盘，转盘停止后，指针指向每个区域的可能性都相等（当指针指向两个区域的分界线时，规定为它指向的是其右边相邻区域） （1）如图1，如果转盘面被分成6个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色．用力转动转盘，当转盘停止后，求指针指向灰色区域的可能性大小； （2）请你在图2中画一个转盘，用力转动转盘，当转盘停止后，使得指针指向阴影区域的可能性大小是． 21. 如图，将绕点逆时针旋转得到． （1）如图1，当点的对应点恰好落在上时，若，求的长； （2）如图2，，若，求的度数． 22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某商场准备购进甲，乙两种头盔进行销售，用元购进甲种头盔，用元购进乙种头盔，乙种头盔的购进单价是甲种头盔购进单价的1.2倍，乙种头盔的购进数量比甲种头盔的购进数量少40个． （1）求购进甲，乙两种头盔的单价分别是多少元？ （2）调查甲种头盔的销售情况后发现，当售价为元/个时，月销售量为个．商场决定对甲种头盔适当提价，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个．为使甲种头盔的月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则甲种头盔的售价应上涨多少元/个？ 23. 某二级火箭的第一级运行路径形如抛物线的一部分，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．学校科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为， ①求a，b的值； ②火箭在运行过程中，当某个位置的高度比火箭运行的最高点低时，直接写出这个位置与火箭第二级引发点之间的距离． （2）当a的值满足什么条件时，火箭落地点与发射点之间的水平距离超过． 24. 问题提出】 （1）如图①，点均在上，若，则锐角的度数为___________； 【问题探究】 （2）小聪遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点在上（不与点重合），连接．求证：． 小聪发现，延长至点，使，连接，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分析思路完成证明过程； 【问题解决】 （3）如图③是一个圆形的城市广场，广场边缘分布着四个休息亭，四边形内接于，且是连接休息亭之间的步道，若，求步道的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $