江苏省淮安市多校2026届高三上学期12月联考数学试卷

淮安市多校2026届高三上学期12月联考 数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知幂函数在上单调递增,则m的值为( ) A.1 B. C. D.1或 2．已知向量，，若，则( ) A. B.5 C. D.8 3．设集合，，则( ) A. B. C. D. 4．已知函数函数,则下列结论正确的是( ) A.若,则恰有2个零点 B.若恰有2个零点,则a的取值范围是 C.若恰有3个零点,则a的取值范围是 D.若,则恰有4个零点 5．已知正三棱台的体积为，，，则与平面所成角的正切值为( ) A.1 B. C. D.2 6．已知为锐角,,则( ) A. B. C. D. 7．现计划将某山体的一面绿化,自山顶向山底栽种10排塔松,第1排栽种6棵,第2排比第1排多栽种2棵,第3排比第2排多栽种4棵,···,第n排比第排多栽种棵且,则第10排栽种塔松的棵数为( ) A.90棵 B.92棵 C.94棵 D.96棵 8．设函数的定义域为R,为奇函数,为偶函数,当时,,若,则在内所有的零点之和为( ) A.16 B.12 C.8 D.4 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9．设函数，则下列说法正确的有( ) A.函数有三个零点 B.是的极小值点 C.函数的对称中心为 D.过可以作三条直线与的图象相切 10．已知与函数的周期相同,则下列说法正确的是( ) A.在区间上单调递减 B.在区间内只有1个极值点 C.直线是曲线的对称轴 D.直线是曲线的切线 11．如图，已知正方体的棱长为2，M是的中点，N为正方形所在平面内一动点，则下列结论正确的是( ) A.若N到直线与直线的距离相等，则N的轨迹为抛物线 B.若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为 C.若直线与平面所成的角为，则N的轨迹为椭圆 D.若直线与直线所成的角为，则N的轨迹为双曲线 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．能够说明“设a，b，c是任意实数.若，则”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为___________. 13．已知偶函数的定义域为R,且当时,,当,___________________. 14．已知,分别是椭圆的左､右焦点,点P在椭圆上运动,当的值最小时,的内切圆的半径为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15．（13分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且的面积为. (1)求的值； (2)若，求边上的高. 16．（15分）已知数列,是数列的前n项和,已知对于任意,都有,数列是等差数列,,. （1）求与的通项公式; （2）数列的前n项和,求及的最小值和最大值; （3）设,求. 17．（15分）已知a,,, （1）当时,讨论的单调性; （2）设,若在上有极值,求b的取值范围并证明此极值小于b. 18．（17分）如图,在三棱柱中,平面ABC,D,E,F,G分别为,AC,,的中点,,. （1）求证:平面BEF; （2）求二面角的余弦值; （3）证明:直线FG与平面BCD相交. 19．（17分）已知函数，其中，e为自然对数的底数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，证明：对于任意的，都有； (3)若函数存在极小值点，且，求a的取值范围. 淮安市多校2026届高三上学期12月联考 数学答案 1．答案：A 2．答案：C 3．答案：A 4．答案：D 5．答案：B 6．答案：B 7．答案：D 8．答案：A 9．答案：BCD 10．答案：ABD 11．答案：ABD 12．答案：，，（答案不唯一） 13．答案： 14．答案：/ 15．答案：(1) (2) 解析：（1）因为，，所以， 又的面积， 所以，所以. （2）由正弦定理得， 则，所以， 由余弦定理，， 解得，即， 又的面积， 解得，即边上的高为. 16．答案：（1）, （2）,最小值为,最大值为 （3） 解析：（1）由,则, 故,即, 当时,,则, 故数列是以为首项,为公比的等比数列,故; ,则数列的公差为,故; （2）, 则, 当n为偶数时,,随n的增大而增大, 当n为奇数时,,随n的增大而减小, 故当时,有最小值, 当时,有最大值; （3）由, 则 , 则, 则, 故 , 则. 17．答案：（1）答案见解析 （2）,证明见解析 解析：（1）由题意知的定义域为, 当时,, 当时,,则在上单调递减, 当时,由,解得;由,解得. 即在上单调递减,在上单调递增. 综上所述,当时,在上单调递减; 当时,在上单调递减,在上单调递增. （2）由题意得,所以的定义域为, 在上有极值等价于在上有变号零点. 令,即在上有变号零点. 当时,显然在上恒成立,无变号零点,不满足题意; 当时,在上恒成立,所以在上单调递增, 令,解得,此时在上有唯一零点. 在上单调递增, 当时,,即;当时,,即, 故在上单调递减;在上单调递增, 故是的极小值点. 方法一: 由上分析,,,,即极小值小于b. 方法二: 因, 由,可得,则, 令,显然在上单调递减, 则,即,故,即极小值小于b. 18．答案：（1）证明见解析; （2）; （3）证明见解析. 解析：（1）在三棱柱中, 平面ABC,四边形为矩形. 又E,F分别为AC,的中点,. ,E为AC的中点,,而, 平面BEF. （2）［方法一］:【通性通法】向量法 由（1）知,,.又平面ABC,平面ABC. 平面ABC,. 如图建立空间直角坐称系. 由题意得. , 设平面BCD的法向量为, ,, 令,则,, 平面BCD的一个法向量, 又平面的一个法向量为. 由图可得二面角为钝角,所以二面角的余弦值为. ［方法二］:【最优解】转化＋面积射影法 考虑到二面角与二面角互补,设二面角为,易知,,所以. 故. ［方法三］:转化＋三垂线法 二面角与二面角互补,并设二面角为,易知平面. 如图3,作,垂足为H,联结.则是二面角的平面角,所以,不难求出,所以二面角的余弦值为. （3）［方法一］:【最优解】【通性通法】向量法 平面BCD的一个法向量为,, ,,与不垂直, GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内,GF与平面BCD相交. ［方法二］:几何转化 如图4,取的中点,分别在取点N,M,使.联结.则平面平面,又平面,平面,故直线与平面相交. ［方法三］:根据相交的平面定义 如图5,设与交于P,联结. 因为,且,所以B,E,F,四点共面. 因为,所以. 又,所以四边形是梯形,即直线与直线一定相交. 因为平面,所以直线与平面相交. 19．答案：(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2)证明见解析 (3) 解析：（1）当时，，，则， 设，，则， 所以在单调递增，又， 可知时，，时，， 所以的单调递增区间为，的单调递减区间为. （2）当时，， 设 ，，则， 设，，则， 所以在上单调递增，又，则， 所以在上单调递增，则， 即对于任意的，都有. （3）由，，则， 设，，可知在上单调递增， 因为函数存在极小值点，所以在存在零点， 即，， 此时， 即，设，，且， 当时，，，则； 当时，，，则， 可得，则，此时， 则a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $