解答题规范练2-【金版教程】2026年高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word

大二轮专题复习冲刺方案　数学《拆卷练》 1．(2025·福建南平三模)记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝b，csin＝asinC. (1)证明：△ABC为等边三角形； (2)点B，D分别在直线AC两侧，且AD＝，DC＝3，∠ADC＝，求四边形ABCD的面积． 解：(1)证明：由正弦定理，得 sinCsin＝sinAsinC， 又C∈(0，π)，所以sinC≠0， 所以sin＝sinA， 因为a＝b，所以A＝B，所以B＋＋A＝π⇒A＝B＝⇒C＝，所以△ABC为等边三角形． (2)由余弦定理，得AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC＝3＋9－2××3×＝21，所以AC＝， 所以四边形ABCD的面积为S＝S△ACD＋S△ABC＝AD·DCsin∠ADC＋AC2＝××3×＋×()2＝6. 2．(2025·江西九江二模)甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和乙都投中的概率是，甲投中而丙未投中的概率是，乙投中而丙未投中的概率是. (1)请问三人中哪一位投篮水平较高？并说明理由； (2)现将投篮水平较低的两人组成一组(记为A组)，与投篮水平较高的人(记为B组)进行投篮比赛，甲、乙、丙各自独立投篮2次，且每次投篮的结果互不影响，投中次数较多的一组获胜，求B组获胜的概率． 解：(1)丙投篮水平较高．理由如下， 设甲、乙、丙三人各自独立投篮投中的概率分别为p1，p2，p3，依题意，得 解得 因为p1＝p2<p3，所以丙投篮水平较高． (2)记A组投中次数为X1，B组投中次数为X2， 由(1)知X1～B，X2～B， 若B组获胜，则X1＝0，X2＝1或X1＝0，X2＝2或X1＝1，X2＝2， 所以P(X1＝0，X2＝1)＝C×C＝， P(X1＝0，X2＝2)＝C×C＝， P(X1＝1，X2＝2)＝C×C＝. 故B组获胜的概率为P＝P(X1＝0，X2＝1)＋P(X1＝0，X2＝2)＋P(X1＝1，X2＝2)＝＋＋＝. 3．(2025·辽宁辽南协作体三模)如图，四棱锥P－ABCD中，AB＝AD＝2BC＝2，BC∥AD，AB⊥AD. (1)当△PBD为正三角形时， ①若PA＝2，证明：直线AB⊥平面PBC； ②若A，B，D，P四点在以为半径的球面上，则四棱锥P－ABCD的体积是多少？ (2)当△PBD为等腰直角三角形，且PD＝PB时，求二面角B－PD－C的余弦值的最小值． 解：(1)①证明：因为AB⊥AD，且AB＝AD＝2，所以BD＝4， 又△PBD为正三角形，所以PB＝PD＝BD＝4， 因为AB＝2，PA＝2，所以PA2＝AB2＋PB2，所以AB⊥PB. 因为AB⊥AD，BC∥AD，所以AB⊥BC， 又PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，所以直线AB⊥平面PBC. ②延长BC至E，使得CE＝BC＝，所以BE＝AD，连接DE，又BC∥AD，AB⊥AD，可知四边形ABED为正方形， 连接AE交BD于点O，过点O作Oz⊥平面ABED， 以O为坐标原点，OE，OD，Oz所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． 因为A，B，D，P四点在以为半径的球面上，由球的性质可知球心M在z轴上，设点M的坐标为(0，0，t)， 所以()2＝t2＋OA2＝t2＋22，解得t＝，即M(0，0，)． 又△PBD为正三角形，连接OP，可知OP⊥BO， 又BO⊥AO，AO∩PO＝O，AO，PO⊂平面AOP， 所以BO⊥平面AOP，所以点P在坐标平面Ozx内，设点P的坐标为(m，0，n)，又B(0，－2，0)， 则MP＝＝， BP＝＝4， 解得n＝2， 所以四棱锥P－ABCD的高h＝2， 直角梯形ABCD的面积S＝(AD＋BC)·AB＝×(2＋)×2＝6， 所以四棱锥P－ABCD的体积V＝Sh＝×6×2＝4. (2)因为△PBD为等腰直角三角形，且PD＝PB，连接OP，则OP＝2. 建系方法如(1)②，则B(0，－2，0)，C(1，－1，0)，D(0，2，0)， 设P(2cosθ，0，2sinθ)，θ∈(0，π)，＝(0，4，0)，＝(－1，3，0)，＝(－2cosθ，2，－2sinθ)，设平面BPD的法向量为n1＝(a，b，c)， 则 令a＝sinθ，则b＝0，c＝－cosθ， 所以n1＝(sinθ，0，－cosθ)． 设平面PDC的法向量为n2＝(x，y，z)，则 令y＝sinθ，则x＝3sinθ，z＝1－3cosθ， 所以n2＝(3sinθ，sinθ，1－3cosθ)． cos〈n1，n2〉＝ ＝ ＝ . 令u＝3－cosθ，则u∈(2，4)，∈， 所以cos〈n1，n2〉＝ ＝＝ ≥＝. 当且仅当＝，即u＝时，等号成立， 所以二面角B－PD－C的余弦值的最小值为. 4．(2025·山东聊城一模)已知函数f(x)＝x2－2ax＋ln x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个不同的极值点x1，x2，且f(x1)＋f(x2)≥2ln －6a＋3，求实数a的取值范围． 解：(1)f(x)＝x2－2ax＋ln x的定义域为(0，＋∞)， 则f′(x)＝x－2a＋＝. 令g(x)＝x2－2ax＋1，其判别式Δ＝(－2a)2－4×1×1＝4a2－4＝4(a2－1)． 当Δ≤0，即－1≤a≤1时，g(x)＝x2－2ax＋1≥0， 因为x>0，所以f′(x)≥0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 当Δ>0，即a>1或a<－1时，g(x)＝0的两根为x1＝a－，x2＝a＋，x1x2＝1(根同号)，x1＋x2＝2a. 因为x>0，当a<－1时，x1＋x2＝2a<0，则x1＝a－<0，x2＝a＋<0，此时g(x)>0，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 当a>1时，x1＋x2＝2a>0，则x1＝a－>0，x2＝a＋>0，且x2>x1， 此时在(0，a－)和(a＋，＋∞)上，g(x)>0，f′(x)>0，f(x)单调递增； 在(a－，a＋)上，g(x)<0，f′(x)<0，f(x)单调递减． 综上所得，当a≤1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>1时，f(x)在(0，a－)和(a＋，＋∞)上单调递增，在(a－，a＋)上单调递减． (2)由(1)可知，当a>1时，f(x)有两个不同的极值点x1，x2，且x1＋x2＝2a，x1x2＝1. f(x1)＋f(x2) ＝x－2ax1＋ln x1＋x－2ax2＋ln x2 ＝(x＋x)－2a(x1＋x2)＋ln (x1x2) ＝[(x1＋x2)2－2x1x2]－2a(x1＋x2)＋ln (x1x2) ＝(4a2－2)－4a2＋ln 1＝－2a2－1. 由f(x1)＋f(x2)≥2ln －6a＋3，即－2a2－1≥2ln －6a＋3，可得2a2－6a＋4＋2ln ≤0，即a2－3a＋2＋ln ≤0. 令h(a)＝a2－3a＋2＋ln ， 则h′(a)＝2a－3＋＝. 因为a>1，所以h′(a)>0，h(a)在(1，＋∞)上单调递增． 又h(2)＝22－3×2＋2＋ln ＝0， 所以h(a)≤0的解集为(1，2]， 即实数a的取值范围是(1，2]． 5 学科网（北京）股份有限公司 $