第一编 第2讲 “多想少算”理念下的选填题解题方法-【金版教程】2026年高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word

第2讲　“多想少算”理念下的选填题解题方法

解选择题、填空题时对于简单的题目可以通过推理计算直接得到答案，而对于较难、较复杂的题目不能“小题大做”，一味地依赖计算，而是要灵活运用各种方法小题巧做．常用的方法有排除法、特例法、图解法、估算法等等，下面我们借助近几年的高考真题进行讲解．

方法1　根据选项　检验排除

选项即条件，采用简捷有效的手段对各个选项进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得唯一正确的结论．

例1 (2020·新高考Ⅰ卷，8)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　)

A．[－1，1]∪[3，＋∞)

B．[－3，－1]∪[0，1]

C．[－1，0]∪[1，＋∞)

D．[－1，0]∪[1，3]

答案：D

解析：因为定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，所以f(x)在(0，＋∞)上也单调递减，又f(2)＝0，所以当x→＋∞时，xf(x－1)≥0一定不会成立，故排除A，C；再观察B，D，可验证当x＝3时是否成立，3f(2)＝0，满足题意．故选D.

　排除法的适用情况

排除法适用于直接法解决很困难或者计算较复杂的情况：

(1)当题目中的条件不唯一时，先根据某些条件找出明显与之矛盾的选项予以否定．

(2)再根据另一些条件在缩小的范围内找出矛盾，这样逐步排除，直至得到正确的选项．

1．(2025·河南鹤壁模拟)函数y＝f(x)的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为(　　)

A．y＝f   B．y＝－f

C．y＝f(4－2x)   D．y＝－f(4－2x)

答案：A

解析：由题图①知，f(1)＝0，且当x>1时，f(x)>0，由题图②知，图象过点(0，0)，且当x<0时，y>0.对于A，当x＝0时，y＝f(1)＝0，而当x<0时，1－x>1，则f>0，A可能；对于B，当x＝0时，y＝－f(1)＝0，而当x<0时，1－x>1，则－f<0，B不可能；对于C，当x＝0时，y＝f(4)>0，C不可能；对于D，当x＝0时，y＝－f(4)<0，D不可能．故选A.

2．若函数f(x)＝在区间(－1，2)上单调递增，则a的取值范围是(　　)

A．[0，6]   B．[－2，0]

C．[6，＋∞)   D．(－∞，0]

答案：C

解析：结合选项可知，当a＝0时，f(x)＝，因为y＝在定义域R上单调递减，y＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1在区间(－1，2)上单调递增，所以f(x)＝在区间(－1，2)上单调递减，故a＝0不符合题意，排除A，B，D.故选C.

方法2　特殊设置　具体求解

从题干(或选项)出发，通过选取构造特殊情况代入，将问题特殊化，再进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，但要注意使用条件，特殊情况可能是特殊值、特殊函数、特殊点、特殊位置、特殊图形等．

例2　(1)(2024·新课标Ⅰ卷，4)已知cos(α＋β)＝m，tanαtanβ＝2，则cos(α－β)＝(　　)

A．－3m   B．－ 

C．   D．3m

答案：A

解析：若α＝，由tanαtanβ＝2，得tanβ＝2，即sinβ＝2cosβ，则cos(α＋β)＝(cosβ－sinβ)＝－cosβ，cos(α－β)＝(cosβ＋sinβ)＝cosβ＝－3cos(α＋β)＝－3m.故选A.

(2)(2022·新高考Ⅱ卷，8)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则f(k)＝(　　)

A．－3   B．－2

C．0   D．1

答案：A

解析：令x＝1，y＝0，得2f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2.由f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，联想到余弦函数和差化积公式cos(x＋y)＋cos(x－y)＝2cosxcosy，可设f(x)＝acosωx，则由f(0)＝2，f(1)＝1，知a＝2，acosω＝1，解得cosω＝，取ω＝，所以f(x)＝2cosx，则f(x＋y)＋f(x－y)＝2cos＋2cos＝4cosxcosy＝f(x)f(y)，所以f(x)＝2cosx符合条件，因此f(x)的周期T＝＝6，又f(1)＝1，f(2)＝－1，f(3)＝－2，f(4)＝－1，f(5)＝1，f(6)＝2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0，由于22除以6余4，所以f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3.故选A.

(3)(2023·新课标Ⅰ卷，16)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝－，则C的离心率为________．

答案：

解析：依题意，设|AF2|＝2m，则|BF2|＝3m＝|BF1|，|AF1|＝2a＋2m，在Rt△ABF1中，9m2＋(2a＋2m)2＝25m2，则(a＋3m)(a－m)＝0，故a＝m或a＝－3m(舍去)，所以|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，