第一编 第2讲 “多想少算”理念下的选填题解题方法-【金版教程】2026年高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word

大二轮专题复习冲刺方案　数学 第2讲　“多想少算”理念下的选填题解题方法 解选择题、填空题时对于简单的题目可以通过推理计算直接得到答案，而对于较难、较复杂的题目不能“小题大做”，一味地依赖计算，而是要灵活运用各种方法小题巧做．常用的方法有排除法、特例法、图解法、估算法等等，下面我们借助近几年的高考真题进行讲解． 方法1　根据选项　检验排除 选项即条件，采用简捷有效的手段对各个选项进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得唯一正确的结论． 例1 (2020·新高考Ⅰ卷，8)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　) A．[－1，1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0，1] C．[－1，0]∪[1，＋∞) D．[－1，0]∪[1，3] 答案：D 解析：因为定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，所以f(x)在(0，＋∞)上也单调递减，又f(2)＝0，所以当x→＋∞时，xf(x－1)≥0一定不会成立，故排除A，C；再观察B，D，可验证当x＝3时是否成立，3f(2)＝0，满足题意．故选D. 　排除法的适用情况 排除法适用于直接法解决很困难或者计算较复杂的情况： (1)当题目中的条件不唯一时，先根据某些条件找出明显与之矛盾的选项予以否定． (2)再根据另一些条件在缩小的范围内找出矛盾，这样逐步排除，直至得到正确的选项． 1．(2025·河南鹤壁模拟)函数y＝f(x)的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为(　　) A．y＝f B．y＝－f C．y＝f(4－2x) D．y＝－f(4－2x) 答案：A 解析：由题图①知，f(1)＝0，且当x>1时，f(x)>0，由题图②知，图象过点(0，0)，且当x<0时，y>0.对于A，当x＝0时，y＝f(1)＝0，而当x<0时，1－x>1，则f>0，A可能；对于B，当x＝0时，y＝－f(1)＝0，而当x<0时，1－x>1，则－f<0，B不可能；对于C，当x＝0时，y＝f(4)>0，C不可能；对于D，当x＝0时，y＝－f(4)<0，D不可能．故选A. 2．若函数f(x)＝在区间(－1，2)上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．[0，6] B．[－2，0] C．[6，＋∞) D．(－∞，0] 答案：C 解析：结合选项可知，当a＝0时，f(x)＝，因为y＝在定义域R上单调递减，y＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1在区间(－1，2)上单调递增，所以f(x)＝在区间(－1，2)上单调递减，故a＝0不符合题意，排除A，B，D.故选C. 方法2　特殊设置　具体求解 从题干(或选项)出发，通过选取构造特殊情况代入，将问题特殊化，再进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，但要注意使用条件，特殊情况可能是特殊值、特殊函数、特殊点、特殊位置、特殊图形等． 例2　(1)(2024·新课标Ⅰ卷，4)已知cos(α＋β)＝m，tanαtanβ＝2，则cos(α－β)＝(　　) A．－3m B．－ C． D．3m 答案：A 解析：若α＝，由tanαtanβ＝2，得tanβ＝2，即sinβ＝2cosβ，则cos(α＋β)＝(cosβ－sinβ)＝－cosβ，cos(α－β)＝(cosβ＋sinβ)＝cosβ＝－3cos(α＋β)＝－3m.故选A. (2)(2022·新高考Ⅱ卷，8)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则f(k)＝(　　) A．－3 B．－2 C．0 D．1 答案：A 解析：令x＝1，y＝0，得2f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2.由f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，联想到余弦函数和差化积公式cos(x＋y)＋cos(x－y)＝2cosxcosy，可设f(x)＝acosωx，则由f(0)＝2，f(1)＝1，知a＝2，acosω＝1，解得cosω＝，取ω＝，所以f(x)＝2cosx，则f(x＋y)＋f(x－y)＝2cos＋2cos＝4cosxcosy＝f(x)f(y)，所以f(x)＝2cosx符合条件，因此f(x)的周期T＝＝6，又f(1)＝1，f(2)＝－1，f(3)＝－2，f(4)＝－1，f(5)＝1，f(6)＝2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0，由于22除以6余4，所以f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3.故选A. (3)(2023·新课标Ⅰ卷，16)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝－，则C的离心率为________． 答案： 解析：依题意，设|AF2|＝2m，则|BF2|＝3m＝|BF1|，|AF1|＝2a＋2m，在Rt△ABF1中，9m2＋(2a＋2m)2＝25m2，则(a＋3m)(a－m)＝0，故a＝m或a＝－3m(舍去)，所以|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，|BF2|＝|BF1|＝3a，则|AB|＝5a，故cos∠F1AF2＝＝＝，所以在△AF1F2中，cos∠F1AF2＝＝，整理得5c2＝9a2，故e＝＝. 　使用特值、特例法的注意点 (1)取特例尽可能简单，有利于计算和推理． (2)若在取定的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解． 1．(2023·全国乙卷，10)已知等差数列{an}的公差为，集合S＝{cosan|n∈N*}，若S＝{a，b}，则ab＝(　　) A．－1 B．－ C．0 D． 答案：B 解析：取a1＝－，则cosa1＝，cosa2＝cos＝，cosa3＝cos＝－1，所以S＝，ab＝－.故选B. 2．已知定义在R上的奇函数f(x)单调递增，且g(x)＝|f(x)|，则不等式g(x)－g(2x－6)<0的解集为(　　) A．(2，6) B．(－6，－2) C．(－∞，2)∪(6，＋∞) D．(－∞，－6)∪(－2，＋∞) 答案：C 解析：令f(x)＝x，满足定义在R上的奇函数f(x)单调递增，则g(x)＝|x|，则求解不等式g(x)－g(2x－6)<0即为求解|x|－|2x－6|＜0，通过移项平方整理得x2－8x＋12＞0，解得x<2或x>6.故选C.(另外，整理到|x|－|2x－6|＜0，也可以采取代入法排除，观察四个选项，取x＝5，不成立，排除A，D；取x＝0可以排除B.故选C.) 3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为c2，则＋＝(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 答案：D 解析：根据所给条件，设△ABC为等腰直角三角形，且c2＝a2＋b2＝2a2，则S＝ab＝a2＝c2，满足题中条件，所以A＝B＝45°，则＋＝2.故选D. 4．已知二面角α－l－β的大小为60°，动点P，Q分别在平面α，β内，点P到平面β的距离为，点Q到平面α的距离为2，则P，Q两点之间距离的最小值为(　　) A. B．2 C．2 D．4 答案：C 解析：当点P，Q分别在二面角的一个平面角的两边时，P，Q之间的距离最小．设过点P的二面角的平面角为∠BAC＝60°，过点Q在平面β内作QQ1∥l交AC于Q1，则QQ1∥平面α，设点S1，S分别是点Q1，Q在平面α内的射影，则点Q到平面α的距离QS＝Q1S1＝2.如图，QQ1⊥平面BAC，连接PQ，PQ1，则QQ1⊥PQ1，所以PQ>PQ1(斜边大于直角边)．由∠BAC＝60°，Q1S1＝2，得AS1＝2，AQ1＝4.过点P作PR⊥AC于点R，则PR＝，AR＝1，AP＝2.因为AP＝AS1＝2，所以P与S1重合，所以PQ1＝Q1S1＝2，所以PQ≥PQ1＝2，当且仅当点Q与Q1重合时，等号成立．故选C. 方法3　数形结合　形象直观 对于一些含有几何背景的题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观解析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般较为明显． 例3 (1)(2021·新高考Ⅰ卷，7)若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则(　　) A．eb<a B．ea<b C．0<a<eb D．0<b<ea 答案：D 解析：画出函数y＝ex的图象如图所示，由图可判定点P(a，b)在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线．由此可知0<b<ea.故选D. (2)(2024·全国甲卷，12)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．2 答案：C 解析：因为b是a，c的等差中项，所以2b＝a＋c，c＝2b－a，代入直线方程ax＋by＋c＝0，得ax＋by＋2b－a＝0，即a(x－1)＋b(y＋2)＝0，令得故直线恒过点(1，－2)，设点P(1，－2)，将圆的方程化为标准方程，得C：x2＋(y＋2)2＝5，设圆心为C，画出直线与圆，由图可知，当PC⊥AB时，|AB|最小，此时|PC|＝1，|AC|＝，故|AB|＝2|AP|＝2＝2＝4.故选C. 　在解决问题时，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果． 1．已知函数f(x)＝ex＋x，g(x)＝log0.3x－x，h(x)＝x3＋x，它们的零点a，b，c的大小顺序为(　　) A．b>a>c B．b>c>a C．a>b>c D．a>c>b 答案：B 解析：f(x)＝ex＋x＝0⇒ex＝－x，g(x)＝log0.3x－x＝－logx－x＝0⇒logx＝－x，h(x)＝x3＋x＝0⇒x3＝－x，作出函数y＝ex，y＝logx，y＝x3的图象及直线y＝－x，由图象可得a<0，b>0，c＝0，所以b>c>a.故选B. 2．已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)>0的解集是________． 答案：(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析：因为f(x)＝2x－x－1，所以f(x)>0等价于2x>x＋1，在同一平面直角坐标系中，作出y＝2x和y＝x＋1的图象，如图，两函数图象的交点坐标为(0，1)，(1，2)，由图可知，当x<0或x>1时，2x>x＋1，所以不等式f(x)>0的解集是(－∞，0)∪(1，＋∞)． 3．已知a，b，c是平面向量，a与c是单位向量，且〈a，c〉＝，若b2－8b·c＋15＝0，则|a－b|的最小值为________． 答案：－1 解析：如图所示，设＝a，＝b，＝c，＝3c，＝5c，∵b2－8b·c＋15＝0且|a|＝|c|＝1，∴b2－8b·c＋15c2＝0，∴(b－3c)·(b－5c)＝0，∴(b－3c)⊥(b－5c)，∵b－3c＝，b－5c＝，∴点B在以F(0，4)为圆心，DE为直径的圆上．又a－b＝，∴当点B为圆F和线段FA的交点时，||＝|a－b|最短，∴|a－b|min＝－1＝－1. 方法4　合理估算　快速求解 由于单项选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程．因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次． 例4　(2022·新高考Ⅰ卷，4)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65)(　　) A．1.0×109 m3 B．1.2×109 m3 C．1.4×109 m3 D．1.6×109 m3 答案：C 解析：依题意，可知棱台的高为h＝157.5－148.5＝9(m)，棱台的上底面积为S＝140.0 km2＝140×106 m2，下底面积为S′＝180.0 km2＝180×106 m2，显然增加的水量V>V1＝140×106×9＝1.26×109 m3，V<V2＝180×106×9＝1.62×109 m3，接近＝＝1.44×109 m3.故选C. 　估算法的使用技巧 (1)估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法．可从题设条件估计大致范围、大致区间等，也可找端点、极限位置，从而达到求解的目的． (2)对于数值计算常采用放缩估算、整体估算、近似估算、特值估算等；对于几何体问题常进行分割、拼凑、位置估算． 1．用1，2，3，4，5这五个数组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有(　　) A．24个 B．30个 C．40个 D．60个 答案：A 解析：显然没有重复数字的三位数共有A＝60个，这60个三位数不是奇数，就是偶数．由于可作个位数的奇数有3个，比可作个位数的偶数(只有2个)多，则所求的偶数应少于×60＝30个．故选A. 2．设a＝(sin2)2，b＝2sin2，c＝log(sin2)，则(　　) A．b>c>a B．b>a>c C．a>b>c D．c>b>a 答案：B 解析：∵＝sin<sin2<sin＝1，∴<a<1，b>1，0＝log1<c<log<log＝，∴c<a<b.故选B. 3．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2.则此棱锥的体积是(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：易得△ABC的面积为，而三棱锥的高一定小于球的直径2，所以V<××2＝，观察选项可排除B，C，D.故选A. 方法5　多选题的解题策略 多选题考查的热点内容涉及函数、向量、不等式、概率统计、立体几何、圆锥曲线等，在做多选题时，适当地运用一些方法有时会使我们快速解决问题． 例5　(1)(多选)(2022·新高考Ⅱ卷，11)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB，记三棱锥E－ACD，F－ABC，F－ACE的体积分别为V1，V2，V3，则(　　) A．V3＝2V2 B．V3＝V1 C．V3＝V1＋V2 D．2V3＝3V1 答案：CD 解析：由已知易得V1＝2V2，图形可还原成正方体，如图，由此可知点D到平面EAC的距离为DG，FO綊DG，所以2V3＝3V1，所以V3＝3V2，V3＝V1＋V2.故选CD. (2)(多选)(2024·新课标Ⅰ卷，10)设函数f(x)＝(x－1)2(x－4)，则(　　) A．x＝3是f(x)的极小值点 B．当0<x<1时，f(x)<f(x2) C．当1<x<2时，－4<f(2x－1)<0 D．当－1<x<0时，f(2－x)>f(x) 答案：ACD 解析：对于A，因为函数f(x)的定义域为R，而f′(x)＝2(x－1)(x－4)＋(x－1)2＝3(x－1)(x－3)，易知当x∈(1，3)时，f′(x)<0，当x∈(－∞，1)或x∈(3，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，故x＝3是f(x)的极小值点，故A正确；对于B，当0<x<1时，因为x－x2＝x(1－x)>0，所以1>x>x2>0，而由A项分析可知，函数f(x)在(0，1)上单调递增，所以f(x)>f(x2)，故B错误；对于C，当1<x<2时，1<2x－1<3，而由A项分析可知，函数f(x)在(1，3)上单调递减，所以f(3)<f(2x－1)<f(1)，即－4<f(2x－1)<0，故C正确；对于D，当－1<x<0时，f(2－x)－f(x)＝(1－x)2(－2－x)－(x－1)2(x－4)＝(x－1)2(2－2x)＝2(1－x)3>0，所以f(2－x)>f(x)，故D正确．故选ACD. 　多选题的解题策略 (1)谨慎选择、宁缺毋滥．首先选出最有把握的一个或两个选项，若有足够把握确定还有其他正确选项时，才继续选择，否则不选． (2)关注选项之间的对立关系．当多选题的选项中存在一对内容互相对立的选项时，这两个选项不会同时正确，通常有一个是正确的． (3)关注选项之间的递进关系．在多选题中，如果两个或两个以上的选项之间存在递进关系，即多个选项能同时成立，那么这几个选项应一起被选出或排除． 1．(多选)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)是曲线y＝3x上两个不同的点，则(　　) A．>3 B．<3 C．log3> D．log3> 答案：ACD 解析：对于A，B，构造点N，M ，点M恒在点N的上方，则>3，即>3，故A正确，B错误； 对于C，构造＝2，则M，N，点M恒在点N的上方，则>3 ，两边取对数得log3>log33，即log3>，故C正确； 对于D，构造＝3，则M，N，点M恒在点N的上方，则>3，两边取对数得log3>log33，即log3>，故D正确．故选ACD. 2．(多选)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列说法正确的是(　　) A．焦点F到抛物线C的准线的距离为8 B．＋＝ C．若AB中点的横坐标为3，则|AF||BF|＝20 D．若2|BF|＝|AF|，则S△AOF＝4 答案：BCD 解析：抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2，0)，准线l：x＝－2，所以焦点F到抛物线C的准线的距离为4，A错误；易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y2－8my－16＝0，则y1＋y2＝8m，y1y2＝－16，所以x1x2＝·＝4，＋＝＋＝＝＝，B正确；由AB中点的横坐标为3，可得x1＋x2＝6，|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，又＋＝＝，所以|AF||BF|＝20，C正确；由＋＝，2|BF|＝|AF|，解得|AF|＝6，所以x1＋2＝6，所以x1＝4，又y＝8x1，解得y1＝±4，所以S△AOF＝×2×|±4|＝4，D正确．故选BCD. 3．(多选)已知数列{an}满足an＋1＝(an－1)(an－2)＋2，且a1＝3，数列的前n项和为Sn，则下列结论正确的是(　　) A．a4＝42 B．数列{an}递增 C．Sn＝1－ D．a2026>22025 答案：BCD 解析：在数列{an}中，an＋1＝(an－1)(an－2)＋2，且a1＝3.对于A，a2＝1×2＋2＝4，a3＝2×3＋2＝8，a4＝6×7＋2＝44≠42，A错误；对于B，由a1＝3，an＋1－2＝(an－1)(an－2)，得an≠2，an＋1－an＝(an－2)2>0，因此an＋1>an，数列{an}递增，B正确；对于C，＝＝－，则＝－，因此Sn＝－＋－＋…＋－＝－＝1－，C正确；对于D，由B项得an－2≥a1－2＝1，log2(an＋1－2)＝log2(an－1)＋log2(an－2)，则log2(an＋1－2)－log2(an－2)＝log2(an－1)≥1，当且仅当n＝1时，等号成立，于是log2(a2026－2)＝log2(a2026－2)－log2(a2025－2)＋log2(a2025－2)－log2(a2024－2)＋…＋log2(a2－2)－log2(a1－2)＋log2(a1－2)>2025，则a2026－2>22025，即a2026>22025＋2>22025，D正确．故选BCD. 13 学科网（北京）股份有限公司 $