第二编 专题3 第2讲 数列求和及不等式问题-【金版教程】2026年高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word

　　　　第2讲　数列求和及不等式问题

「考情研析」1.在历年的新课标卷中，均涉及数列的解答题，在新结构试卷中，数列的解答题可能作为轮考内容，主要考查等差(比)数列的判定，求数列的通项公式、前n项和公式，数列求和等内容，难度以中、低档题为主，也可能以创新题型作为压轴题．　2.注意对数列与不等式、函数的综合问题的考查，难度以中档题为主．

考向1　数列求和

角度1　分组转化法求和

例1　(1)(2025·吉林三模)已知等差数列{an}的公差d>0，且满足a1a5＝64，a3＝10，记Sn是数列{bn}的前n项和，且满足Sn＝2bn－1.

(ⅰ)求数列{an}的通项公式；

(ⅱ)令cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和Tn.

解：(ⅰ)由题意，得

解得或(舍去)，

∴an＝4＋(n－1)×3＝3n＋1.

(ⅱ)∵Sn＝2bn－1，①

当n＝1时，b1＝S1＝2b1－1，得b1＝1，

当n≥2时，Sn－1＝2bn－1－1，②

由①－②，得bn＝Sn－Sn－1＝(2bn－1)－(2bn－1－1)，

化简，得bn＝2bn－1，即＝2(n≥2)，

∴数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，

∴bn＝2n－1，∴cn＝an＋bn＝3n＋1＋2n－1，

∴Tn＝＋＝＋2n－1＝2n＋n2＋n－1.

(2)(2025·广东清远二模)已知数列{an}的首项为a1＝4，且满足an＋1＋an＝6×5n(n∈N*)．

①求证：数列{an－5n}是等比数列；

②求数列{an}的前n项和Sn.

解：①证明：∵数列{an}满足an＋1＋an＝6×5n，

即an＋1＝－an＋6×5n，

∴an＋1－5n＋1＝－(an－5n)，

即＝－1，

又a1＝4，∴a1－51＝－1，

∴数列{an－5n}是首项为－1，公比为－1的等比数列．

②由①，知an－5n＝－1×(－1)n－1＝(－1)n，

∴an＝(－1)n＋5n，

∴Sn＝51＋52＋…＋5n＋(－1)＋(－1)2＋…＋(－1)n，

当n为偶数时，可得Sn＝＋0＝×5n＋1－；

当n为奇数时，可得Sn＝－1＝×5n＋1－.

综上可得，Sn＝

1．等差数列、等比数列的判定方法

解答题中证明数列为等差(比)数列一般使用定义法．

2．分组转化法求和的常见类型

3．分类讨论思想在数列求和中的应用

当数列通项中含有(－1)n时，在求和时要注意分n为奇数与偶数讨论．

当数列通项中含有(－1)n时，也可以采用并项求和的方法．

1．(2025·湖北黄冈教育共同体二模)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，a2＝2，当n≥2时，Sn＋1＋2Sn－1＝3Sn.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足b1＝3，bk＋1＝ak＋bk(k∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.

解：(1)由题意，得当n≥2时，

有Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)，

即an＋1＝2an.

因为a2＝2a1，所以an＋1＝2an对任意n∈N*都成立，

所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an＝2n－1.

(2)由bk＋1＝ak＋bk(k∈N*)，

得bn－bn－1＝an－1(n≥2)，

则bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－1－bn－2)＋(bn－bn－1)

＝b1＋a1＋a2＋…＋an－2＋an－1

＝3＋20＋21＋…＋2n－3＋2n－2

＝3＋＝2n－1＋2.

当n＝1时，b1＝3符合上式，故bn＝2n－1＋2.

所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn

＝(20＋2)＋(21＋2)＋…＋(2n－2＋2)＋(2n－1＋2)

＝(20＋21＋…＋2n－2＋2n－1)＋2n

＝＋2n＝2n＋2n－1.