第二编 自主复习 第2讲 复数与平面向量-【金版教程】2026年高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word

第2讲　复数与平面向量

「考情研析」1.复数是高考必考内容，主要考查复数的概念与四则运算，多为选择题、填空题，难度属低档．　2.高考对平面向量的考查主要有三个方面：①考查平面向量的线性运算及其几何意义，兼顾考查共线向量的充要条件、平面向量基本定理，多以考生熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，难度属中、低档；②考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度属中、低档；③平面向量作为工具，还可能与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等知识结合考查，难度属中、高档．

(1)(1±i)2＝±2i；＝；＝－i．

i4n＝，i4n＋1＝，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i．(其中n为整数)

(2)对于任意复数z，有|z|2＝||2＝z.

(3)三点共线的等价转化

A，P，B三点共线⇔＝λ⇔＝(1－λ)＋λ⇔＝x＋y(其中x＋y＝

)．(注：O为平面内异于A，P，B的任一点，λ∈R，λ≠0，x∈R，y∈R)

(4)向量的中线公式

若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则＝(＋)．

(5)两个恒等式

①a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]；

②2(|a|2＋|b|2)＝|a－b|2＋|a＋b|2.

(6)向量形式的三角形不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.

(7)三角形“四心”向量形式的充要条件

设O为△ABC所在平面内一点，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则

①O为△ABC的外心⇔||＝||＝||＝；

②O为△ABC的重心⇔＋＋＝0；

③O为△ABC的垂心⇔·＝·＝·；

④O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0．

考向1　复数

例1　(1)(2025·陕西西安二模)已知a∈R，z＝(3－ai)(1＋i)是纯虚数，则|a＋4i|＝(　　)

A．3   B．4 

C．5   D．6

答案：C

解析：因为z＝(3－ai)(1＋i)＝a＋3＋(3－a)i是纯虚数，所以所以a＝－3，则|a＋4i|＝|－3＋4i|＝＝5.故选C.

(2)(2025·湘豫名校二模)已知z＝1－i，则在复平面内，复数zi＋对应的点位于(　　)

A．实轴上   B．虚轴上

C．直线y＝x上   D．直线y＝－x上

答案：C

解析：因为z＝1－i，所以zi＋＝(1－i)i＋＝i＋1＋＝i＋1＋＝2＋2i，所以复数zi＋在复平面内对应的点的坐标为(2，2)，位于直线y＝x上．故选C.

(3)(多选)(2025·湖北武汉二模)若复数z＝，则(　　)

A．＝4－i

B．||＝

C．z在复平面内对应的点位于第四象限

D.复数ω满足|ω|＝1，则|ω－z|的最大值为＋1

答案：BCD

解析：复数z＝＝＝4－i，＝4＋i，||＝＝，故A错误，B正确；z在复平面内对应的点的坐标为(4，－1)，位于第四象限，故C正确；因为复数ω满足|ω|＝1，所以复数ω在复平面内对应的点在单位圆上，则|ω－z|表示单位圆上的点和点(4，1)之间的距离，其最大值为点(4，1)到原点的距离加半径，即最大值为＋1，故D正确．故选BCD.

1．复数四则运算的解题策略

2．与复数几何意义、模有关问题的解题技巧