第一编 第1讲 数学思想方法-【金版教程】2026年高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word

例题

(2025·八省联考)已知函数f(x)＝x|x－a|－2a2，若当x>2时，f(x)>0，则a的取值范围是(　　)

A．(－∞，1]   B．[－2，1] 

C．[－1，2]   D．[－1，＋∞)

答案：B

思路一　分类讨论

当a>2，x>2时，f(x)＝x|x－a|－2a2＝当2<x<a时，

f(x)＝－x2＋ax－2a2，此时Δ＝a2－4×2a2＝－7a2<0，所以f(x)<0，不满足当x>2时，f(x)>0，故a>2不符合题意；当0<a≤2，x>2时，f(x)＝x|x－a|－2a2＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)，由f(x)>0，解得x>2a，由于当x>2时，f(x)>0，故2a≤2，解得a≤1，所以0<a≤1；当a＝0，x>2时，f(x)＝x2>0恒成立，符合题意；当a<0，x>2时，f(x)＝x|x－a|－2a2＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)，由f(x)>0，解得x>－a，由于当x>2时，f(x)>0，故－a≤2，解得a≥－2，所以－2≤a<0.综上，a的取值范围是[－2，1]．故选B.

思路二　变换主元

f(x)＝x|x－a|－2a2(x>2)．当x≥a时，f(x)＝x2－ax－2a2，令g(a)＝－2a2－xa＋x2，则Δ＝x2＋8x2＝9x2>0，由－2a2－xa＋x2>0，解得－x<a<，因为x>2，所以－2≤a≤1；当x<a时，f(x)＝－x2＋ax－2a2，令g(a)＝－2a2＋xa－x2，则Δ＝x2－8x2＝－7x2<0，所以g(a)>0不成立，不符合题意．综上，a的取值范围为[－2，1]．故选B.

思路三　数形结合

x|x－a|－2a2＞0等价于|x－a|＞(x＞2)，作出y＝|x－a|与y＝的图象，显然a＜2，只需|2－a|≥，解得－2≤a≤1.故选B.

思路四　特殊点讨论法

由已知得，f(0)＝－2a2，f(a)＝－2a2，所以a＜2.当a＜2，x＞2时，f(x)＝x2－ax－2a2，f(x)图象的对称轴为直线x＝＜1，所以x＞2时，f(x)单调递增．只需f(2)≥0，解得－2≤a≤1.故选B.

思路五　结合选项，检验排除

显然当a无穷大或无穷小时，f(x)不可能恒大于零，排除A，D.然后再检验a＝－2或a＝2，比如把a＝－2带入题中进行检验是否成立，a＝－2若成立选B，否则选C.f(x)＝x|x＋2|－8＝x2＋2x－8，所以x＞2时，f(x)单调递增，f(2)＝0，所以当x＞2时，f(x)＞0成立．故选B.

第1讲　数学思想方法

一、函数与方程思想

函数思想体现的是运动与变化的观念，通过解析问题中的数量关系，构造函数，再运用函数的图象与性质解析、转化问题，进而解决问题．方程思想体现的是“动中求静”，寻求变化过程中保持不变的等量关系，构建方程(组)，通过解方程(组)，或者运用方程的性质去解析、转化问题，使问题获得解决．

例1　(1)(2022·新高考Ⅰ卷，7)设a＝0.1e0.1，b＝，c＝－ln 0.9，则(　　)

A．a<b<c   B．c<b<a

C．c<a<b   D．a<c<b

答案：C

解析：设u(x)＝xex(0＜x≤0.1)，v(x)＝(0＜x≤0.1)，w(x)＝－ln (1－x)(0＜x≤0.1)，则当0＜x≤0.1时，u(x)＞0，v(x)＞0，w(x)＞0.①设f(x)＝ln [u(x)]－ln [v(x)]＝ln x＋x－[ln x－ln (1－x)]＝x＋ln (1－x)(0＜x≤0.1)，则f′(x)＝1－＝＜0在(0，0.1]上恒成立，所以f(x)在(0，0.1]上单调递减，所以f(0.1)＜0＋ln (1－0)＝0，即ln [u(0.1)]－ln [v(0.1)]＜0，所以ln [u(0.1)]＜ln [v(0.1)]，又y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以u(0.1)＜v(0.1)，即0.1e0.1＜，所以a＜b.②设g(x)＝u(x)－w(x)＝xex＋ln (1－x)(0＜x≤0.1)，则g′(x)＝(x＋1)ex－＝(0＜x≤0.1)，设h(x)＝(1－x2)ex－1(0＜x≤0.1)，则h′(x)＝(1－2x－x2)ex＞0在(0，0.1]上恒成立，所以h(x)在(0，0.1]上单调递增，所以h(x)＞(1－02)×e0－1＝0，即g′(x)＞0在(0，0.1]上恒成立，所以g(x)在(0，0.1]上单调递增，所以g(0.1)＞0×e0＋ln (1－0)＝0，即g(0.1)＝u(0.1)－w(0.1)＞0，所以0.1e0.1＞－ln 0.9，即a＞c.综上，c＜a＜b.故选C.

(2)(2023·新课标Ⅰ卷，22)在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点的距离，记动点P的轨迹为W.

①求W的方程；

②已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3.

解：①设P(x，y)，则|y|＝，两边同时平方，化简得y＝x2＋，

故W的方程为y＝x2＋.

②证法一：不妨设A，B，D在W上，

且AB⊥AD，

依题意可设A，易知直线AB，AD的斜率均存在且不为0，

则设AB，AD的斜率分别为k和－，由对称性，不妨设|k|≤1，