第二编 自主复习 第1讲 集合与常用逻辑用语-【金版教程】2026年高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word

第1讲　集合与常用逻辑用语

「考情研析」1.集合是高考必考内容，常与不等式、函数相结合考查集合的运算，偶尔出现集合的新定义问题．　2.常用逻辑用语主要考查命题真假的判断或命题的否定及充分条件、必要条件的判断．

(1)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A∩(∁UB)＝∅⇔(∁UA)∪B＝U，其中U是全集．

(2)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．

(3)含有n个元素的集合的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2．

(4)对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}：

若A⊆B，则p是q的充分条件；

若A⊇B，则p是q的必要条件；

若A＝B，则p是q的充要条件．

考向1　集合的概念及运算

例1  (1)(2025·河北石家庄一模)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2k，k∈A}，则A∩B＝(　　)

A．{2，4}   B．{3，4}

C．{1，3，5}   D．{2，4，6，8，10}

答案：A

解析：因为A＝{1，2，3，4，5}，所以B＝{x|x＝2k，k∈A}＝{2，4，6，8，10}，则A∩B＝{2，4}．故选A.

(2)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈Z，且xy＝4}，B＝{(x，y)|x≤y}，则A∩B的子集个数为(　　)

A．3   B．4 

C．8   D．16

答案：D

解析：因为A＝{(x，y)|x，y∈Z，且xy＝4}＝{(1，4)，(2，2)，(4，1)，(－1，－4)，(－2，－2)，(－4，－1)}，B＝{(x，y)|x≤y}，所以A∩B＝{(1，4)，(2，2)，(－2，－2)，(－4，－1)}，所以A∩B的子集个数为24＝16.故选D.

(3)(2025·陕西咸阳二模)已知集合A＝{x|y＝loga(x＋1)}，B＝{x|y＝}，则下列关系中正确的是(　　)

A．A⊆B   B．∁RA⊆∁RB

C．A∩B＝∅   D．A∪B＝R

答案：D

解析：由y＝loga(x＋1)，可得x＋1>0，解得x>－1，所以A＝{x|x>－1}，又由x2－x－2＝(x－2)(x＋1)≥0，解得x≥2或x≤－1，所以B＝{x|x≥2，或x≤－1}，则∁RA＝{x|x≤－1}，∁RB＝{x|－1<x<2}，且A∪B＝R，A∩B＝{x|x≥2}．故选D.

(4)(2025·山东潍坊一模)已知集合A＝{0，1，a＋2}，B＝{1，a2}，若A∪B＝A，则实数a的值为________．

答案：0或2

解析：因为A∪B＝A，所以B⊆A.根据集合中元素的互异性，可知a2≠1，即a≠1且a≠－1.若a2＝0，则a＝0，此时A＝{0，1，2}，B＝{0，1}，满足B⊆A；若a2＝a＋2，即a2－a－2＝0，得a＝2或a＝－1(舍去)，此时A＝{0，1，4}，B＝{1，4}，满足B⊆A.综上，实数a的值为0或2.

　解集合问题的常用方法

(1)注意审题，弄清集合中元素是什么，区分点集与数集、函数的定义域与值域．

(2)两个集合之间的关系是子集关系时，注意空集的讨论．

(3)进行集合的基本运算，应注意“端点”的取舍，避免特殊元素的遗漏．

1．(2025·福建福州三模)已知全集为R，A＝{1，2，3}，B＝{x|log2x∈Z}，则图中阴影部分表示的集合是(　　)