第二编 专题2 第2讲 解三角形-【金版教程】2026年高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word

　　　第2讲　解三角形

「考情研析」从近几年高考来看，正弦定理、余弦定理的综合问题可能作为轮考内容，考查方式以解三角形为主体，将三角恒等变换作为工具，计算三角形的基本量，也有可能将三角函数与解三角形相结合求解最值、范围问题．

(1)三角形中的三角函数关系

①sin(A＋B)＝sinC；

②cos(A＋B)＝－cosC；

③sin＝cos；

④cos＝sin．

(2)在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB．

(3)三角形的面积公式(R，r分别为△ABC的外接圆、内切圆的半径，p为△ABC的半周长)：

S＝absinC＝bcsinA＝casinB＝＝2R2sinAsinBsinC＝＝pr.

考向1　利用正、余弦定理求边或角

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例1　(2025·福建厦门一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC＝(b－c)cosA.

(1)求A；

(2)设D为边AB的中点，若c＝2，且sin∠CDB＝，求a.

解：(1)在△ABC中，

由acosC＝(b－c)cosA及正弦定理，得sinAcosC－sinBcosA＋sinCcosA＝0，

即sin(A＋C)－sinBcosA＝0，

即sinB－sinBcosA＝0，

因为B∈(0，π)，sinB≠0，所以cosA＝，

又A∈(0，π)，所以A＝.

(2)依题意，得∠CDB＋∠CDA＝π，

则sin∠CDA＝，

cos∠CDA＝或cos∠CDA＝－.

当cos∠CDA＝时，

由∠ACD＝π－∠CDA－∠BAC，

得sin∠ACD＝sin(∠CDA＋∠BAC)＝×＋×＝，

在△ACD中，由正弦定理，得

＝，

则AC＝＝，

在△ABC中，由余弦定理，得

a2＝b2＋c2－2bccosA，

所以a＝

＝；

当cos∠CDA＝－时，sin∠ACD＝×－×＝，

AC＝＝，

a＝＝.

综上可得，a＝或a＝.

　三角形中基本量计算的解题技巧

在处理三角形中的边、角关系时，一般全部化为角的关系或全部化为边的关系．若出现边的一次式，则一般采用正弦定理，若出现边的二次式，则一般采用余弦定理．应用正弦定理或余弦定理时，要注意公式变式的应用．解决三角形问题时，要注意角的限制范围．

(2025·山西太原一模)已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且(a＋b)(a－b)＝c(a－c)．

(1)求B；

(2)若D是边AC上一点，且AD＝2DC，cosC＝，求tan∠CBD的值．

解：(1)由(a＋b)(a－b)＝c(a－c)，得a2＋c2－b2＝ac，

由余弦定理，得cosB＝＝，

∵0°<B<180°，

∴B＝60°.

(2)设∠CBD＝α，

∵cosC＝，