第二编 专题3 第1讲 等差数列与等比数列-【金版教程】2026年高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word

　　第1讲　等差数列与等比数列

「考情研析」1.在新课标卷中，涉及数列的选择题、填空题，主要考查数列的递推公式、通项公式与前n项和公式及其关系，等差(比)数列的定义、性质、通项公式和前n项和公式，难度以中、低档题为主．　2.注意运用数列的函数性质解决数列求和、数列的实际应用问题，难度以中、高档题为主．

(1)等差数列的性质

设等差数列{an}(公差为d)的前n项和为Sn.

①若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)；

②数列是等差数列，首项为a1，公差为d；

③Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，Smk－S(m－1)k，…构成公差为k2d的等差数列；

④若数列{an}共有2n项，则S偶－S奇＝nd，＝；

⑤若数列{an}共有2n－1项，则S奇－S偶＝an，＝．

(2)等比数列的性质

若数列{an}是公比为q的等比数列，前n项和为Sn，则有如下性质：

①若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq(m，n，p，q∈N*)；

②若m，n，p成等差数列，则am，an，ap成等比数列(m，n，p∈N*)；

③Sn＋m＝Sm＋qmSn＝Sn＋qnSm；

④若项数为2n，则＝，若项数为2n＋1，则＝；

⑤当q≠－1时，连续m项的和(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…)仍组成等比数列(公比为qm，m≥2)．注意：这里连续m项的和均非零．

考向1　等差、等比数列基本量的计算

例1　(1)(2025·江西南昌一模)已知数列{an}为等比数列，若a2＋4a4＝4a3，则{an}的公比q＝(　　)

A．－2   B．2 

C．－   D.

答案：D

解析：根据等比数列的定义，由a2＋4a4＝4a3，可得a2＋4a2q2＝4a2q，显然a2≠0，所以4q2－4q＋1＝0，解得q＝.故选D.

(2)(2025·安徽合肥一模)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＝3，S3＝3，则S12＝(　　)

A．144   B．120 

C．100   D．80

答案：B

解析：设等差数列{an}的公差为d，因为S3＝3a2＝3，所以a2＝1，又a3＝3，所以d＝a3－a2＝2，则a1＝a2－d＝－1，所以S12＝12×(－1)＋×2＝120.故选B.

(3)(2025·河北重点中学联考)某厂家对其软件进行加密升级，现对软件程序中的某序列A＝{a1，a2，a3，…}重新编辑，编辑新序列为A*＝，它的第n项为.若序列(A*)*的所有项都是3，且a2＝1，a5＝27，则a1＝(　　)

A.   B. 

C．3   D．9

答案：C

解析：因为A*＝，设bn＝，则(A*)*＝，因为(A*)*的所有项都是3，所以＝3，设b1＝m，所以{bn}是以m为首项，3为公比的等比数列，所以bn＝m·3n－1.由＝m，a2＝1⇒ma1＝1；由＝3m，a2＝1⇒a3＝3m；由＝32·m⇒a4＝9m·3m＝27m2；由＝33·m⇒a5＝27m·27m2＝36·m3.又a5＝27，所以36·m3＝27⇒m＝.所以a1＝3.故选C.

(4)中国载人航天工程发射的第二十艘飞船，简称“神二十”，于2025年4月执行载人航天飞行任务．运送“神二十”的长征二号F运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程都增加3 km，在达到离地面222 km的高度时，火箭开始进入转弯程序．则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是________ s.

答案：12

解析：设每秒钟通过的路程构成数列{an}，由题意可知{an}为等差数列，首项a1＝2，公差d＝3，所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×3＝3n－1，由求和公式得Sn＝＝＝222，解得n＝12.

　解决等差、等比数列基本量运算的思想方法