第二编 专题4 专题培优 球的“切”“接”问题-【金版教程】2026年高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word

专题培优　球的“切”“接”问题

「考情分析」空间几何体的外接球和内切球是高中数学的难点和重点，也是高考命题的热点，既有相对简单的几何体的外接球和内切球问题，也有难度较大的特殊几何体模型问题，在选择题、填空题、解答题中均可能出现．

考向1　空间几何体的外接球

例1　(1)(2025·苏锡常镇四市一模)已知一圆柱内接于半径为1的球，当该圆柱的体积最大时，其高为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案：C

解析：设圆柱的高为2h，则圆柱的底面半径为r＝，所以圆柱的体积V＝2πr2h＝2π(1－h2)h，h∈(0，1)，V′＝2π(1－3h2)，令V′＝0，得h＝，所以当h∈时，V′>0，V单调递增，当h∈时，V′<0，V单调递减，所以圆柱的体积最大时，圆柱的高为2h＝.故选C.

(2)(2025·黑龙江齐齐哈尔二模)已知正三棱台的上底面边长为，高为1，体积为，则该正三棱台外接球的表面积为(　　)

A．8π   B．12π

C．16π   D．20π

答案：D

解析：设正三棱台的下底面边长为a，则其下底面面积为a2，上底面面积为×()2＝，所以该正三棱台的体积为V＝××1＝(a2＋a＋3)＝，整理可得a2＋a－18＝0，因为a>0，解得a＝2.如图，设正三棱台ABC－A1B1C1的上、下底面的中心分别为O1，O，由正三棱台的几何性质可知，外接球的球心E在直线OO1上，正三角形ABC的外接圆半径为OA＝＝2，正三角形A1B1C1的外接圆半径为O1A1＝＝1，设OE＝d，若球心E在线段OO1上，则0<d<1，O1E＝1－d，设球E的半径为R，则R2＝OA2＋d2＝O1A＋(1－d)2，即4＋d2＝1＋(1－d)2，解得d＝－1，不符合题意，所以球心E在射线O1O上，则O1E＝d＋1，R2＝OA2＋d2＝O1A＋(d＋1)2，即4＋d2＝1＋(d＋1)2，解得d＝1，所以R2＝4＋1＝5，故该正三棱台外接球的表面积为S＝4πR2＝20π.故选D.

　求解外接球问题的方法

解决多面体外接球问题的关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面多边形外接圆的圆心，再过此圆心作垂直于此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点的情况确定球心的准确位置．

若球面上四点P，A，B，C满足PA，PB，PC两两垂直，可通过补成长方体的方法找到球心位置．

1．在半径为5的球体内部放置一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案：A

解析：由题意知，如图，当圆锥的体积最大时，圆锥内接于球，球心在圆锥的高上，设圆锥的底面半径为r，高为h(0<h<10)，则r2＝52－(h－5)2＝－h2＋10h，所以该圆锥的体积V＝πr2h＝π(－h3＋10h2)，则V′＝πh(－3h＋20)．当h∈时，V′>0，函数在上单调递增，当h∈时，V′<0，函数在上单调递减．故当h＝时，V取得最大值，为.故选A.

2．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝，PA＝AB＝3，BC＝6，则三棱锥P－ABC外接球的表面积为________．

答案：54π

解析：解法一：因为PA⊥平面ABC，BC，AC，AB⊂平面ABC，所以PA⊥BC，PA⊥AC，PA⊥AB，又∠ABC＝，所以BC⊥AB，因为PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB，取PC的中点O，连接OA，OB，则OA＝OB＝OC＝OP＝PC.故O为三棱锥P－ABC外接球的球心，而PC＝＝＝＝3，故三棱锥P－ABC的外接球O的半径为，所以球O的表面积为4π×