第二编 专题3 专题培优 衍生数列问题-【金版教程】2026年高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word

专题培优　衍生数列问题

考向1　数列中的奇偶项问题

例1　(1)(2025·河北秦皇岛山海关区二模)已知数列{an}是公差大于2的等差数列，其前n项和为Sn，a2＝5，且a1＋1，a2＋1，a5－2成等比数列．

①求数列{an}的通项公式；

②令bn＝(－1)n＋1×，求数列{bn}的前n项和Tn.

解：①设等差数列{an}的公差为d(d>2)，

则a1＝a2－d＝5－d，a5＝a2＋3d＝5＋3d，

由a1＋1，a2＋1，a5－2成等比数列，

得(6－d)(3＋3d)＝62，而d>2，解得d＝3，

所以数列{an}的通项公式为an＝a2＋(n－2)d＝3n－1.

②由①，得bn＝(－1)n＋1×

＝(－1)n＋1×，

当n为偶数时，Tn＝－＋－＋…＋－＝－；

当n为奇数时，Tn＝－＋－＋…－＋＝＋，

所以Tn＝

(2)(2025·河北沧州五个一名校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2n＋3－8.

①求{an}的通项公式；

②若bn＝求数列{bnbn＋1}的前n项和Tn.

解：①当n＝1时，a1＝S1＝24－8＝8；

当n≥2时，

由Sn＝2n＋3－8，得Sn－1＝2n＋2－8，

则an＝Sn－Sn－1＝2n＋3－2n＋2＝2n＋2.

因为a1＝8＝21＋2，也符合上式，

所以an＝2n＋2.

②由①，得bn＝

当n为偶数时，bn－1bn＋bnbn＋1＝(n＋1)×2n＋2＋(n＋3)×2n＋2＝(n＋2)×2n＋3，

则Tn＝4×25＋6×27＋8×29＋…＋(n＋2)×2n＋3，

则4Tn＝4×27＋6×29＋8×211＋…＋(n＋2)×2n＋5，

两式相减，得－3Tn＝4×25＋2×(27＋29＋211＋…＋2n＋3)－(n＋2)×2n＋5

＝128＋－(n＋2)×2n＋5

＝，

则Tn＝；

当n为奇数时，Tn＝Tn＋1－bn＋1bn＋2

＝－(n＋4)×2n＋3

＝.

故Tn＝

1．数列中的奇、偶项问题的常见题型

(1)数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或anan＋1＝f(n))．

(2)含有(－1)n的问题．

(3)含有{a2n}，{a2n－1}的问题．

(4)已知条件明确的奇偶项问题．

2．对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再求S2k＋1＝S2k＋a2k＋1或S2k－1＝S2k－a2k.

1．(2025·陕西西安模拟)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a2＋2a3＝13，S6＝36.

(1)求{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足bn＝(－1)nan＋[(－1)n＋1]×2n，求{bn}的前2n项和T2n.

解：(1)设等差数列{an}的公差为d，

由a2＋2a3＝13，S6＝36，

得解得

所以an＝2n－1.

(2)由(1)得bn＝(－1)n(2n－1)＋[(－1)n＋1]×2n，

当n为奇数时，bn＝(－1)n(2n－1)＋[(－1)n＋1]×2n＝－(2n－1)＝－an，

当n为偶数时，bn＝(－1)n(2n－1)＋[(－1)n＋1]×2n＝(2n－1)＋2n＋1＝an＋2n＋1，

所以T2n＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2n－a2n－1)＋(23＋25＋…＋22n＋1)＝2n＋＝＋2n.

2．(2025·辽宁辽阳一模)已知等比数列{an}是递减数列，{an}的前n项和为Sn，且，2S2，8a3成等差数列，3a2＝a1＋2a3，数列{bn}满足bn＋1＝2bn－2n＋1，b1＝3，n∈N*.

(1)求{an}和{bn}的通项公式；

(2)若cn＝求数列{cn}的前2n项和T2n.

解：(1)设等比数列{an}的公比为q，由题意，得

则

因为数列{an}是递减数列，解得a1＝q＝，