第二编 专题3 专题培优 数列中的创新问题-【金版教程】2026年高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word

专题培优　数列中的创新问题

考向1　数列中的新定义问题

例1　(2025·内蒙古通辽三模)已知m>0，若正项数列{an}满足∀n∈N*，<1<，则称{an}为“上界m数列”．

(1)若cn＝sin，判断数列{cn}是否为“上界1数列”，并说明理由；

(2)若数列是“上界m数列”，求m的最小值；

(3)若0<b1≤，且bn＋1＝bn＋(n∈N*)，证明：数列{bn}是“上界1数列”．

解：(1)由题意可知，c1＝sin，c2＝sin，

因为λ>，所以0<<<，

则c1>c2>0，则>1，从而{cn}不是“上界1数列”．

(2)因为＝＝<1，

又数列是“上界m数列”，所以m>恒成立．

又＝＝2－<2，

所以m≥2，即m的最小值为2.

(3)证明：因为0<b1≤，bn＋1＝bn＋(n∈N*)，

所以bn>0，

bn＋1－bn＝>0，则bn＋1>bn>0，从而<1.

要证数列{bn}是“上界1数列”，需证bn<1，

当n＝1时，由0<b1≤，得b2＝b1＋b≤＋＝<1.

当n≥2时，由bn＋1>bn>0，得bn＋1＝bn＋<bn＋，则bn＋1－bn<，

整理得－<<＝－，

则 <1－＋－＋…＋－＝1－，

则－<1－，即>＋－1.

因为0<b2≤，所以≥2，

则>＋－1≥1＋＝，

则bn＋1<<1，从而bn<1，

所以数列{bn}是“上界1数列”．

　与数列有关的新定义问题的解题策略

(1)在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．

(2)耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决．

(3)类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢．

(2025·广东茂名二模)已知f(x)为一个连续函数，若数列{an}满足：∀n∈N*，an＝f(n)－f(n－1)，则称数列{an}是关于f(x)的“可差数列”，记数列{an}的前n项和为Sn.

(1)若{an}是关于f(x)＝(x＋1)·2x的“可差数列”，求{an}的通项公式及Sn；

(2)已知{an}满足∀n∈N*，an＝(3n2＋2n＋1)·(－2)－(n＋1)，若{an}是关于f(x)的“可差数列”．

①试求一个满足条件的f(x)的解析式；

②证明：对于任意给定的正数M，总存在正整数N，使得当n>N时，<M.

解：(1)因为f(x)＝(x＋1)·2x，

所以an＝(n＋1)·2n－(n－1＋1)·2n－1＝(n＋2)·2n－1，

因为∀n∈N*，an＝(n＋1)·2n－n·2n－1，

所以Sn＝2×21－1×20＋3×22－2×21＋…＋(n＋1)·2n－n·2n－1＝(n＋1)·2n－1.

(2)①因为∀n∈N*，an＝(3n2＋2n＋1)·(－2)－(n＋1)，an＝f(n)－f(n－1)，

不妨令f(n)＝，则＝－，

即3n2＋2n＋1＝3An2＋(3B－4A)n＋3C＋2A－2B，

所以得

所以f(n)＝＝，

即f(x)＝(x＋1)2·(－2)－(x＋1)．

②证明：由①可知，

Sn＝－＋－＋…＋－＝＋，

因为＝＝，

当n≥3时，2n＋1＝2×(1＋1)n≥2(C＋C＋C＋C)＝≥>＝，

所以＝<，

∀M>0，取N1＝6，其中为不大于的最大整数，

则N1≥，取N＝max{18，N1}，

当n>N时，恒有<<≤<＝M成立．

考向2　数列与集合的交汇创新问题

例　(2025·河北石家庄一模)已知数列{an}，其中an∈Z，n∈N*.

(1)若an＝n(n∈N*)，集合An＝{a1，a2，…，an}，Bn表示集合An的非空子集个数．集合An的第i个非空子集中的所有元素之和记为bi(i＝1，2，…，Bn)，设Sn＝bi，Cn＝.

①直接写出C1，C2，C3；