第二编 专题4 专题培优 立体几何中的动态问题-【金版教程】2026年高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word

专题培优　立体几何中的动态问题

「考情分析」立体几何中的动态问题是指空间图形中的某些点、线、面的位置是不确定的、是可变的一类开放性问题，这类试题给静态的立体几何问题赋予了活力，将立体几何问题与解三角形、多边形的周长与面积、解析几何等之间建立了桥梁．高考中的主要考向有空间中动点的轨迹问题，翻折、展开问题，最值、范围问题等，在选择题、填空题、解答题中均可能出现，难度属中档．

考向1　动点轨迹问题

例1　(多选)如图，平面ABN⊥平面α，AB＝MN＝2，M为线段AB的中点，直线MN与平面α所成角的大小为30°，点P为平面α内的动点，则(　　)

A．以N为球心，半径为2的球面在平面α上的截痕长为2π

B．若点P到点M和点N的距离相等，则点P的轨迹是一条直线

C．若点P到直线MN的距离为1，则∠APB的最大值为

D．满足∠MNP＝的点P的轨迹是椭圆

答案：BC

解析：对于A，由于MN与平面α所成角的大小为30°，所以点N到平面α的距离d＝MN·sin30°＝1，故半径为R＝2的球面在平面α上截面圆的半径为r＝＝，故截痕长为2πr＝2π，A错误；对于B，由于平面ABN⊥平面α，所以以M为原点，AB为y轴，在平面α内过M作x轴⊥AB，在平面ABN内作z轴⊥AB，建立如图1所示的空间直角坐标系，则M(0，0，0)，B(0，1，0)，A(0，－1，0)，N(0，，1)，设P(x，y，0)，则PM＝PN，即x2＋y2＝x2＋(y－)2＋1，化简得y＝，则点P的轨迹是一条直线，B正确；对于C，＝(0，，1)，＝(x，y，0)，所以点P到直线MN的距离为＝

＝1，化简可得x2＋＝1，所以点P的轨迹是平面α内的椭圆x2＋＝1，如图2，当P在短轴的端点时，∠APB最大，由于BM＝MP＝1，故∠BPM＝，因此∠APB＝2∠BPM＝，C正确；对于D，＝(0，－，－1)，＝(x，y－，－1)，若∠MNP＝，则cos∠MNP＝cos〈，〉＝＝＝，化简得－＝1且y<，故满足∠MNP＝的点P的轨迹是双曲线的一部分，D错误．故选BC.

　解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法

(1)几何法：根据平面的性质进行判定．

(2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定或用代数法进行计算．

(3)特殊值法：根据空间图形线段长度的关系取特殊值或位置进行排除．

(多选)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M是侧面BB1C1C上的一个动点(含边界)，下列结论正确的是(　　)

A．若A，B，M，D1四点共面，则点M的运动轨迹长度为4

B．若AM⊥BD1，则点M的运动轨迹长度为4

C．若AM＝2，则点M的运动轨迹长度为2π

D．若直线AM与C1D1所成的角为45°，则点M的运动轨迹长度为2π

答案：ABD

解析：因为AB∥C1D1，所以A，B，C1，D1确定一个平面，而不共线的三点A，B，D1在这个平面内，所以A，B，M，D1确定的平面即为平面ABC1D1，故点M在BC1上，即点M的轨迹为BC1，BC1＝4，故A正确；如图，连接AB1，B1C，AC，A1B，CD1.因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，所以BC⊥平面ABB1A1，又AB1⊂平面ABB1A1，所以BC⊥AB1.又AB1⊥A1B，BC∩A1B＝B，BC，A1B⊂平面A1BCD1，所以AB1⊥平面A1BCD1.又BD1⊂平面A1BCD1，所以AB1⊥BD1，同理可证AC⊥BD1.又AB1∩AC＝A，AB1，AC⊂平面AB1C，所以BD1⊥平面AB1C.故当AM⊥BD1时，点M在B1C上，即点M的轨迹为B1C，B1C＝4，故B正确；因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，所以AB⊥平面BCC1B1.而BM⊂平面BCC1B1，所以AB⊥BM，所以BM＝＝＝2，所以点M的轨迹是以B为圆心，2为半径的圆，则轨迹长度为×2π×2＝π，故C错误；因为AB∥C1D1，直线AM与C1D1所成的角为45°，所以AM与AB所成的角为45°，即∠MAB＝45°，所以在Rt△MAB中，AB＝BM＝4，所以点M的轨迹是以B为圆心，4为半径的圆，则轨迹长度为×2π×4＝2π，故D正确．故选ABD.

考向2　翻折、展开问题

例2　(2025·山东齐鲁名校联考四)如图1，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，M，N分别是边BC，CD的中点，AC∩BD＝O1，AC∩MN＝G.沿直线MN将△CMN翻折到△PMN的位置，连接PA，PB，PD，得到如图2所示的五棱锥P－ABMND.