第二编 专题4 第2讲 空间位置关系的证明与空间角、空间距离的计算-【金版教程】2026年高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word

　　第2讲　空间位置关系的证明与空间角、

　　　空间距离的计算

「考情研析」以空间几何体为载体考查点、线、面的位置关系的判断和空间角、空间距离的计算是高考解答题的常考题型，热点是线面角、二面角的求解，关键是位置关系的证明、建立恰当的空间直角坐标系并准确计算，难点是引入参数解答存在性问题．

考向1　空间点、线、面位置关系的证明

例1　(1)(2025·鹤壁二模)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA＝PC，PB＝PD，BC＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝2.若＝3，＝3，求证：平面AEF∥平面PCD.

证明：因为＝3，＝3，

所以＝＝，所以EF∥PC，

因为EF⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，

所以EF∥平面PCD.

因为AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，

所以∠CBD＝60°，

由余弦定理，可得cos∠ABD＝＝＝，

因为0°<∠ABD<180°，所以∠ABD＝30°，

故∠ABC＝∠CBD＋∠ABD＝90°，

在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，AB＝2，BF＝BC＝，

所以tan∠AFB＝＝＝，

因为∠AFB为锐角，

所以∠AFB＝60°＝∠BCD，故AF∥CD，

因为AF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，

所以AF∥平面PCD，

因为AF∩EF＝F，AF，EF⊂平面AEF，

所以平面AEF∥平面PCD.

(2)(2025·广东茂名二模)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，AD∥BC，AD＝4，AB＝AP＝2，BC＝1，M为PB的中点，＝2.

①证明：PC⊥BD；

②若Q为线段PC上一点，且A，M，Q，N四点共面，求三棱锥Q－ABC的体积．

解：①证明：连接AC.

由题意知＝＋＝＋，＝－，

因为·＝·(－)＝0－4＋4－0＝0，

所以AC⊥BD，

又PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

所以PA⊥BD，

又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，

所以BD⊥平面PAC，

又PC⊂平面PAC，所以PC⊥BD.

②因为PA⊥平面ABCD，

又AB，AD⊂平面ABCD，

所以PA⊥AD，PA⊥AB，

又AD⊥AB，所以AP，AB，AD两两垂直，

如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，

则A(0，0，0)，M(1，0，1)，N，C(2，1，0)，P(0，0，2)，

所以＝(2，1，0)，＝(0，0，2)，＝(1，0，1)，＝，

设平面AMN的法向量为n＝(x，y，z)，

则

不妨令x＝4，则y＝1，z＝－4，

所以n＝(4，1，－4)．

设＝t，0<t<1，则＝t＋(1－t)＝t(2，1，0)＋(1－t)(0，0，2)＝(2t，t，2－2t)，

因为A，M，Q，N四点共面，

所以·n＝8t＋t－8(1－t)＝0，解得t＝，

即＝，所以VQ－ABC＝VP－ABC＝VP－ABC＝×××1×2×2＝.

1．证明共线、共面问题的两种方法

(1)几何法：利用三个基本事实求证．

(2)向量法：利用向量共线、共面的充要条件求证．

2．证明空间平行、垂直关系的基本思想

在证明空间平行、垂直关系的问题中，要注意体会“转化”的数学思想，转化形式如下：