第二编 自主复习 第3讲 不等式-【金版教程】2026年高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word

第3讲　不等式

「考情研析」1.利用不等式的性质比较大小、利用基本不等式求最值是高考的热点．　2.考查一元二次不等式的解法，“三个二次”间的关系及不等式恒成立问题．　3.不等式作为解决数学问题的重要工具，常与其他知识综合考查，如求定义域、研究函数单调性、直线与圆锥曲线位置关系的判断等．

(1)若a>b>0，m>0，则一定有>.

(2)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是

(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是

(4)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)．

(5)≥0(≤0)⇔

(6)≤≤≤(a>0，b>0)(当且仅当a＝b时取“＝”)．

考向1　不等式的性质

例1 　(1)已知x>y>1>z>0，a＝，b＝，c＝，则(　　)

A．a>c>b   B．b>c且a>c

C．b>c>a   D．a>b且a>c

答案：D

解析：解法一：因为x>y>1>z>0，所以<<，所以a＝x＋>b＝y＋，a＝x＋>c＝z＋.故选D.

解法二：a－b＝x＋－y－＝(x－y)＋>0，所以a>b，a－c＝x＋－z－＝(x－z)＋>0，所以a>c，c－b＝z＋－y－＝(z－y)＋，符号不能确定，所以b，c的大小关系不能确定．所以a>b且a>c.故选D.

(2)已知a－b∈[5，27]，a＋b∈[6，30]，则7a－5b的取值范围是(　　)

A．[－24，192]   B．[－24，252]

C．[36，252]   D．[36，192]

答案：D

解析：设7a－5b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a－(m－n)b，所以解得所以7a－5b＝6(a－b)＋(a＋b)．又a－b∈[5，27]，a＋b∈[6，30]，所以7a－5b＝6(a－b)＋(a＋b)∈[36，192]．故选D.

(3)(多选)已知实数a，b，c满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列结论中正确的是(　　)

A．a＋b>0   B．ac>bc

C．>   D．(a－c)(b－c)<c2

答案：AD

解析：a＋b＋c＝0且a>b>c，则a>0，c<0，则a＋b>0，A正确．因为a>b，c<0，所以ac<bc，B错误．因为a>b>c，所以a－b>0，b－c>0，(a－b)－(b－c)＝a＋c－2b＝－3b，当b>0时，0<a－b<b－c，则>；当b<0时，a－b>b－c>0，则<；当b＝0时，a－b＝b－c，则＝，C错误．因为(a－c)(b－c)－c2＝(a－c)(－a－2c)－c2＝－a2－ac－c2＝－≤0，当且仅当a＝－c时，等号成立，此时由a＋b＋c＝0可得b＝－c，不符合a>b>c，所以－＝0不成立，故－<0，即(a－c)(b－c)<c2，D正确．故选AD.

1．不等式性质应用问题的常见类型及解题策略

 

2.比较两个数(式)大小的两种方法

两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能相乘，即同向同正可乘；同时要注意“同号可倒”，即a＞b＞0⇒<，a＜b＜0⇒>.

1．(多选)(2025·河南名校联盟三模)若x，y∈R，则“x3<y3”的一个充分不必要条件是(　　)

A．x<y   B．lg (y－x)>0

C．>>0   D．|x|<y

答案：BCD

解析：x3<y3⇔x<y，故“x<y”是“x3<y3”的充要条件，故A不符合题意；由lg (y－x)>0，得y>x＋1，能推出x<y，反之不成立，故“lg (y－x)>0”是“x3<y3”的充分不必要条件，故B符合题意；由>>0，得0<x<y，故x3<y3，反之不成立，故“>>0”是“x3<y3”的充分不必要条件，故C符合题意；由|x|＜y，得x≤|x|<y，即能推出x＜y，反之不成立，故“|x|<y”是“x3<y3”